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摘 要：等待是美丽的坚持，数学课堂需要等待。本文从给学生充足的思考时间，实现知识的自主构建；给学生充足的探究时间，搭建知识的内化空间；给学生充足的展示时间，提升生成的隐性价值这三个方面展开论述，结合课堂实例，介绍了数学教学中等待的时机、等待的策略、等待的价值等。
关键词：数学课堂； 等待
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2015）04-059-002
几米的《希望井》中有这样一段话：“掉落深井，我大声呼喊，等待救援……天黑了，黯然低头，才发现水面满是闪烁的星光。我在最深的绝望里，遇见最美丽的惊喜。”几米用诗意盎然的语言写出了耐人寻味的哲理：任何时候都有可能出现困境，这时候你应该学会等待，在等待中你也许会发现生活的另外一个出口，上帝在为你关闭一扇门时，会为你打开一扇窗。
等待是种美丽的坚持，只要等待就有希望。教学，也需要等待。适时的课堂等待可以激励学生自主探索，促进学生思维。特别是数学课堂，我们要给学生足够多的时间，让学生亲身经历、动手实践、主动探究；给学生足够大的空间，让学生自觉地进行知识建构、内化。我们要巧妙安排“教学等待”，让学生进一步思考、理解、反思、回味和消化，提高课堂效果。
等一等，给学生充足的思考时间，实现知识的自主构建
美国心理学家罗伊在研究课堂提问时，发现在教师组织语言提问和学生回答之间的平均等待时间是0.9秒，在这么短的时间内，学生不可能进行充分的思考并构思答案。通过实验，她发现增加“等待时间”，会使学生的回答变长；能增强学生的自信心，增加回答次数；还能促进学生思维，挑战或改进同学的回答，提出更多的解释。反思我们的数学课堂，为了让学生少走弯路，为了如期完成教学任务，我们总是追求表面的流畅。学生回答不上来或有困难时，我们总会显得有些急躁，或催促，或换人回答，还有甚者自问自答。我们无形中阻断了他们思维的再发展，限制了他们对问题的深度探索。这样教育下的学生何来的思维活跃，头脑灵活？更谈不上创新与发展了！
学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，大体经历渗透孕育、领悟形成、应用发展和巩固深化四个过程。我们教师必须切实保障课堂上学生的思考时间。只有这样，才能开启学生思维的大门，演绎更多精彩。
下面是笔者教学《四边形》（人教版数学第五册第七单元）的一个片段：
师：同学们，这节课我们学习《四边形》（板书课题）。请你想一想怎样的图形是四边形（思考半分钟），再请你找一找我们已经学过的图像中哪些是四边形（学生思考半分钟后回答）。
生：正方形、长方形、梯形、平行四边形（根据学生回答出示四种图形）。
师：好，那么现在你能告诉我什么叫四边形吗？四边形必须符合哪些条件？
生1：有四条边。
生2：还要有四个角。
师：还有补充吗？（思考半分钟后没有学生举手）
师：看来同学们都认为有四条边、四个角的图片是四边形，那么就请你根据这两个条件来判断下面这些图形中哪些是四边形，将序号记下来。
出示例1的13个图形，三分钟后交流，学生都能将四边形找出来。
师：现在请你根据刚才的练习，再好好想一想，四边形要符合哪些条件？
……
至此，从课始的猜测到推理——验证，整个过程老师经历了“等待——猜测——等待——回答——等待——引导——等待——判断——等待——归纳”的五个等待，完成了知识的自主构建。在求知的过程中，学生并不是顺顺利利的，会有疑惑、有矛盾。作为老师，不仅仅要学会引导，更要学会适当适时的等待，给学生留足思考的时间和空间。
等一等，给学生充足的探究时间，搭建知识的内化空间
学生的智慧离开独立的探索，就得不到发展。在学生学习数学知识的过程中，往往会遇到各种困惑、分歧。在这样的时刻，我们切不可急躁，耐心地等一等，给学生充足的探究时间，往往能深化课堂教学内容，促进知识内化。
1.在“分歧争论”处停顿
每个学生都有自己各自的生活经验和知识基础，在知识建构过程中，每个学生依据各自不同的思维方式，会有一些认识上的偏差，从而引起分歧与争论。这时，老师切不可直接否决某一方，应抓住时机，等待学生进一步探索，让学生在不断的辩论、碰撞中，消除疑惑。
一次教研，听的是人教版小学数学第五册70页《用估算解决问题》。这堂课要让学生理解估算的价值，掌握用估算解决问题的基本策略（往大估、往小估），并能根据具体情境灵活应用。老师在教学例7后的“做一做”（王伯伯家一共摘了180千克苹果。一个箱子最多能装32千克，6个箱子能装下这些苹果吗？）时，先让学生独立完成，然后集体交流。下面是交流时的一个片段：
师：谁来说说你的想法？
生1：我把32看成30，30×6=180，刚刚好，所以能装下。
生2：把32估成30，是估小了，说明实际上不止180千克，所以不能装下。
师：看来同学们意见不一。请大家仔细想一想，到底能不能装下。（学生思考1分钟后交流）
生3：32×6≈180（千克），32×6﹥180，所以不能装下。
生4：32×6肯定大于180，所以能装下。
师：答案还是不一样。请同学们想一想，到底什么情况能装下，苹果多箱子少？还是苹果少箱子多？（学生思考1分钟后小组讨论，然后集体交流）
生5：老师，我直接进行了计算，32×6=192（千克），6个箱子能装192千克苹果，实际只有180千克，所以能装下。
生6：32×6≈180（千克），32×6﹥180，说明6个箱子能装的不止180千克，所以我也认为能装下。 生7：把32看成30，30×6=180，也就是说，估小了还有180千克，那么实际肯定能装下180千克。
整个过程，看似磕磕碰碰，实际上非常流畅。在学生第一次出现分歧时，老师并没有直接判定对错，而是让学生去思考。第二次交流时，学生答案还是不能统一，老师给了一些提示，然后再次等待他们自己去理清思路，寻找正确答案。最终，在老师的“等待”下，在学生一次又一次的探索中，消化了知识。
教学遭遇不顺畅是正常的，教师要经得起一次又一次的等待，并适时地点拨、鼓励。让学生在“等待”中探索，在“等待”中发展，在“等待”中提高。
2.在“思维卡壳”时耐心
培养思维能力，是发展学生智能的核心，也是数学教学的重要任务。因此，我们要把课堂教学作为对学生进行思维训练的主阵地，让思维训练贯穿于数学教学的各个方面。学生的思维有时会出现“卡壳”的现象，这是思维的障碍点，是一种正常现象。此时，我们又要耐心一点，在适时疏导、点拨后，等一等，给学生充足的探究时间，帮助学生思维转折，并以此为契机，促进学生思维发展。
人教版小学数学第五册第八单元《分数的初步认识》有这样一道习题：“把12根小棒平均分成3份，1份是总数的（ ），有（ ）根；2份是总数的（ ），有（ ）根。”在填第一个空时，有三分之一的学生答案是，理由是一共有12根小棒。这时，我并没有急着否定，而是又补充了一题：“把12根小棒平均分成12份，1份是总数的（ ），有（ ）根；2份是总数的（ ），有（ ）根。”然后让学生独立思考，比较异同。在耐心地等待3分钟后，大部分学生找到了答案，但是还是有一小部分搞不清。此时，我还是选择了相信学生，让他们进行小组讨论。在第二次等待后，学生基本上都弄明白了。当然，还是会有些学生没有完全搞清楚，所以，我请几个学生把自己的思路说一说。在说的过程中，纠正偏差，理清思路，明白平均分成几份，1份就是几分之一。
学生在知识建构过程中，会有一些认识上的偏差。对于学生这种思维卡壳的现象，教师应让出足够的时间和空间，通过学生的数学语言表达，暴露其思维过程的问题，牵而带之，引而不发，促进学生自我反省和观念冲突，生成正确的数学表象，排除理解偏差。
等一等，给学生充足的展示时间，提升生成的隐性价值
赞科夫曾说：“要在课堂上营造‘让儿童自由呼吸’的氛围。”因此，教师在课堂教学中，应给学生充足的时间，让学生充分展示自我。作为教师，在预设的前提下，还要把握好课堂上生成的新的教学资源，停下来，等一等学生，给学生充分的探究展示的时间，提升生成的隐形价值。
曾听一位老师上人教版数学第三册《乘法的初步认识》，老师在巩固练习时，安排了这样一道题：“你能把下面的加法算式改写成乘法算式吗？①2 2 2=6，②3 3 3 3=12，③5 5=10，④4 4 4 4 4=20，⑤2 3=5，⑥1 3 5=9。”老师让学生任选一题改写并说明理由。前四题的改写都比较容易，理由的阐述也并不难。有的说：“第一题是3个2相加，可以写成2×3=6或者3×2=6。”有的说：“第四题是4连续加，相同加数是4，有5个4，所以可以写成4×5=20或5×4=20。”……在交流时，不乏有学生不太说得清，或者不太敢说，老师都耐心地等上一等，适时地点拨一下，让他们自己把语言组织好，说完整。在大家把前四题都改写好后，一个女生说：“老师，我能把第六题也改写成乘法算式……”她的话还没有讲完，就被同学打断了，大家都认为第六题的加数不同，所以不能改写成乘法。这时，老师说：“同学们不要着急，让我们等同学把话讲完再来发表意见。”接着女同学说：“我从5处拿了2给1，那么就变成了3个3 相加，可以写成3×3=9。”多么好的想法！试想，如果老师没有让学生把话讲完，便把这种创新给扼杀了，更扼杀了学生的自信心。
“怎样在不影响进度的基础上给学生充足的时间思考探究”，是老师们反复思索的问题。但是老师们往往忽略了展示的环节，认为学生思考探究充分了，就必然能更好地掌握知识了。其实，不管是能力强的还是能力弱的学生，都会出现各种思路、创意，也会出现各种偏差、误区，我们只有给学生充足的展示时间，才能收获意外的惊喜，才能捕捉美丽的错误。
等待是一种保护，点燃学生思维的火花；等待是一种信任，开启学生思维的大门；等待是一种胸襟，为学生创造机会与条件；等待是一种智慧，让学生绽放美丽和奇迹。让我们多一份耐心，多一份思考，静静地等待花开，等出鲜活的数学课堂。
参考文献：
[1]张文质.《教育是慢的艺术》，张文质教育讲演录（第二版）[M]北京：教育科学出版社，2009
[2]张丽君，张烨花.《花开应有时，教学需等待》，《中学课程辅导（教师通讯）》，2013年03期
[3]仲小红.《小学数学课堂教学中“等待点拨”的艺术》，《山西教育》，2014年04期
关键词：数学课堂； 等待
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2015）04-059-002
几米的《希望井》中有这样一段话：“掉落深井，我大声呼喊，等待救援……天黑了，黯然低头，才发现水面满是闪烁的星光。我在最深的绝望里，遇见最美丽的惊喜。”几米用诗意盎然的语言写出了耐人寻味的哲理：任何时候都有可能出现困境，这时候你应该学会等待，在等待中你也许会发现生活的另外一个出口，上帝在为你关闭一扇门时，会为你打开一扇窗。
等待是种美丽的坚持，只要等待就有希望。教学，也需要等待。适时的课堂等待可以激励学生自主探索，促进学生思维。特别是数学课堂，我们要给学生足够多的时间，让学生亲身经历、动手实践、主动探究；给学生足够大的空间，让学生自觉地进行知识建构、内化。我们要巧妙安排“教学等待”，让学生进一步思考、理解、反思、回味和消化，提高课堂效果。
等一等，给学生充足的思考时间，实现知识的自主构建
美国心理学家罗伊在研究课堂提问时，发现在教师组织语言提问和学生回答之间的平均等待时间是0.9秒，在这么短的时间内，学生不可能进行充分的思考并构思答案。通过实验，她发现增加“等待时间”，会使学生的回答变长；能增强学生的自信心，增加回答次数；还能促进学生思维，挑战或改进同学的回答，提出更多的解释。反思我们的数学课堂，为了让学生少走弯路，为了如期完成教学任务，我们总是追求表面的流畅。学生回答不上来或有困难时，我们总会显得有些急躁，或催促，或换人回答，还有甚者自问自答。我们无形中阻断了他们思维的再发展，限制了他们对问题的深度探索。这样教育下的学生何来的思维活跃，头脑灵活？更谈不上创新与发展了！
学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，大体经历渗透孕育、领悟形成、应用发展和巩固深化四个过程。我们教师必须切实保障课堂上学生的思考时间。只有这样，才能开启学生思维的大门，演绎更多精彩。
下面是笔者教学《四边形》（人教版数学第五册第七单元）的一个片段：
师：同学们，这节课我们学习《四边形》（板书课题）。请你想一想怎样的图形是四边形（思考半分钟），再请你找一找我们已经学过的图像中哪些是四边形（学生思考半分钟后回答）。
生：正方形、长方形、梯形、平行四边形（根据学生回答出示四种图形）。
师：好，那么现在你能告诉我什么叫四边形吗？四边形必须符合哪些条件？
生1：有四条边。
生2：还要有四个角。
师：还有补充吗？（思考半分钟后没有学生举手）
师：看来同学们都认为有四条边、四个角的图片是四边形，那么就请你根据这两个条件来判断下面这些图形中哪些是四边形，将序号记下来。
出示例1的13个图形，三分钟后交流，学生都能将四边形找出来。
师：现在请你根据刚才的练习，再好好想一想，四边形要符合哪些条件？
……
至此，从课始的猜测到推理——验证，整个过程老师经历了“等待——猜测——等待——回答——等待——引导——等待——判断——等待——归纳”的五个等待，完成了知识的自主构建。在求知的过程中，学生并不是顺顺利利的，会有疑惑、有矛盾。作为老师，不仅仅要学会引导，更要学会适当适时的等待，给学生留足思考的时间和空间。
等一等，给学生充足的探究时间，搭建知识的内化空间
学生的智慧离开独立的探索，就得不到发展。在学生学习数学知识的过程中，往往会遇到各种困惑、分歧。在这样的时刻，我们切不可急躁，耐心地等一等，给学生充足的探究时间，往往能深化课堂教学内容，促进知识内化。
1.在“分歧争论”处停顿
每个学生都有自己各自的生活经验和知识基础，在知识建构过程中，每个学生依据各自不同的思维方式，会有一些认识上的偏差，从而引起分歧与争论。这时，老师切不可直接否决某一方，应抓住时机，等待学生进一步探索，让学生在不断的辩论、碰撞中，消除疑惑。
一次教研，听的是人教版小学数学第五册70页《用估算解决问题》。这堂课要让学生理解估算的价值，掌握用估算解决问题的基本策略（往大估、往小估），并能根据具体情境灵活应用。老师在教学例7后的“做一做”（王伯伯家一共摘了180千克苹果。一个箱子最多能装32千克，6个箱子能装下这些苹果吗？）时，先让学生独立完成，然后集体交流。下面是交流时的一个片段：
师：谁来说说你的想法？
生1：我把32看成30，30×6=180，刚刚好，所以能装下。
生2：把32估成30，是估小了，说明实际上不止180千克，所以不能装下。
师：看来同学们意见不一。请大家仔细想一想，到底能不能装下。（学生思考1分钟后交流）
生3：32×6≈180（千克），32×6﹥180，所以不能装下。
生4：32×6肯定大于180，所以能装下。
师：答案还是不一样。请同学们想一想，到底什么情况能装下，苹果多箱子少？还是苹果少箱子多？（学生思考1分钟后小组讨论，然后集体交流）
生5：老师，我直接进行了计算，32×6=192（千克），6个箱子能装192千克苹果，实际只有180千克，所以能装下。
生6：32×6≈180（千克），32×6﹥180，说明6个箱子能装的不止180千克，所以我也认为能装下。 生7：把32看成30，30×6=180，也就是说，估小了还有180千克，那么实际肯定能装下180千克。
整个过程，看似磕磕碰碰，实际上非常流畅。在学生第一次出现分歧时，老师并没有直接判定对错，而是让学生去思考。第二次交流时，学生答案还是不能统一，老师给了一些提示，然后再次等待他们自己去理清思路，寻找正确答案。最终，在老师的“等待”下，在学生一次又一次的探索中，消化了知识。
教学遭遇不顺畅是正常的，教师要经得起一次又一次的等待，并适时地点拨、鼓励。让学生在“等待”中探索，在“等待”中发展，在“等待”中提高。
2.在“思维卡壳”时耐心
培养思维能力，是发展学生智能的核心，也是数学教学的重要任务。因此，我们要把课堂教学作为对学生进行思维训练的主阵地，让思维训练贯穿于数学教学的各个方面。学生的思维有时会出现“卡壳”的现象，这是思维的障碍点，是一种正常现象。此时，我们又要耐心一点，在适时疏导、点拨后，等一等，给学生充足的探究时间，帮助学生思维转折，并以此为契机，促进学生思维发展。
人教版小学数学第五册第八单元《分数的初步认识》有这样一道习题：“把12根小棒平均分成3份，1份是总数的（ ），有（ ）根；2份是总数的（ ），有（ ）根。”在填第一个空时，有三分之一的学生答案是，理由是一共有12根小棒。这时，我并没有急着否定，而是又补充了一题：“把12根小棒平均分成12份，1份是总数的（ ），有（ ）根；2份是总数的（ ），有（ ）根。”然后让学生独立思考，比较异同。在耐心地等待3分钟后，大部分学生找到了答案，但是还是有一小部分搞不清。此时，我还是选择了相信学生，让他们进行小组讨论。在第二次等待后，学生基本上都弄明白了。当然，还是会有些学生没有完全搞清楚，所以，我请几个学生把自己的思路说一说。在说的过程中，纠正偏差，理清思路，明白平均分成几份，1份就是几分之一。
学生在知识建构过程中，会有一些认识上的偏差。对于学生这种思维卡壳的现象，教师应让出足够的时间和空间，通过学生的数学语言表达，暴露其思维过程的问题，牵而带之，引而不发，促进学生自我反省和观念冲突，生成正确的数学表象，排除理解偏差。
等一等，给学生充足的展示时间，提升生成的隐性价值
赞科夫曾说：“要在课堂上营造‘让儿童自由呼吸’的氛围。”因此，教师在课堂教学中，应给学生充足的时间，让学生充分展示自我。作为教师，在预设的前提下，还要把握好课堂上生成的新的教学资源，停下来，等一等学生，给学生充分的探究展示的时间，提升生成的隐形价值。
曾听一位老师上人教版数学第三册《乘法的初步认识》，老师在巩固练习时，安排了这样一道题：“你能把下面的加法算式改写成乘法算式吗？①2 2 2=6，②3 3 3 3=12，③5 5=10，④4 4 4 4 4=20，⑤2 3=5，⑥1 3 5=9。”老师让学生任选一题改写并说明理由。前四题的改写都比较容易，理由的阐述也并不难。有的说：“第一题是3个2相加，可以写成2×3=6或者3×2=6。”有的说：“第四题是4连续加，相同加数是4，有5个4，所以可以写成4×5=20或5×4=20。”……在交流时，不乏有学生不太说得清，或者不太敢说，老师都耐心地等上一等，适时地点拨一下，让他们自己把语言组织好，说完整。在大家把前四题都改写好后，一个女生说：“老师，我能把第六题也改写成乘法算式……”她的话还没有讲完，就被同学打断了，大家都认为第六题的加数不同，所以不能改写成乘法。这时，老师说：“同学们不要着急，让我们等同学把话讲完再来发表意见。”接着女同学说：“我从5处拿了2给1，那么就变成了3个3 相加，可以写成3×3=9。”多么好的想法！试想，如果老师没有让学生把话讲完，便把这种创新给扼杀了，更扼杀了学生的自信心。
“怎样在不影响进度的基础上给学生充足的时间思考探究”，是老师们反复思索的问题。但是老师们往往忽略了展示的环节，认为学生思考探究充分了，就必然能更好地掌握知识了。其实，不管是能力强的还是能力弱的学生，都会出现各种思路、创意，也会出现各种偏差、误区，我们只有给学生充足的展示时间，才能收获意外的惊喜，才能捕捉美丽的错误。
等待是一种保护，点燃学生思维的火花；等待是一种信任，开启学生思维的大门；等待是一种胸襟，为学生创造机会与条件；等待是一种智慧，让学生绽放美丽和奇迹。让我们多一份耐心，多一份思考，静静地等待花开，等出鲜活的数学课堂。
参考文献：
[1]张文质.《教育是慢的艺术》，张文质教育讲演录（第二版）[M]北京：教育科学出版社，2009
[2]张丽君，张烨花.《花开应有时，教学需等待》，《中学课程辅导（教师通讯）》，2013年03期
[3]仲小红.《小学数学课堂教学中“等待点拨”的艺术》，《山西教育》，2014年04期