众所周知，拟共形映射理论中的特殊函数—Gauss超几何函数F(a，b;c;x)，完全椭圆积分K(r)和ε(r)，Gr(o)tzsch环函数μ(r)，Hersch-Pfluger偏差函数ψK(r)等，不仅在拟共形映射理论中发挥重要作用，而且在数论，平均值理论等其它数学分支及数学物理中都有着广泛应用。　　Gauss超几何函数在特殊函数中具有极其重要的地位，许多其它的特殊函数和初等函数只是它的特殊情形和极限情形。上世纪80年代，De Branges又利用Gauss超几何函数证明了著名的Bieberbach猜想，因此，对于超几何函数的研究更显意义重大。完全椭圆积分作为超几何函数的特殊情形，由于它与几何函数论中的椭圆周长估计，Gr(o)tzsch环函数μ(r)和圆周率π的计算、多角形映射等问题具有密切的关系，所以探究完全椭圆积分的新的性质和不等式有助于推动几何函数论的发展。此外，建立拟共形映射中的Hersch-Pfluger偏差函数ψK(r)的渐近不等式，可以加强显示拟共形Schwarz引理和改进Ramanujan模方程的解的估计。　　本文通过研究拟共形理论中的特殊函数及其它们的广义形式的分析性质，建立了一些恒等式和渐近精确不等式，进而改进和推广了一些已知结果。此外，作为连分数收敛序列的推广，高维M(o)bius变换的限定序列被讨论在双曲几何中。　　本论文内容可分为以下四章。　　第一章主要介绍了本文的研究背景，并引入本文所涉及的一些概念、记号和已知结果。　　在第二章中，我们首先确立了两类完全椭圆积分满足Hp，q凹凸性的充分必要条件;其次，完全椭圆积分的一个最佳H(o)lder平均值不等式被证明，而且利用Toader平均值，我们给出了第二类完全椭圆积分及其椭圆周长的几个渐近精确界，改进了一些已知结果;最后，通过寻找Ramanuj an常数函数的无穷级数，第一类广义椭圆积分Ka(r)（r→1）的一个渐近精确界被证得。　　第三章首先建立了一个幂级数比值函数单调性的判定准则，运用此准则，零平衡超几何函数的Ramanujan立方变换不等式被证明;其次，我们在广义模方程理论中研究了超几何函数的比值函数μ*a(r)（广义Gr(o)tzsch环函数），并利用零平衡超几何函数的Ramanujan立方变换不等式，我们找到了μ*1/3(r)的一个无穷乘积表示，证得了μ*a(r)的一些不等式。此外，Ramanujan立方变换的对偶变换被发现。　　第四章利用Clifford代数揭示了高维M(o)bius变换限定序列的一些分析和几何特征。