【摘 要】
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图的因子理论是图论中研究的主要问题之一.对因子理论的研究在一个多世纪以前就开始了,但直到上世纪七十年代才逐渐地活跃了起来.到目前为止,对图的因子方面的研究已经得到了
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图的因子理论是图论中研究的主要问题之一.对因子理论的研究在一个多世纪以前就开始了,但直到上世纪七十年代才逐渐地活跃了起来.到目前为止,对图的因子方面的研究已经得到了不少成果.分数图论是相对年轻的分支,因此仍有许多问题有待解决.
本文所涉及的图均为连通、无向的简单图.设G是一个图,V(G)是顶点集,E(G)是边集.如果去掉任意k个顶点后的子图仍然有一个分数完美匹配,则G称为分数k-因子-临界的.当k=1时,我们称分数1-因子-临界图为分数因子-临界图.
在1973年,Chvátal第一次给出了图G韧度t(G)的定义.当G是完全图时,我们定义t(G)=+∞.当G不是完全图时,我们定义其中ω(G—S)是子图(G—S)的不连通分支数.Tadashi Iida在1991年给出了图G最小二度和σ2(G)的定义.当G不是完全图时,我们定义而图G的分数匹配数μf(G)则定义为∑e∈E(G)f(e)的上确界,其中f是图G的任一个分数匹配.
本文分为四章,主要从韧度t(G)、σ2(G)和分数匹配数μf(G)三个方面研究了分数k-因子-临界图,并得到了以下结论:
定理1设G是一个图,如果t(G)>k,那么G是分数k-因子-临界的.
定理2设G是一个n个顶点的连通非完全图,如果δ(G)≥k+1,并且
那么G是分数k-因子-临界的,而且这个界是紧的.
定理3设G是一个n个顶点的连通图,那么G是分数因子-临界图当且仅当对每一个顶点v∈V(G),都有μf(G)=μf(G—v)+1/2.
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