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这是一节高三数学复习课，课题是函数对称性与周期性的关系，教材仅对周期性、对称性分别作了介绍，而两者的确存在某种联系，并在高中数学中特别是实际应用中有一定的价值，因此，就函数对称性与周期性的关系对教材进行适当的延伸拓展是有实际意义的，这节拓展课本着“让学生在亲身经历知识的发生和形成过程中获得知识”的理念，按一条明线：知识发生过程(对称性与周期性的关系)，和一条暗线：思维发展过程(观察、抽象、归纳、推理等)展开，基于拓展性数学知识一般都是源于教材，又高于教材的特点，下面设计了“提出问题，展开问题，深化问题”的教学过程，
一、创设情境，引发认知冲突——拓展性知识发生过程教学的重要起点
实录1：课题引入
师：首先，我们来考察一组函数，大家看引题：判断下列函数图像哪些是轴对称图形?哪些是中心对称图形?并说明各自的周期性，
1.函数y=x2，2.函数y=x3，3.函数y=sinx.(PPT播放) 生齐：第一个是轴对称图形，没有周期；第二个是中心对称图形，没有周期；第三个既是中心对称，又是轴对称，有周期， 师：从这里，你认为对称性能否引起周期性呢? 生某：不能引起， 生某：能够引起， 生某：有可能引起， 师：同学们的意见大致归为三种，这实际上都是同学们的一种猜想，都很好，有猜想就会有收获，现在，我们就对这些猜想进行探究，这就是我们今天所要研究的课题——函数的对称性与周期性的关系(手写课题)， 师：第三个函数的对称性与前两个有什么不同呢?是不是这个对称性的“不同”(手写板书)引起了周期呢?(悬念)
解析：这是课题引入，用三个函数所表现的关于对称性与周期性的两类情况构成矛盾，即创设情境引发学生的认知冲突，特别是在揭示完课题之后，教师抛出悬念，问而不答，更加激发了学生的探究兴趣与欲望，这就是知识发生过程的良好开端——教学从问题开始，
二、组串问题。探究事物规律——拓展性知识发生过程教学的有效途径
实录2：问题探究
师：下面，我们考察第一组问题，
问题1：定义在R上的偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且当x∈[-1，1]时f(x)=x2问f(x)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际上有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?(PPT播放) 大家说，解决这个问题最省事的办法是什么?
生齐：作图，
师：那好，我们先作图，根据条件，先作[-1，1]上的图像，它应该是抛物线上的一段，再由对称轴x=l把[-1，1]上的图像对折到[1，2]上去，(PPT演示)
函数厂(x)还有对称轴吗?
生齐：y轴也是对称轴(见图1)，
师：为什么?
生齐：厂(z)是偶函数，
师：那好，我们再沿y(x=0)轴，将[1，2]上的图像对折到[2，-1]上去，如此循环，以至无穷，我们就得到_厂(z)在R上的图像，有了图像，我们就可以观察出，函数是——
生齐：周期函数，且周期为2.
师：条件中给定了几条对称轴?实际上有多少? 生齐：两条：x=1，x=0，实际上有无数条，
师：两条相邻对称轴之间的距离是多少?它与周期的关系?
生齐：距离为1，是周期的一半，
解析：这是一段师生间的互动，旨在为下面的学生自主探究提供方向性指引，它有利于避免那种放羊式的、失控而低效的学生课堂探究，这种经济性的认知策略，是由课堂教学的特点所决定的，也是课堂教学有效性的要求，
师：下面大家分组考察，第一组探究问题2，第二组探究问题3，第三、四组探究问题4，
问题2：定义在R上的偶函数厂(z)的图像关于直线x=1对称，且当c∈[-1，1]时，f(z)：lxl，问f(x)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?
问题3：定义在R上的偶函数f(x)的图像关于直线x=2对称，且当x∈[-2,2]时，f(z)=x2。问f(x)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?
问题4：定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=1，x=4对称，且当x∈[2，1]时，f(z)=(x-1)2，f(z)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?(PPT播放) 学生各组代表发表观察结论如图2所示， 师：好的，下面大家以前后4人一组开展合作探究，完成下面的表格，把以上4个问题的观察结论作一个整理，找出4个问题的共同点和不同点来， 注：各组填表的内容不尽相同，综合起来如下表，
解析：学生填表比教师预设的要好，比如，带“*”的是教师没有想到的，尽管有些是非主要的内容，但难能可贵，这说明学生的潜力是很大的，如果能设计出一串串递进关联、富有启发的问题，激发学生的热情与智慧，那么，课堂中就会有精彩的生成， 师：现在，我们通过观察分析获得了这4个问题的共同点，那么，要把握一个事物的规律，我们应该抓住事物的什么呢?又应该舍弃什么呢? 生某：抓共同点，舍不同点， 师：那好，下面同学们把这4个问题的共同点表述成一个命题，表述中注意要把问题一般化，比如两条对称轴可设为x=a，x=b(a>b)等，
生某：命题1(定理1)：如果定义在R上的函数f(x)的图像关于直线z=a和x=b(a>b)对称，那么函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期，
师：下面我们一起来证明，
证明：因为厂(x)图像关于直线x=a，x=b对称，所以_厂(2a-x)=f(x)，f(2b-x)=f(x)，于是，f[2(a-b) x]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x)，因此，T=2(a-b)，(手写板书)
于是，上述命题我们可以记为定理1，
解析：在这个探究过程中，学生不仅经历了知识的发生过程，观察与分析、归纳与抽象、判断与推理的思维品质和能力也得以提升，同时，学生对“事物普遍联系”的
一、创设情境，引发认知冲突——拓展性知识发生过程教学的重要起点
实录1：课题引入
师：首先，我们来考察一组函数，大家看引题：判断下列函数图像哪些是轴对称图形?哪些是中心对称图形?并说明各自的周期性，
1.函数y=x2，2.函数y=x3，3.函数y=sinx.(PPT播放) 生齐：第一个是轴对称图形，没有周期；第二个是中心对称图形，没有周期；第三个既是中心对称，又是轴对称，有周期， 师：从这里，你认为对称性能否引起周期性呢? 生某：不能引起， 生某：能够引起， 生某：有可能引起， 师：同学们的意见大致归为三种，这实际上都是同学们的一种猜想，都很好，有猜想就会有收获，现在，我们就对这些猜想进行探究，这就是我们今天所要研究的课题——函数的对称性与周期性的关系(手写课题)， 师：第三个函数的对称性与前两个有什么不同呢?是不是这个对称性的“不同”(手写板书)引起了周期呢?(悬念)
解析：这是课题引入，用三个函数所表现的关于对称性与周期性的两类情况构成矛盾，即创设情境引发学生的认知冲突，特别是在揭示完课题之后，教师抛出悬念，问而不答，更加激发了学生的探究兴趣与欲望，这就是知识发生过程的良好开端——教学从问题开始，
二、组串问题。探究事物规律——拓展性知识发生过程教学的有效途径
实录2：问题探究
师：下面，我们考察第一组问题，
问题1：定义在R上的偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且当x∈[-1，1]时f(x)=x2问f(x)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际上有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?(PPT播放) 大家说，解决这个问题最省事的办法是什么?
生齐：作图，
师：那好，我们先作图，根据条件，先作[-1，1]上的图像，它应该是抛物线上的一段，再由对称轴x=l把[-1，1]上的图像对折到[1，2]上去，(PPT演示)
函数厂(x)还有对称轴吗?
生齐：y轴也是对称轴(见图1)，
师：为什么?
生齐：厂(z)是偶函数，
师：那好，我们再沿y(x=0)轴，将[1，2]上的图像对折到[2，-1]上去，如此循环，以至无穷，我们就得到_厂(z)在R上的图像，有了图像，我们就可以观察出，函数是——
生齐：周期函数，且周期为2.
师：条件中给定了几条对称轴?实际上有多少? 生齐：两条：x=1，x=0，实际上有无数条，
师：两条相邻对称轴之间的距离是多少?它与周期的关系?
生齐：距离为1，是周期的一半，
解析：这是一段师生间的互动，旨在为下面的学生自主探究提供方向性指引，它有利于避免那种放羊式的、失控而低效的学生课堂探究，这种经济性的认知策略，是由课堂教学的特点所决定的，也是课堂教学有效性的要求，
师：下面大家分组考察，第一组探究问题2，第二组探究问题3，第三、四组探究问题4，
问题2：定义在R上的偶函数厂(z)的图像关于直线x=1对称，且当c∈[-1，1]时，f(z)：lxl，问f(x)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?
问题3：定义在R上的偶函数f(x)的图像关于直线x=2对称，且当x∈[-2,2]时，f(z)=x2。问f(x)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?
问题4：定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=1，x=4对称，且当x∈[2，1]时，f(z)=(x-1)2，f(z)是否为周期函数?如果是周期函数，周期又是多少?条件中给定了(包括隐含的)几条对称轴?实际有多少条?其中，两相邻对称轴之间的距离是多少?周期值是该距离的几倍?(PPT播放) 学生各组代表发表观察结论如图2所示， 师：好的，下面大家以前后4人一组开展合作探究，完成下面的表格，把以上4个问题的观察结论作一个整理，找出4个问题的共同点和不同点来， 注：各组填表的内容不尽相同，综合起来如下表，
解析：学生填表比教师预设的要好，比如，带“*”的是教师没有想到的，尽管有些是非主要的内容，但难能可贵，这说明学生的潜力是很大的，如果能设计出一串串递进关联、富有启发的问题，激发学生的热情与智慧，那么，课堂中就会有精彩的生成， 师：现在，我们通过观察分析获得了这4个问题的共同点，那么，要把握一个事物的规律，我们应该抓住事物的什么呢?又应该舍弃什么呢? 生某：抓共同点，舍不同点， 师：那好，下面同学们把这4个问题的共同点表述成一个命题，表述中注意要把问题一般化，比如两条对称轴可设为x=a，x=b(a>b)等，
生某：命题1(定理1)：如果定义在R上的函数f(x)的图像关于直线z=a和x=b(a>b)对称，那么函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期，
师：下面我们一起来证明，
证明：因为厂(x)图像关于直线x=a，x=b对称，所以_厂(2a-x)=f(x)，f(2b-x)=f(x)，于是，f[2(a-b) x]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x)，因此，T=2(a-b)，(手写板书)
于是，上述命题我们可以记为定理1，
解析：在这个探究过程中，学生不仅经历了知识的发生过程，观察与分析、归纳与抽象、判断与推理的思维品质和能力也得以提升，同时，学生对“事物普遍联系”的