【摘 要】
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在经典微分几何中,关于三维欧氏空间中具有常高斯曲率或者常平均曲率的曲面研究一直颇受关注.其中重要的成果有若M是R3的完备浸入曲面且M的高斯曲率为非零常数,则M是一个球面
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在经典微分几何中,关于三维欧氏空间中具有常高斯曲率或者常平均曲率的曲面研究一直颇受关注.其中重要的成果有若M是R3的完备浸入曲面且M的高斯曲率为非零常数,则M是一个球面.这是由Hilbert定理和Liebmann定理推出的.之后有很多数学家对欧式空间浸入超曲面的球性定理进行了各种推广,推广主要在2个方面.一是对曲率的推广,将平均曲率推广到Gauss-Kronecker曲率.二是对空间形式的推广,将欧氏空间的超曲面推广到双曲空间、半开球等空间形式的超曲面.本文是综述性文章,主要总结空间形式超曲面的球性定理的成果和进展.本文第一章是对微分流形和黎曼几何中的一些基本知识的介绍.后面分三个部分介绍球性定理.第二章叙述欧式空间的球性定理.同时在这个部分利用Minkowski formula给出一些球性定理的证明.第三章介绍双曲空间形式的球性定理,这一部分考虑Gauss-kronecker曲率不同限制关系下的球性定理.利用类似的思路和想法在第四章介绍球型空间的球性定理.本文在第三章和第四章类比欧氏空间球性定理的证明给出了双曲空间和球型空间部分球性定理的证明.本文介绍不同空间形式的浸入超曲面的球性定理.结合近期产生的新结果,期望给出一个较为全面的总结.
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