【摘 要】
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解析函数空间的引入极大地丰富了算子理论的研究内容.一方面,很多经典的算子理论问题都可以模型化为解析函数空间上的具体问题.例如,单位圆盘上（向量值）Hardy空间是Nagy-Foias的膨胀理论的基本模型;另一方面,人们尝试将代数、几何和拓扑等工具引入到算子理论的研究中,并尝试用新的观点来解释它.众所周知,单位圆盘上Hardy空间的子模结构可以由内函数完全确定.但要完全刻画多圆盘上Hardy空间的子
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解析函数空间的引入极大地丰富了算子理论的研究内容.一方面,很多经典的算子理论问题都可以模型化为解析函数空间上的具体问题.例如,单位圆盘上（向量值）Hardy空间是Nagy-Foias的膨胀理论的基本模型;另一方面,人们尝试将代数、几何和拓扑等工具引入到算子理论的研究中,并尝试用新的观点来解释它.众所周知,单位圆盘上Hardy空间的子模结构可以由内函数完全确定.但要完全刻画多圆盘上Hardy空间的子模结构却非常困难.本文主要研究双圆盘上的Hardy子模及其相关的算子理论问题.第一章介绍一些基本概念及本文要用到的主要工具和结论.第二章研究多圆盘Hardy空间H2（Dn）上的Beurling型子模.证明了如果对任意的i≠j,都有[Rzi*,Rzj]=0成立,则M是一个Beurling型子模,即存在H2（Dn）中的内函数θ使得M=θH2（Dn）.特别地对n=2的情形,证明了赋值算子L（0）在Beurling型商模N=H2（D2）（?）θH2（D2）上是紧算子当且仅当6（z,w）=θ（w）是一个只依赖变量ω的有限Blaschke乘积.第三章研究H2（D2）的一类特殊的子模,即内序列基子模,该子模与经典的单变量算子理论有着深刻的联系.证明了内序列基子模的亏格空间都是有限维的,并给出了其维数的一个估计.完整地刻画了压缩算子Sz的紧性和正规性,给出了赋值算子L（0）和R（0）限制在内序列基商模上是紧算子的充分必要条件,并计算了Hilbert-Schmidt范数.在研究双圆盘上的Hardy子模结构时,内函数不再起中心作用.一般认为核算子起着核心的作用,并且核算子和两个变量的Jordan块（SZ.Sw）的联合（本性）谱及指标有着深刻的联系.第四章研究压缩对（Sz,Sw）,证明了如果（Sz,Sw）是Fredholm的,则M的亏格空间（M （?） zM）∩（M （?） wM）是有限维的,并且用核算子的特征空间维数给出了（Sz,Sw）的Fredholm指标一个表示.
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