近些年,利用稀疏化的方法对信号进行处理成为一个热门的研究内容。图像作为一种特殊的二维信号,在实际生活中应用十分广泛。在图像的生成与传输中,需要考虑图像的传输成本以及可能被破坏等情况,因此,对图像的重构以及修复就变得有意义。本文基于这样的背景,对基于L0范数的图像重构算法以及基于全变差正则化的图像修复理论进行研究,分别提出了新的算法。首先,针对压缩感知中SL0系列算法里的平滑函数的“陡峭性”能够影响图像重构的性能的问题,本文构造了“陡峭性”更高的复合反比例函数,结合最速下降法、梯度投影原理以及OSL0算法中的余量机制,提出了MSL0算法。同时,针对优化算法中最速下降法的搜索路径为“锯齿状”,影响收敛速度以及牛顿法计算复杂、耗费时间多等问题,本文采用新的非线性共轭梯度法取代MSL0算法中的最速下降法,提出MCGMSL0算法。将这两个算法用于图像重构,实验仿真表明,MSL0算法和MCGMSL0算法均能很大程度上提升图像重构的效果,同时只需要极少的重构时间,有着良好的性能。其次,针对图像修复中CTVL1模型使用一阶TV正则化机制,修复的图像可能存在“阶梯”效应,影响修复效果等问题,本文在CTVL1模型的基础上引入二阶TV正则化机制,建立HOCTVL1模型,并用ADMM方法对模型进行求解,给出HOCTVL1算法。同时,对于模型中的正则化参数采用固定值,可能会影响图像修复的细节等问题,本文在HOCTVL1模型中结合空间自适应正则化机制,建立SAHOCTVL1模型,给出SAHOCTVL1算法。实验仿真结果表明,HOCTVL1模型很大程度上提升了图像修复的效果,有着很好的性能;SAHOCTVL1模型进一步提升了图像修复的效果,但是其需要耗费更多的时间。最后,将本文提出的算法应用于遥感图像的重构与修复,通过大量的实验仿真,并与其他的算法进行对比,验证了本文所提的几种算法的优良性能,证明本文所提的算法具有一定的实际应用价值。