论文部分内容阅读
本文考虑以波方程周期解问题为背景的具有如下形式的所谓强不定泛函：f(x)=1/2+G(x)，其中H是一个实可分的Hilbert空间(具有内积<．，．>)，A是有界自伴算子，其正、负和零特征子空间都是无穷维的.这时泛函f的任意临界点的Morse指标都是无穷的，所以其临界群是平凡的.这使得古典的Morse理论无法有效地应用.本文的目标是对这种泛函建立一种新的Morse指标理论并应用它来研究波方程的周期解.
为建立这种泛函的Morse理论，作者运用的基本方法是Gelerkin逼近.设H=-∪∞n=1Hn，其中Hn是H的有限维子空间.考虑限制泛函fn=f|Hn.首先引入了所谓的(PS)*λC条件，然后给出了一些假设使泛函f满足此条件.在(PS)*λ,C条件下，作者发现对f的任意一孤立临界点x0，存在x0的某一邻域Br(x0)，当n充分大时，Brn(x0)=Br(x0)∩Hn是关于fn的伪梯度流的孤立块，并且包含在此孤立块中的最大孤立不变集的Conley指标随n趋于无穷大有着某种变法规律.根据这个变化规律我们用Conley指标对f的孤立临界点定义了非平凡的临界群.类似地，作者定义了渐近线性情形时泛函f在无穷远处的临界群，然后建立了Morse型不等式.
作为应用，本文证明了如下渐近线性波方程周期解的存在性和多解性：{uu-uxx+g(x,t,u)=0，0＜x＜π,t∈R，u(0，t)=u(π,t)=0，t∈R，u(x，t+2π)=u(x，t)，0＜x＜π，t∈R.设limξ→0g(x，t，ξ)/ξ=b0(x，t)，limξ→∞g(x，t，ξ)/ξ=b∞(x，t).结果的改进之一是本文只要求g(x，t，ξ)关于ξ是严格单调的，而其他的文章都要求g(x，t，ξ)关于ξ是强单调的.另外本文并不要求b0(x，t)，b∞(x，t)是常数.当b0(x，t)，b∞(x，t)是关于变量(x，t)的函数时，这方面的结果还不多见.同时本文的结果还包括b0(x，t)=b∞(x，t)的情形，这意味着方程在原点和无穷远点关于同一个函数共振.与渐近线性波方程类似地，本文还讨论了渐近线性樑方程，证明了周期解的存在性和多解性.
对超线性的强不定泛函，其孤立临界点的临界群仍然是可以定义的，但本文不会定义泛函f在无穷远处的临界群，因此无法建立完整的Morse理论.本文只是对一类dimkerA=0的相应于二阶超线性常微分方程组的强不定泛函证明了一个建设性的结果.希望这一结果为进一步用Gelerkin逼近的方法建立超线性强不定泛函的Morse理论指出一条途径.