曲线模空间和Calabi-Yau流形的模空间是现代数学的两个中心对象，它们将许多数学分支连接在一块，比如微分几何，代数几何，拓扑，表示理论，多复变等等。理论物理，尤其是弦理论，是保持着这两个研究领域蓬勃发展的诸多力量之一。当然这些领域也有很多自然的数学问题需要被解决。数学家和物理学家为了有意思的问题和更好地理解世界在一起合作。　　跟这个领域相关的主题是极多的。形变理论，Teichmüller理论，映照类群的表示，霍奇和混合霍奇结构，几何不变量理论，Gromov-Witten不变量和BCOV的物理理论[BCOV]是几个比较有意思的主题。在这篇文章中，我们就限制在形变理论和霍奇结构上，以达到理解Teichmüller理论和曲线模空间的目的，希望能把这些想法推广到一般形的紧复曲面和Calabi-Yau流形的情形上去。　　一个基本的追问就是Tcichmüller空间局部上是不是同胚于Kuranishi族的底空间，这打开了一条用形变理论来理解的模空间理论的路。黎曼面的Teichmüller空间原来是用拟共形映照构造的[A，N]。最近，Arbarello和Cornalba[AC]证明了那个基本追问对紧黎曼面的情形是对的。Catanese[Cat]在更广的框架下讨论了这个追问，其中[Cat，命题15]就保证了，对于Calabi-Yau流形的情形，基本追问也是对的，并且紧复曲面情形的探讨也展开了。　　跟随这些想法，我们想用解析形变方法来理解Teichmüller理论，霍奇结构和它的退化，就像他们做过的那样[W2012，HK，GLT]。这篇文章主要处理两个相关的问题，也就是Oort猜想和黎曼面的Torelli定理。　　记J:Mg→Ag为从亏格为g的黎曼面的模空间到主极化阿贝尔簇（也就是权重为一的霍奇结构）的模空间的周期映照。Jg定义为J(Mg)，也被叫作Jacobian轨迹或是Torclli轨迹。(J)g是Jg的在Ag中的Zariski闭包。　　Oort提出过一个问题，实质上让我们考虑(Ag，ωs)中的至少带有一个特殊点的全测地子簇，还要求子簇包含在(J)g内并且与Jg的交非空，其中ωs是Siegel度量。Oort曾猜想g充分大的时候这些子簇不会存在，这传递了一个几何感觉:Jg是在Ag弯得很厉害。Oort和Moonen[Moo，MO，Oo]有一系列代数和算术的方法来理解这个猜想，然而我们想跟着Yin的论文[Y]的思路来尝试一下解析形变的方法。对非超椭圆轨迹第二基本形式的计算以及其中一些全测地子流形的讨论都包含在第三章中。同时，我们也得到了周期映射的完全展开，以及全纯一形式形变公式整体收敛的一个结果。　　局部和整体Torelli定理在霍奇和混合霍奇结构中都很重要。一个基本的想法是用霍奇结构去描述复结构。文献中这方面的论文是非常多的。我们也希望把霍奇结构和解析形变方法融合起来，得到一个更好的理解，这些就是第四章的目标。黎曼面上的整体Torelli定理曾被Torelli[Tor]证过，后来又被Androtti[And]和Weil[Wei]重证过。Oort和Stecnbrink在[OS]中证过局部Torelli定理。而我们是在解析形变的框架下讨论Torelli定理，侧重全纯一形式的形变，希望方法能被推广的其他情形。　　文章是这样安排的:　　第一章提供了复结构形变中初等但重要的结果。我们从一族复流形的全纯横截平凡化开始，后来被称为尺度。一个中心的概念就是全纯横截平凡化的Kuranishi数据或者称为Beltrami微分形式，它描述着周围的复结构是怎样被中心的复结构表达的。基于这些，我们讨论了可积条件。这章的最后包括了形变理论中常用的概念:完备，通用，万有，以及描述这三个概念几何涵义的定理。　　第二章介绍了霍奇理论的基本知识——概念和构造，比如霍奇结构，极化霍奇结构，分类空间和霍奇结构的变分。为了有更好地几何直观，我们举了一些具体的例子。本章没有陈述定理但是给出了从上同调来理解几何对象复结构的基本框架。因为时间紧迫，有些有意思的内容没有在本章加进来。本章的介绍会有一些指引。　　第三章探讨了全纯一形式的形变公式在黎曼面模空间有关问题中的应用，包括周期映射的完全展开，Siegel度量的和它的曲率公式，Torelli空间非超椭圆轨迹的第二基本形式，还有全纯一形式形变公式的整体结果。　　我们从亏格为g的黎曼面的Teichmüller空间的Kuranishi坐标和全纯一形式的形变公式θ(t)开始，这些构造都包含在3.2.1节和3.2.2节中。形变公式的要点在定理3.2.1之中。这些之后，我们得到Theorem0.0.8.周期映射Π:τg→Hg在Kuranishi坐标Δp，(ε)下有这样的完全展开Παβ(t)=Παβ(0)+∫X0θαΛH（μ（t)(⊥)θβ）+∫X0θαΛH(μ(t)(⊥)ηβt,1）-√-1/2∫X0θαΛH(μ(t)(⊥)θδ)Mδγ∫X0θγΛH(μ(t)(⊥)θβ）+∑k≥3∑mi＞0，1≤i≤l m1+…+ml=k{(-1)l-1∫X0θαΛH(μ(t)(⊥)ηα1 t,m1-1）√-1/2Mα1α2∫X0θα2ΛH(μ(t)(⊥)ηα3 t,m2-1）…√-1/2 Mα2l-3α2l-2∫X0θα2l-2ΛH(μ(t)(⊥)ηβ ml-1）},其中，由定理3.2.1，ηαt,N是θα形变公式中的ηαt展开的N阶部分，并且Mαβ是Mp=Im（πp）的逆矩阵。　　Raueh[R]和Meyer[M]对周期映射展开到一阶，而在[Y]之中，Yin通过计算周期映射高阶导数得到的展开公式，三阶以上的部分没有显示表达，因为很难写出周期映射的各阶导数。通过解一种递归关系，我们在3.2.3节得到周期映射各阶展开的显示公式，这是一种不一样的思路。　　在3.3节中，由算子(e)oGo(e)拟等距的结果，我们得到了全纯一形式形变的整体结果。Proposition0.0.9.定理3.2.1中在Xp上构造的(1，0)形式η(t)只要|t|＜1就会在L2范数的意义下收敛，定理3.2.1中的θ(t)也是一样。　　在3.4节中，全纯一形式的形变公式提供给我们一个有效的方式来计算Siegel度量和它的曲率，可以按照展开t的次数依次写出。为了更好地表达，我们需要定义3.4.1中的对称导数。正则坐标系(3.4.5)也用在了我们的计算中。　　Theorem0.0.10.在Torelli空间(τ)org的非超椭圆轨迹上的Siegel度量ωs(t)可以写成ωs(t)=√-1/2∞∑n=11/n(e)(e)tr(A(t)—A(t))n=√-1/2∑k≥0∑mi＞0,1≤i≤2l m1+…+m2l=k+21/ltr(Si(j)(Am1(t)—Am2(t)…—Am2l(t)))dtiΛd(t)j,并且它的曲率Ri(j)k(l)由以下给出Ri(j)k(l)=-∑N≥0∑mi＞0,1≤i≤2l m1+…+m2l=N+41/ltr(Si(j)Sk(l)Am1(t)—Am2(t)…—Am2l(t)))+∑N≥0∑Ni≥≤i≤3∑3 i=1 Ni=N[∑mi＞0,1≤i≤l m1+…ml=N1(-1)llΠi=11/(s)i∑m1n＞0,1≤n≤2s1∑2s1 n=1 m1n=m1+2 tr(Sq-i1(Am11(t)…—Am12s1(t)))∑m2n＜0,1≤n≤2s2∑2s2 n=1 m2n=m2+2 tr(Si1-i2(Am21(t)…—Am22s2(t)))…∑mln＞0,1≤n≤2sl∑2sl n=1 mln=ml+2 tr(Sil-1(p)(Aml1(t)…—Aml2sl(t)))[∑mi＞0,1≤i≤2l∑2l i=1 m2n=N2+31/ltr(SiSk(q)(Am1(t)…—Am2l(t)))][∑mi＞0,1≤i≤2l∑2l i=1 mi=N3+31/ltr(S(j)Sp(l)(Am1(t)…—Am2l(t)))]其中我们需要约定第二个加和项的第一个中括号中当N1=0时则整个量为δqp。　　3.5节的动机是Oort猜想和Moonen的结果。因此，理解Torelli轨迹的第二基本形式和全测地子簇是非常重要的，这些也被Faber[F]，Hain[H]和Toledo[T]在文章中提出过。用形变的方法，我们可以得到非超椭圆轨迹的第二基本形式以及非超椭圆轨迹中全测地子流形的一些理解，附录6.1中有第二基本形式的完整公式。　　Proposition0.0.11.非超椭圆轨迹的第二基本形式在中心点由如下公式给出Σi(j)k(l)(0)=tr(Aik—Ajl),其中Aij出现在定义3.2.4之后，我们讨论过的A(t)展开的齐次部分中。　　作为一个直接的推论，沿着Torelli空间(τ)Org中非超椭圆轨迹的全测地子流形的全纯截曲率是有下界的（全纯截曲率有上界是清楚的）。并且我们得到全测地和局部对称的关系，也就是Torelli空间(τ)org中非超椭圆轨迹里的全测地子流形一定局部对称。　　第四章的主题是对黎曼面Torelli问题提出一个新的微分几何的理解。Torelli问题通常被分成两种:局部Torelli和整体Torelli。这两个问题分别是关于从黎曼面模空间到主极化阿贝尔簇模空间的局部单性和整体单性。　　这章的两个要点是亏格为g的黎曼面的Teichmüller空间(τ)g的Kuranishi坐标Δp,ε和全纯一形式的显示形变公式的使用，在3.2.1节和3.2.2节中都有介绍。　　令Γg为亏格g黎曼面的映照类群，它到整数的辛矩阵Sp(g，Z)有一个自然的表示，写成ρ:Γg→Sp(g，Z)。亏格g的黎曼面的模空间Mg是τg模掉Γg的商空间。而Ag=Hg/Sp(g，Z)被称为主极化阿贝尔簇的模空间，其中Hg={WεM(g,C)|W=WT, Im(W)＞0}在4.4节，我们首先用形变的办法给出下面两个已知的局部Torelli定理的证明:　　Theorem0.0.12.a)（局部Torelli定理1）周期映射Π:(τg)→Hg g≥3时在非超椭圆轨迹上是浸入，限制在超椭圆的轨迹上也是浸入。而当g=2时，Π在整个τg都是浸入。　　b)（局部Torelli定理2）对于g≥2，周期映射J:Mg→Ag是一个浸入。　　把Teichmüller空间τg模掉Torelli群Tg的商空间写成τOrg，它有个自然的Z2作用。回忆Torelli群Tg是表示ρ:Γg→Sp(g，Z)的核。然后我们会在4.5节中用一种新的方法证明以下的整体Torelli定理:Theorem0.0.13.对于g≥3，Jtor:(τ)org/Z2→Hg是一个嵌入。　　我们也证明了周期映照Π将Δp，ε的Γg轨道映满到它在Hg中像的Sp(g，Z)轨道。基于这些，我们证明了两个Γg轨道，如果被周期映射J映到同一个Sp(g，Z)轨道，那么它们两个轨道一定相同。因此就证明了这节的主要结果:Theorem0.0.14(Torelli定理).对于g≥2，周期映射J:M g→Ag是单的。　　第五章是从作者的角度来看形变理论和模空间。大多数材料来自于作者读过的文章。一些问题和想法的提出是为了激发读者的思考。　　第六章是对这篇论文主要内容的一个附录。6.1节包含了Torelli空间中非超椭圆轨迹第二基本形式的一个细致的显示公式，这可以看作是命题3.5.6的一个补充。在6.2节中，我们证明了通过(C)ech上同调和Dolbeault上同调的自然等价，代数的办法理解局部Torelli定理4.4.7和我们解析形变方法的理解是等同的。