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立体几何中，经常碰到这样的问题：求满足某条件的直线有多少条？对这类问题，往往考查直线与平面的关系、角的概念及运算和空间想象能力．由于对能力的要求较高，有些同学无法正确解答．如果我们用运动的观点分析变化过程，把握判断标准，求解将不再困难．同时如果能够认真探寻规律，用好化归思想，还可达到“以一当十”的功效．
题目：如果异面直线a、b所成的角为60°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是80°的直线有条．
解：如图1，过P作直线AB//a，CD//b，则AB、CD确定一平面α，AB、CD所成的角即为异面直线a、b所成的角．因此原命题等价于：AB、CD所成的角为60°，过点P与AB、CD所成的角都是80°的直线有条．
如图2，不妨设∠BPC=60°，则平面α内∠BPC的角平分线为EF，则∠BPF=30°．过P点作GH⊥平面α，GH与EF确定的平面为γ．∵EF与AB、CD都成30°角，不满足题目条件80°．因此让直线EF绕P点在平面γ内逆时针旋转，在从EF到PG的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为30°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线即为所求．
如图3，同样让直线EF绕P点在平面 内顺时针旋转，在从EF到PH的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为30°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线也为所求．
如图4，∠BPD=120°，则平面α内∠BPD的角平分线为MN，则∠BPN=60°．因为GH⊥平面α，GH与MN确定的平面为δ．∵MN与AB、CD都成60°角，不满足题目条件80°．因此让直线MN绕P点在平面δ内逆时针旋转，在从MN到PG的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为60°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线也为所求．
如图5，同样让直线MN绕P点在平面δ内顺时针旋转，在从MN到PH的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为60°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线也为所求．
综上所述，满足题目条件的直线有四条．故填4．
规律小结：已知异面直线a，b所成的角为θ，P为空间一定点，则过P作直线l且与a，b所成的角都为θ，则直线l的条数如下：
例1．如图6，过正三棱锥S-ABC的面SBC内一点P作直线l，使 与SA和BC所成的角都等于60°，则l有（）
A． 4条B．3条C． 2条 D．1条
解：由正三棱锥的性质得SA⊥BC，因此原命题等价于：异面直线SA、BC成90°角，P为空间一点,则过点P与SA、BC所成的角都是60°的直线l有条．
如图7，过P作直线SA//a，BC//b，则a、b确定一平面α，AD，BC所成的角即为异面直线a、b所成的角．平面α内不存在与a、b成60°角的直线,两条角平分线都与a、b成45°角,可把两条角平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,可得到4个位置的直线（也可直接用上述规律）．故存在4条．故选A．
例2．已知直线l与平面 所成的角为α，过空间一点P与直线l和平面α都成45°角的直线共有（）
A．4条B． 3条C． 2条 D． 1条
解：如图8，过P作PA//直线l，PA与平面α交于A，过P作PO⊥平面α，垂足为O，连结OA，则∠PAO=60°，∴∠APO=30°．假设直线PB与直线l和平面α都成45°角，则PB与直线PA和平面α都成45°角．连结OB，则∠PBO=45°，∴∠BPO=45°．∴PB与直线PA和平面α都成45°角等价于PB与直线PA和PO都成45°角，故原命题等价于：直线PA，PO成30°角，过P点作直线PB与PA和PO都成45°角，这样的直线有几条？
如图9，∠APO=30°,∠APF=150°，∵∠APF的平分线都与AB、CD成75°角,已超过45°了．只能把∠APO平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,可得到2个位置的直线．故存在2条（也可直接用上述规律）．故选C．
例3．已知平面α与β所成的二面角为60°，P为α、β 外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D． 4条
解：如图10，二面角α-EF-β为60°，设过点P的一条直线l与α、β所成的角都是30°，l与α、β分别交于点A、B，过P作PC⊥α，P D⊥β，垂足分别为C、D，连结AC，BD，则∠PAC=∠PBD=30°，所以∠APC=∠BPD=60°，过C作CO⊥EF，垂足为O，连结OD，则OD⊥EF，∴∠COD为二面角α-EF-β的平面角，即∠COD=60°，则∠CPD=180°-60°=120°，所以直线PC、PD所成的角为60°．故原命题等价于：直线PC、PD所成的角为60°，过点P作直线l与直线PC、PD所成的角都是60°，则这样的直线有几条？如图11，∠DPM=60°,∠CPD=120°，∵∠CPD的平分线都与AB、CD成60°角,恰好满足60°，若把∠CPD平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,其范围都大于60°，故此时一条；把∠DPM平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,可得到2个位置的直线．故存在3条（也可直接用上述规律）． 故选C．
题目：如果异面直线a、b所成的角为60°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是80°的直线有条．
解：如图1，过P作直线AB//a，CD//b，则AB、CD确定一平面α，AB、CD所成的角即为异面直线a、b所成的角．因此原命题等价于：AB、CD所成的角为60°，过点P与AB、CD所成的角都是80°的直线有条．
如图2，不妨设∠BPC=60°，则平面α内∠BPC的角平分线为EF，则∠BPF=30°．过P点作GH⊥平面α，GH与EF确定的平面为γ．∵EF与AB、CD都成30°角，不满足题目条件80°．因此让直线EF绕P点在平面γ内逆时针旋转，在从EF到PG的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为30°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线即为所求．
如图3，同样让直线EF绕P点在平面 内顺时针旋转，在从EF到PH的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为30°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线也为所求．
如图4，∠BPD=120°，则平面α内∠BPD的角平分线为MN，则∠BPN=60°．因为GH⊥平面α，GH与MN确定的平面为δ．∵MN与AB、CD都成60°角，不满足题目条件80°．因此让直线MN绕P点在平面δ内逆时针旋转，在从MN到PG的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为60°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线也为所求．
如图5，同样让直线MN绕P点在平面δ内顺时针旋转，在从MN到PH的过程中不仅可以保证直线与AB、CD成等角，而且其角的范围为60°~90°，故存在一条直线与AB、CD都成80°．此直线也为所求．
综上所述，满足题目条件的直线有四条．故填4．
规律小结：已知异面直线a，b所成的角为θ，P为空间一定点，则过P作直线l且与a，b所成的角都为θ，则直线l的条数如下：
例1．如图6，过正三棱锥S-ABC的面SBC内一点P作直线l，使 与SA和BC所成的角都等于60°，则l有（）
A． 4条B．3条C． 2条 D．1条
解：由正三棱锥的性质得SA⊥BC，因此原命题等价于：异面直线SA、BC成90°角，P为空间一点,则过点P与SA、BC所成的角都是60°的直线l有条．
如图7，过P作直线SA//a，BC//b，则a、b确定一平面α，AD，BC所成的角即为异面直线a、b所成的角．平面α内不存在与a、b成60°角的直线,两条角平分线都与a、b成45°角,可把两条角平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,可得到4个位置的直线（也可直接用上述规律）．故存在4条．故选A．
例2．已知直线l与平面 所成的角为α，过空间一点P与直线l和平面α都成45°角的直线共有（）
A．4条B． 3条C． 2条 D． 1条
解：如图8，过P作PA//直线l，PA与平面α交于A，过P作PO⊥平面α，垂足为O，连结OA，则∠PAO=60°，∴∠APO=30°．假设直线PB与直线l和平面α都成45°角，则PB与直线PA和平面α都成45°角．连结OB，则∠PBO=45°，∴∠BPO=45°．∴PB与直线PA和平面α都成45°角等价于PB与直线PA和PO都成45°角，故原命题等价于：直线PA，PO成30°角，过P点作直线PB与PA和PO都成45°角，这样的直线有几条？
如图9，∠APO=30°,∠APF=150°，∵∠APF的平分线都与AB、CD成75°角,已超过45°了．只能把∠APO平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,可得到2个位置的直线．故存在2条（也可直接用上述规律）．故选C．
例3．已知平面α与β所成的二面角为60°，P为α、β 外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D． 4条
解：如图10，二面角α-EF-β为60°，设过点P的一条直线l与α、β所成的角都是30°，l与α、β分别交于点A、B，过P作PC⊥α，P D⊥β，垂足分别为C、D，连结AC，BD，则∠PAC=∠PBD=30°，所以∠APC=∠BPD=60°，过C作CO⊥EF，垂足为O，连结OD，则OD⊥EF，∴∠COD为二面角α-EF-β的平面角，即∠COD=60°，则∠CPD=180°-60°=120°，所以直线PC、PD所成的角为60°．故原命题等价于：直线PC、PD所成的角为60°，过点P作直线l与直线PC、PD所成的角都是60°，则这样的直线有几条？如图11，∠DPM=60°,∠CPD=120°，∵∠CPD的平分线都与AB、CD成60°角,恰好满足60°，若把∠CPD平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,其范围都大于60°，故此时一条；把∠DPM平分线的两端都绕P点向上转动且保持等角,可得到2个位置的直线．故存在3条（也可直接用上述规律）． 故选C．