基数约束投资组合问题是我们在日常决策中经常面对的一类重要的实际问题,在金融投资、图像处理、数据分析等领域有广泛应用.投资组合是由投资人或金融机构所持有的股票、债券、金融衍生产品等组成的集合,目的是分散风险.马科维茨于1952年提出的均值方差模型奠定了现代证券投资组合理论的基础,并在金融投资领域有广泛应用.而在实际操作中,由于交易成本及其他因素的限制,交易者持有股票的种类不能过多,因此在均值方差模型中引入基数约束是有必要的,实现该问题的求解具有实际意义.本文研究如下带基数约束的投资组合问题min xTQx s.t.rTx>rp eTx≤1∑i=1nδ(xi)=k xi>0,i=1,2,…,n其中Q为有价证券收益率的协方差矩阵,rp为期望收益率,r为收益率,e为各分量都为1的向量,x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn为投资组合,k为投资组合x中非零变量的个数,n为有价证券总数,投资预算为1.针对该问题,本文首先运用积分水平集方法来求解.由于应用积分方法需要区域的丰满性,因此通过构造Q-测度空间,使基数约束对应的可行域相对该空间满足积分总极值方法的丰满性理论.进一步结合罚函数技术,将原问题转化为Q-测度空间X上的无约束优化问题min xTQx+αp(x)s.t.x ∈ X其中p(x)=[max(rp-rTx,0)]2+[max(eTx-1,0)]2,为罚函数,α为罚参数,算法的实现过程中采用Monte-Carlo模拟技术进行,即用随机投点的方法估计水平集上的目标函数,从而实现带有基数约束投资组合问题的积分水平集算法.针对该问题,本文其次运用遗传算法,由于直接对满足基数约束的投资组合向量进行交叉操作产生的新向量未必满足基数约束,为此我们构造了基数向量这一概念,它是投资组合向量的一种新的表示方法.即基数向量是一个2k维向量,前k个分量为投资组合向量非零分量的序数,后k个分量表示其分量值,当问题的投资组合向量维数较高,且其中非零分量个数较少时,基数向量占用的存储空间更低.进而我们规定了遗传算法的交叉操作,这样保证了基数向量进行遗传操作后仍落在基数约束所对应的可行域内.从而,对基数向量的高位基因和低位基因分别确立了变异操作的规则,使得变异操作得到的新基数向量仍是原问题的可行解.并从理论上证明了遗传算法应用于带有基数约束投资组合问题的可行性,进一步设计了基于该表示法的遗传算法并对算法进行了实现.最后分别基于2016年6月至8月A股市场的11支股票对两种算法进行数值实验,结果表明本文给出的两种算法是可行的.积分总极值方法的优势体现在迭代步骤相对较少,并且可以得到原问题的近似最优解集;不足之处在于通过Monte-Carlo模拟求解水平集上的积分不够高效.遗传算法的优势在于计算复杂度较低,算法占用存储空间小;不足之处在于只能得到一个近似最优解.本文的结构如下:第一章为绪论;第二章主要简述了积分总极值方法以及遗传算法的一些基本理论;第三章将针对基数约束投资组合问题构造一类特殊的Q-测度空间,使得基数约束问题在该空间中满足丰满分析理论,并结合罚函数技术,将原问题转化为Q-测度空间上的无约束优化问题,且通过数值实验说明了该方法的可行性;第四章通过构造新的基数向量对原投资组合向量进行改变表示,以及指定交叉和变异操作规则,保证遗传算法产生新的基数向量仍落在基数约束投资组合问题的可行域当中,数值实验说明该遗传算法对基数约束投资组合问题是可行的.最后为结论与展望.