【摘 要】
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可积系统理论是非线性微分方程和数学物理的重要组成部分.这一理论的核心是研究一大类非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性微分-差分方程的可积性.在可积系统理论中精确求解非线性微分方程并研究解的动力学性质是十分重要的研究课题.本论文着重研究了几个非线性可积系统的精确求解,取得了若干有价值的新内容.众所周知,可积系统精确求解的方法主要是反散射方法,Darboux-Backlund变换方法和Hirot
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可积系统理论是非线性微分方程和数学物理的重要组成部分.这一理论的核心是研究一大类非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性微分-差分方程的可积性.在可积系统理论中精确求解非线性微分方程并研究解的动力学性质是十分重要的研究课题.本论文着重研究了几个非线性可积系统的精确求解,取得了若干有价值的新内容.众所周知,可积系统精确求解的方法主要是反散射方法,Darboux-Backlund变换方法和Hirota直接方法.本论文所用的主要方法是Hirota直接方法,这是求解非线性方程精确解的十分重要的方法.用Hirota方法研究非线性方程的精确解尽管已有大量工作,但这一方法依然是求非线性方程精确解的主要方法之一.特别是多孤子解的Pfaff表示需要很强的技巧,是有相当难度的工作.我们首先研究了一个（2+1）-维微分差分系统.这个系统是Maccari从KP方程出发得到的非线性偏微分方程的一个可积半离散.Maccari得到的系统被广泛地研究,包括Lax可积性,Palaneve性质,双周期解,行波解等.我们用Hirota直接方法,给出了这个方程的N-孤子解,并通过离散Hirota算子的方法对x变量进行可积半离散,得到了空间半离散的（2+1）-维微分差分系统,给出了这个微分差分系统的N-孤子解,并揭示了解的相互作用的性态,研究了孤子弹性作用时相移随参数的变化直至出现共振孤子解.我们以这个半离散系统为模型给出了Maccari的连续系统的数值模拟.我们还研究了 M-分量AB系统.AB系统可以描述两层流体中的声波,也能描述超短光脉冲在非线性介质中的传播.如同非线性Schrodinger方程的研究,我们研究了 M-分量AB系统的聚焦、散焦、聚焦-散焦这三种情况,给出了这个系统的N-孤子解的Pfaff表示式.我们发现聚焦系统和散焦系统除了分别能出现亮孤子解、暗孤子解之外,都能出现亮暗孤子解,聚焦-散焦系统出现了亮孤子解、暗孤子解和亮暗孤子解这三种情况.多分量可积系统的这些新性质是值得关注的.本论文中我们将复可积无色散方程推广到多分量情形.复可积无色散方程是描述电磁相互作用的模型,并和sine-Gordon方程有着密切的联系.我们给出了这个多分量复可积无色散方程的Lax对以及它的亮N-孤子解的Pfaff表示.论文的最后我们提出了三个耦合微分差分双线性系统,并用Pfaff式构造了它们的精确解.
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