近年来，多项式系统的定性与分支理论正系统而深入地研究着，并且随着多项式系统的迅猛发展及其在物理、化学、生物、工程、经济与社会等领域中的广泛应用，多项式分支问题的研究已成为非线性动力系统研究的重点和难点之一，同时也先后涌现了许多关于极限环和分支理论方面的专著，如文献[1-13]等。韩茂安教授在专著[4，5]中，比较系统地论述了由常微分方程定义的动力系统的周期解及各种分支现象的一般理论与方法。在其中包括Hopf分支，退化Hopf分支，自治、周期系统周期解的局部分支，非双曲孤立闭轨及闭轨簇在自治、周期扰动下的非局部分支，平面系统的Hopf分支，Poincaré分支及同宿、异宿分支等。分支一般分为局部分支和全局分支两部分，关于局部分支的研究工作较为系统和深入，并出现了许多这方面的文章(如文献[14-32]等)，但是对于全局分支的研究却相当困难复杂，所见到的文献也不如局部分支的丰富，主要有[33-92]等。 本文主要由两部分构成，第一部分是结合利用[44-46,49,50,54]等给出的方法，并参考文献[89-92]，对几类具体平面系统，通过讨论系统的奇点，同宿、异宿轨道及其稳定性等，再结合定性理论的分析方法来讨论由奇点，同宿、异宿轨道等分支出极限环的情况，当然这里所产生的一般是指从奇闭轨附近的极限环，没有考虑其Poincaré分支。 这一部分共分四章，第一章讨论一个三次系统x=y，y=x(1-bx-x2)-εy(a1+a2x+a3x2+a4y2).(1)先是比较具体地讨论系统的同宿轨及双同宿轨的稳定性情况，通过计算在相应鞍点处的发散量，及沿相应闭益线积分等，利用定性的方法得到系统有五个极限环的结论。 第二章是讨论上述三次系统的未扰动三次系统的一个特殊情况x=y，y=x-x3外加一条不变直线，然后通过适当摄动，即讨论系统x=y(c-x)，y=(x-x3)(c-x)+εy(a1+a2x+a3x2+a4x3).(2)在不变直线x=c左边所能产生的极限环的个数。 通过计算在系统唯一鞍点O(0,0)处的发散量，及沿相应闭曲线积分，由中心摄动后所产生的焦点的稳定性及在不变直线x=c左边，双同宿轨外面的解的有界性。利用定性理论通过分析当c适当变化时，所得到极限环的个数及分布，得到系统可以有六个极限环的存在性。 第三、四两章分别讨论如下的四次及五次系统x=y(1+x2+cy2)+ε∑aijxiyj，y=x(1-ax2-y2)+ε∑bijxiyj，(3)i+j=1,3,5i+j=1,3,5其中a＜-1＜c＜0，ac＞1；及44x=y(1+ay2)(b-x)+ε∑aijxiyj，y=-x(1+cx2)(b-x)+ε∑bijxiyj，(4)i+j=1i+j=1其中a≠c为负常数，且b足够大。 这时，奇点个数的增加及扰动后奇点位置的改变带来分析计算的复杂性，只好借助于数学软件Mathematica，通过讨论摄动后的奇点(由中心摄动后产生的焦点及其稳定性，鞍点摄动后得到的新鞍点、新鞍点处的发散量、沿闭曲线附近产生的新同宿、异宿轨、双同宿轨等的曲线积分、一阶鞍点量等)，系统解的有界性(对于(4)指在不变直线x=c的左边解的有界性)。利用定性分析理论来讨论极限环的存在性，个数及分布问题，得到系统的全局分支图。 在这一部分，我们实现了定性分析与数值算法相互结合，进一步发展了双同宿轨改变稳定性产生环的问题；同时通过对系统(4)的研究，得到四次系统可以存在19个极限环，这是目前知道的次数相同情况下环的个数最多的，所以次数相同，引入不变直线可以得到更多的环。 论文第二部分讨论的是空间系统同宿轨的存在性问题。空间同宿轨、异宿轨的存在性对研究混沌问题有着重要意义，特别是对于具有鞍焦点同宿轨的存在性更为重要。我们这里就是利用待定系数法，借鉴文献[101，106]的思想来研究一类具有鞍焦点的同宿轨的存在性，并且给出了一个同宿轨不存在的例子。 在这一部分，我们更正了空间同宿轨的判别方法。