Fourier分析的本质是用常数频率的时频原子去表示信号,其衍生出的其它时频分析工具如频谱图、Wigner分布、小波分析等都可以在这种框架下去理解。遗憾的是实际信号大多是瞬变的,即其“频率”(瞬时频率)具有时变特征,要求用非线性相位的原子去表示。最近,国内外多个学术团队对“非线性Fourier原子”表示瞬变信号产生了浓厚的兴趣,并取得了众多理论成果。这种“非线性Fourier原子”就是单位圆盘或上半平面Blaschke乘积的边值。这类信号满足Bedrosian恒等式,其相位是非线性的,即瞬时频率是非常数的时变函数,是结构最简单的单频率成分信号。上述研究是对Fourier分析非线性化的重要进展。本论文尝试研究从偏微分方程的角度研究非线性Fourier原子,即从Sturm-Liouville算子出发,建立起波动方程与单频率成分信号间的本质联系。主要研究内容如下:首先,回顾了 Fourier分析等相关工具在数字信号处理中的作用;回顾单位圆上Hardy空间中有限Blaschke乘积、非线性型相位函数eiθn(·)定义、基于Hilbert变换的Bedrosian恒等式,进而引入Sturm-Liouville算子。其次,运用Gram-Schmidt(G-S)正交化将 Blaschke 乘积系统{Bn:n∈N}映射到 Takenaka-Malmquist(TM)系统[1-4],根据极坐标的选择不同构建不同的模型。对于一般系统{eiθn(·):n∈Z},当n<0时,有eiθn(·)=eiθ-n(·),进而研究在此类生成系统eiθn(·)下的一类具有定解条件的波动方程。最后,利用Sturm-Liouville算子研究出具有定解条件的波动方程的解与单频率成分信号间的联系。