【摘 要】
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在1990年,Beilinson, Lusztig, MacPherson在[3]中给出了一般线性李代数的量子包络代数的几何实现,这就是著名的BLM实现.后来在[34]中,付强给出了一般线性李代数的小量子群的BLM实现,并且以小量子群为基础提出了小量子Schur代数的概念.研究了小量子Schur代数的标准基,单项式基,以及BLM基,最后给出了小量子Schur代数正（负）部分的的生成元与关系式实现并
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在1990年,Beilinson, Lusztig, MacPherson在[3]中给出了一般线性李代数的量子包络代数的几何实现,这就是著名的BLM实现.后来在[34]中,付强给出了一般线性李代数的小量子群的BLM实现,并且以小量子群为基础提出了小量子Schur代数的概念.研究了小量子Schur代数的标准基,单项式基,以及BLM基,最后给出了小量子Schur代数正（负）部分的的生成元与关系式实现并且给出了小量子Schur代数的维数公式.同时,A. Cox在[20]中提出了无穷小量子Schur代数的概念.付强在[39]中给出了无穷小量子Schur代数的一种生成元与关系式,讨论了无穷小量子Schur代数和小量子Schur代数之间的关系.以上这些统称为无穷小理论.另一方面,付强在[40]中给出了一般线性李代数的量子群的Lusztig整形式的BLM实现.受到以上这些工作的启发,本文将以上结果全部推广到量子Schur超代数和量子超群的情形.本文主要分为四章,第一章研究量子Schur超代数,给出了量子Schur超代数的单项式基和BLM基,给出了量子Schur超代数和有限李型群的关系.第二章主要利用量子Schur超代数实现了量子超群的Lusztig整形式.第三章研究了无穷小量子Schur超代数,小量子Schur超代数之间的关系,以及他们的BLM基和单项式基,还有它们的生成元和关系式实现,.第四章利用广义Schur代数研究了代数群SL3（k）的余Weyl模的张量积的Krull-Schmidt分解.在第一章的前三节我们利用先利用[35]中关于量子超群U（m|n）的BLM实现的结果给出了量子Schur超代数的BLM基和单项式基,最后一节把量子Schur超代数实现为有限线性群的一个表示的自同态代数,这个结论推广了[3]中关于量子Schur代数和有限线性群之间的关系的结果.在第二章中,受到[35]和[40]的启发,在整量子Schur超代数的直积代数中,找到了一组L=Z[v,v-1]上的统一张成基,使得这组基张成的子空间是一个（?）-子代数,并且这个子代数同构于量子超群U（m|n）的Lusztig整形式U.之所以要考虑整形式的BLM实现,意义在于能以任意的（?）-代数为基环做BLM实现,例如,本章的最后给出了奇数次单位根处量子超群的BLM实现.在第三章中受到[34]的启发,定义了无穷小量子Schur超代数和小量子Schur超代数的概念,有了这两个新的概念后,我们给出了无穷小量子Schur超代数的生成元与关系式的实现,给出了无穷小量子Schur超代数和小量子Schur超代数的单项式基和BLM基,最后利用了生成函数方法计算了无穷小量子Schur超代数和小量子Schur超代数的维数公式.最后一章中,我们着眼于Schur代数的推广和应用,这里利用广义Schur代数给出了代数群SL3（k）的具有限制最高权的余Weyl模的张量积的Krull-Schmidt分解的一个完整的算法.此时两个余Weyl模的张量积中的合成因子的最高权落在权格的一个有限子集（记作π）中,这个子集是一个偏序集且关于该偏序构成一个理想.合成因子的最高权都落在π中的代数群的表示范畴等价于广义Schur代数S（π）（它是一个有限维代数）的有限维模范畴.这样做的好处在于可以在不改变表示论的情况下将计算大大简化,可以随时根据需要选取尽可能小的偏序集π来达到目的.
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