【摘 要】
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创立于上世纪五六十年代的KAM理论是迄今为止最伟大的数学成就之一.本文沿用这一经典的思想和证明技巧,研究当代应用数学领域的热点问题.全文共分三个部分,在第一章绪论中,我们介绍了经典KAM理论以及低维环面保持性定理的发展及其应用,第二,三章是本文的主体部分.在第二章中,我们概述了无穷维KAM-型定理的发展过程.在上世纪八九十年代,Kuksin等人首先将经典的KAM理论推广到无穷维哈密顿系统中,证明了
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创立于上世纪五六十年代的KAM理论是迄今为止最伟大的数学成就之一.本文沿用这一经典的思想和证明技巧,研究当代应用数学领域的热点问题.全文共分三个部分,在第一章绪论中,我们介绍了经典KAM理论以及低维环面保持性定理的发展及其应用,第二,三章是本文的主体部分.在第二章中,我们概述了无穷维KAM-型定理的发展过程.在上世纪八九十年代,Kuksin等人首先将经典的KAM理论推广到无穷维哈密顿系统中,证明了无穷维哈密顿系统的不变环面保持性,并应用这一结果得到Dirichlet边值条件下,一维Schrodinger方程拟周期解的存在性.随着无穷维KAM-型定理的不断推广,人们得到周期边值条件下,一维波方程,Schrodinger方程及梁方程拟周期解的存在性.具有哈密顿结构的高维偏微分方程拟周期解存在性问题是当今数学物理领域领域备受关注的热点问题之一.因此,研究无穷维哈密顿系统不变环面的保持性也成为数学家们长期关注的问题.目前已有的结果,大多针对具有谱分离性的无穷维哈密顿系统,而当谱满足次线性增长条件时,谱的分离性相对减弱.在本文的第三章,我们主要研究具有较弱的谱渐近性的无穷维哈密顿系统的不变环面保持性.由于谱分离性较弱,我们必须修正已有的迭代格式,在每一步迭代过程中,不仅对角变量对截断,也要对法空间变量做截断,既而证明了当扰动足够小时,大部分不变环面在扰动后仍然保持下来.
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