导数作为一种工具，利用其求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程时极为方便.但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区.
　　1 过点的切线与图象上某一点的切线混淆
　　例1 曲线f( x )=4x的切线过点?
　　??83，
　　43???，
　　求切线方程.
　　错解 ∵f’( x )=?4x?2，∴f’?
　　??83???=1
　　96，
　　∴过点
　　???83，
　　34???的
　　切线的斜率为
　　196，
　　由直线方程的点斜式可得切线方程为y?43=
　　196???x?83???，
　　即：27x?48y?8=0.剖析 错误的原因是直接认为点
　　???83，
　　3
　　4???在曲线上，从而由导数求出该点的切线斜率，这是错误的.把点
　　???83，
　　43???代
　　入曲线方程，验证该点不在曲线上，所以
　　应先求出切点坐标，再求切线方程.所以在求曲线的切线之前应先判断给出的点是否在曲线上.
　　正解 设切点为(x0，y0)，则y0
　　=x40
　　…①
　　∵f’( x )=?4x?2， ∴f’( x0)=?4x0?2.∴切线方程为：y?y0
　　=?4x0?2(x?x0)，
　　又该切线过点
　　???83，
　　43???，
　　∴43?y0
　　=?4x0?2?
　　??3
　　8?x0???…
　　②，
　　由①②可得
　　???xy
　　00
　　==22或
　　???xy
　　00
　　==14，
　　.
　　∴切线方程为：x+y?4=0或x+4y?8=0.
　　2 f′( x0)为极值的充要条件理解不清
　　例2 函数f( x )=x3+ax2+bx+a2在x =1处有极值10，求a，b的值.
　　错解 f′( x )=3x2+2ax+b，由题意知f′(1)=0，且f(1)=10，即2a+ b +3 = 0，且a2+a+b +1 = 10，解之得a =4，b =?11，或a =?3，b =3.
　　剖析 错误的主要原因是把f′( x0)为极值的必要条件当作了充要条件，f′( x0)为极值的充要条件是f′( x )=0且x0附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：当a =4，b =?11时，
　　f′( x )=3x2+8x?11(3x+11)(x?1)，
　　在x =1附近两侧的符号相反，∴a =4，b =?11.
　　当a =?3，b =3时，f′( x )=3(x?1)2， 在x =1附近两侧的符号相同，所以a =?3，b =3舍去.
　　3 函数单调的充要条件理解不清
　　例3 已知函数f( x )=a xx++21在(? 2，+∞)内单调
　　递减，求实数a的取值范围.错解f′( x )=(2xa+?21
　　)2
　　，由函数f( x )在(? 2，+∞)内单调递减知f′( x )≤0在(? 2，+∞)内恒成立，即(x2a+?
　　2)
　　1
　　2
　　≤0在(? 2，+∞)内恒成立，因此a≤12.
　　剖析 错误的主要原因是由于对于函数f( x )在D上单调递增（或递减）的充要条件是f′( x )≥0 (或f′( x )≤0)且f′( x0)在D上任一子区间上不恒为零没有理解清楚.而当a =12时，f′( x )=0在(? 2，+∞)恒成立，所以不符合题意，所以舍去.