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调和分析的思想方法和精细技巧几乎渗透到了数学的所有领域，尤其与微分方程的研究密切相关。Hardy型不等式在偏微分方程的多个研究方向中有着独特的作用，特别是带最佳常数的Hardy型不等式在处理带奇异低阶项的椭圆型方程的解的存在性，正则性，特征值问题中的作用。利用调和分析的精细工具和方法对各类具有最佳常数的Hardy型不等式的研究引起了国内外数学界的广泛关注。 本文的总体目标是根据掌握的资料和最新国内外研究趋势,利用和发展当前已积累和发展的调和分析和偏微分方程的研究方法和技巧,系统深入地研究关于Hardy型不等式的理论和方法，拓展思路，探索前人研究较少的方向和领域，力争取得获得丰富的应用成果。 本论文的主要研究成果为以下三个方面： （1）给出了欧氏空间中两种带不同余项的Hardy型不等式的证明，同时给出最佳常数，以及达到最佳常数的条件。 （2）证明了各向异性Heisenberg群上一类带余项的Hardy型不等式。 （3）证明了一类相应于各向异性广义Greiner向量场的带余项的Hardy型不等式。 虽然国内外很多学者对Hardy型不等式进行了大量的研究，但是关于带余项的Hardy型不等式的学术文献相对较少，本文的研究结果包含并推广了该领域的最新成果，证明过程中采取了一些新的技巧和方法，并且努力探索一些较为前沿的新的研究内容。