经典的小波理论是基于2带的情形研究的。事实上,2带小波通常只在分析能量绝大部分集中在低频（或高频）区域的信号时效果良好,对于那些能量集中在中间带状频域或者分频带分布的信号常常不能满足需要。所以,在大量的实际应用中,需要对信号作更为精细的分析和处理以得到更为满意的效果,仅仅考虑2带小波是不够的,还需要进一步使用多带小波。另一方面,多带小波还具有一些2带小波所不具有的性质,如既正交同时又具有线性相位等,而这些性质对于很多应用是十分重要的。所以多带小波的理论与构造已经成为信息领域一个新的研究热点。本文将经典的2带小波理论研究成果推广到任意M带,其中深刻研究了关于多带小波的尺度函数与小波的三个重要问题:它们的逼近精度和小波消失矩,尺度函数的存在性及其构造以及尺度函数和小波的光滑性问题。再根据对多带小波理论的研究,深刻阐述了完全重构滤波器组与小波的关系,提出了完全重构滤波器组构成小波滤波器组的充要条件。 基于完全重构滤波器组的M带正交小波的构造主要有两种思路。第一种是基于多相位矩阵格型分解,再结合正则阶的限制条件,最后通过求解一个约束优化问题来实现;第二种是在先求得尺度滤波器的前提下,再通过对多相位矩阵正交化来实现。第一种思路的算法随着正则阶的增大,约束条件变得过于复杂,因此求解也变得十分困难;现有的属于第二种思路的小波构造算法不能保证线性相位性质。本文基于第二种思路结合计算代数中Groebner基和合冲模的思想和算法提出了一种同时具有任意正则阶和线性相位性质的M带双正交小波的新型高效构造算法,其中采用多相位矩阵逐行双正交化的方法。与现有算法相比,该算法克服了不能同时具有任意正则阶和线性相位性质等缺陷,同时还具有计算效率较高等优点。