本文着重对黎曼流形上几种重要几何流的几何分析性质进行了研究．主要内容包括一般几何流下的体积单调性公式，完备黎曼流形在Yamabe流下在无穷远处的性质，在Yamabe流下黎曼流形上热方程的梯度估计和完备黎曼流形在Ricci-Harmonic流下孤子的体积增长估计等问题．　　 1982年，R．S．Hamilton[37]证明了具有正Ricci曲率度量的紧致三维黎曼流形一定具有常正曲率的度量．他运用Ricci流的方法让度量沿着正规化的Ricci流方程变化，最后收敛到一个球．分析工具的优势在这个问题的解决过程中得到了充分展现．利用分析工具来解决几何问题成为了几何学家们进行研究的重要新思路．紧接着，Huisken[31]在1984年使用Hamilton这篇经典文献的方法，对平均曲率流证明了，欧氏空间中凸的超曲面在正规化的平均曲率流下收敛到一个球．随着研究的深入，人们对几何流的分析，几何性质了解得更加全面．2002年Perelman[64]运用Hamilton的Ricci流给出了Poincare猜想的证明框架，2005年H.D．Cao和X.P．Zhu[24]在前人工作的基础上写出了Poincare猜想的详细证明．整个证明过程运用了大量重要的分析技巧．2008年，S．Brendle和R．M.Schoen[5]又用Ricci流证明了长期未解决的1/4微分球面定理．　　 这些重要结果的完成对几何学产生了巨大的推动．几何流领域也成为了几何学家们的研究焦点．　　 首先，其他重要的几何流还需要被进一步研究．如平均曲率流，已经得到了许多好的结果，但仅限于超曲面的情况．高余维数子流形的情况仍是个长期的难题．M.T．Wang[75][76][77]在这方面进行了一系列的研究，在最近由B．Andrews和C．Baker[1]取得了本质性的进展．再如最初曾被用来尝试解决Yamabe问题的Yamabe流，相比Ricci流和平均曲率流，对它的研究结果还太少．还有R．Muller[60]研究的Ricci-Harmonic流，等等．　　 另一方面，很多未解决的几何问题，都可以尝试着通过寻找合适的流来解决，如S．T．Yau[78]的120个问题中的Hopf猜想，能否尝试通过几何流解决，还有将平均曲率流用来解决子流形几何中的问题．这些都是几何分析重要的发展方向．　　 本文在前人工作的基础上，讨论了以下问题：　　 第一章对完备非紧黎曼流形上一般的曲率流在一定条件下给出了一个体积单调性公式．这类单调性在几何流的研究中的重要性在于，由它们可以导出更多深入的结果，如非塌缩性定理等，于是，对特定的几何流人们往往希望能寻找到这类单调性公式．但是，很多几何流是不存在这类体积单调性的．这里，我们对一般的几何流进行研究，对黎曼流形(M，g(t))，度量的发展方程为(?)gij=-2Sij，这里S是任意一个对称2-张量．研究的目的在于，思考在S满足什么条件下能得出这样的体积单调性公式，从而可以判断具体的几何流是否具有这样的单调性．R．Muller[59]对紧致的情况给出了证明，我们对完备非紧情况S在一定条件下导出了体积单调性公式．　　 第二章研究在Yamabe流下，局部共形平坦的完备非紧黎曼流形在无穷远处的性质．1995年R．S．Hamilton[39]证明了，对于具有有界曲率的完备的Ricci流的解，如果在初始时刻t=0时，在无穷远处的曲率趋向于零，则这个性质随着时间的变化是保持的．在Yamabe流下，对于局部共形平坦的完备非紧黎曼流形，我们得到了类似的结果．进一步，如果这个Yamabe流的解还具有非负Ricci曲率，则这个流形的渐近体积比是个常数．　　 第三章考虑Yamabe流下，黎曼流形上的热方程的Harnack估计的问题．Harnack估计在几何分析中应用广泛．对于热方程，Li-Yau型的Harnack估计是得到方程的正解的一个时空上的梯度估计．对流形上的任意不同的两点，在对这种Harnack不等式沿连结这两点的测地线进行积分后，可对热方程的解在不同的时空点进行比较，这是得到热核下界的主要步骤，对于在Yamabe流下演化的度量，我们用Li-Yau的方法证明了流形上热方程的Harnack不等式．　　 第四章研究Ricci-Harmonic流的孤子的一些性质．B．List[55]和R．Muller[60]将Ricci流和调和映照流结合到一起，提出了Ricci-Harmonic流：这里φ：(M，g(t))→(N，h是两个流形M和N之间的映照，Tg(t)φ=trace▽dφ，α是非负的与时间相关的常数α(t)．在B.List的文章[55]中，他提到了，这是一个在广义相对论中有一些应用的流．R．Muller的论文[60]对这个流进行了系统的研究，从解的短时间存在性和长时间存在性，到深入的一些单调性公式和非塌缩性定理等，都给出了详细的证明，我们主要研究Ricci-Harmonic流的孤子的一些性质．因为孤子是几何流在奇点处的几何模型，所以对孤子的研究一直是一个重要的方向．在紧致的情况下，由梯度孤子的公式和极值原理可以直接证明，稳恒的或扩张的梯度Ricci-Harmonic孤子必定为爱因斯坦度量．在完备非紧的情况下，我们先对Ricci-Harmonic流的梯度孤子的势函数进行了局部的估计，然后证明了在α`(t）≤0的情况下这类孤子的体积至多只有欧氏增长．这里一方面，α`(t）≤0的条件在对梯度孤子的势函数进行估计时是必要的，另一方面，α`(t）≤0的情况在对Ricci-Harmonic流的研究中是较好的，前面提到的已经得到的一些单调性和非塌缩性定理这些重要结论也仅限于这种情况．