辛向量空间是被赋予了辛结构的向量空间,辛结构是一种斜称耦对的结构,最早在数学领域被Abel研究过,并与复结构混名,后被Weyl于1938年正式更为此名,中文翻译大约在1944年由华罗庚先生音译而得。其实,分析力学中的相空间就是辛空间,只是经典分析力学大师们多关注于力学系统运动的解析表达,并给出了今天研究辛结构局部特征仍很实的解析方法,而较少关注其全局几何结构而已。而且分析力学相空间上的动力学理论——Hamilton力学正是由于具有辛结构才使得Hamilton力学的应用领域从物理学的经典理论拓展到现代理论,从物理学的宏观领域拓展到微观和宇观领域,从物理学的确定性问题拓展到随机性问题,从物理学的连续性问题拓展到离散性问题,从物理学的完整约束问题拓展到非完整约束问题。本文详细研究了向量空间的辛几何结构和泊松几何结构,以及辛向量空间和泊松向量空间子空间的几何结构。并基于辛矢量空间和泊松矢量空间的几何结构研究了线性Hamilton系统几何结构和动力学问题。主要包括如下研究内容:首先,研究了辛矢量空间的几何结构以及辛向量空间的子空间理论,并研究了辛向量空间的约化问题。其次,主要研究了泊松向量空间的几何结构以及泊松向量空间的子空间理论,并研究了泊松向量空间的约化问题,最后,研究了辛向量空间和泊松向量空间上的线性Hamilton力学,详细讨论了辛向量空间上的Hamilton向量场和光滑函数的李代数结构,并讨论了Hamilton系统的正则变换理论。