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【摘要】通过对桥梁结构几何非线性问题基本原理的阐述，推导出结构几何非线性计算的改进的CR列式法的计算公式，并给出CR列式法实现步骤；介绍了CR列式法中有关梁单元弧长的计算方法，给出了梁单元较为精确的切线刚度矩阵；建立了悬臂梁预拱线形计算的几何非线性模型，计算结果表明，本文计算方法具有较高的精度和稳定性。
【关键词】几何非线性；CR列式法；切线刚度矩阵；预拱线形
1.2由于结构线性分析采用结构变形前的位形，故在计算过程中总体刚度矩阵[K] 为常量，因此结构节点位移列向量[δ] 与结构节点荷载列向量[P] 成正比关系，亦即表现为位移与荷载的线性关系。
1.3当结构发生大变形（大位移、大转角）时，与未受外荷载时相比，结构的位形已经有了较大的变化，且这种变化不可以忽略，若仍采用未受外荷载时的状态来代替这个状态，必然造成较大的误差，此时结构位移与荷载的关系不能采用式（1）简单表达，而是表现为非线性关系，在常规的桥梁结构分析中，一般结构的材料仍然是线性的，即材料的本构关系符合胡克定律，在这个前提下的非线性问题即为几何非线性问题。几何非线性分析的实质就是要求出结构变形之后的平衡状态，然后求出这个状态下结构的内力[1，2]。
1.4几何非线性问题一直是近年来国内外学者研究的一个重点，而在分析和研究中，人们多采用U.L列式法或T.L列式法，近年又有人提出并采用CR列式法[3]和改进CR列式法[4]。在整个几何非线性分析过程中，T.L列式法在建立t时刻的有限元平衡方程时，以结构的初始位形（即0时刻）作为参考位形，所有静力学和动力学的变量总是参考于初始位形；U.L列式法在建立t+Δt时刻的有限元平衡方程时，以结构t时刻的位形为参考位形，所有的静力学和动力学的变量都根据时刻t来定义，在分析过程中参考位形是不断更新的。
1.5CR列式法是对U.L列式法的一种改进，CR列式法通过建立单元的随转坐标系，把单元的刚体平动和转动与能引起单元变形的那部分运动区别开。在t时刻结构位形上求得t至t+Δt时段内结构的结点位移增量，对每个单元从结点位移增量中扣除单元的刚体平动和转动，即可得到t至t+Δt时段内产生单元变形的那部分结点位移增量。与U.L列式法相比，CR列式法在计算结构大变形、大转动的过程中，荷载不必分级太多，而且收敛速度比U.L列式法快，但是CR列式法在计算某时刻单元长度时采用此时刻单元弦长，并非此时刻单元实际长度，从而影响了杆端抗力增量的精度，因此收敛结果还会有较大偏差。本文采用一种改进的CR列式法，运用插值函数推导出单元变形曲线表达式，精确计算单元在此时刻实际长度，从而得出精确的杆端抗力增量，确保迭代计算的收敛及算法的稳定性。
3. 基于几何非线性梁桥预拱线形的有限元计算
4. 结束语
通过对桥梁结构几何非线性问题基本原理的阐述，推导出结构几何非线性计算的改进的CR列式法的计算公式，并给出CR列式法实现步骤；介绍了CR列式法中有关梁单元弧长的计算方法，给出了梁单元较为精确的切线刚度矩阵；建立了悬臂梁预拱线形计算的几何非线性模型，并得出如下结论：
（1）对于梁桥而言，按几何线性和几何非线性所计算出的预拱度线形相差不大，如本文例子中最大相对误差仅为1.36%。
（2）在桥梁特别是大跨度桥梁的施工中，对线形的要求一般比较严格，如纵断面高程有时候要求误差不得超过0.5cm，显然在这种情况下，应该采用较为精确的几何非线性计算方法。
（3）按几何非线性计算出的预拱线形制作梁的安装线形，架设后更能满足成桥线形的要求。
参考文献
[1]王雷. 大跨度悬索桥非线性静力分析与程序设计. 长沙理工大学硕士学位论文[D]. 2005.5.
[2]唐茂林. 大跨度悬索桥空间几何非线性分析与软件开发. 西南交通大学博士学位论文[D]，2003.6.
[3]黄文，李明端，黄文彬.杆系结构的几何非线性分析-1.平面问题.计算结构力学及其应用，1995（2）：7～16.
[4]程进，江见鲸，肖汝诚，项海帆.改进的UL列式法在几何非线性分析中的应用.力学与实践，2003（25）：33～35.
[5]梁志广，齐岳，石观峰.杆系结构几何非线性分析方法的讨论.石家庄铁道学院学报，1997（9）：55～60.
[6]Hsiao Kuomo， Horng Horngjann， Chen Yehren. A corotational procedure that handles large rotations of spatial beam structures. Computers and Structures， 1987，27（6）：769～781.
[7]李传习，夏桂云.大跨度桥梁结构计算理论[M].人民交通出版社.2002.6.
[文章编号]1006-7619（2013）08-16-779
【关键词】几何非线性；CR列式法；切线刚度矩阵；预拱线形
1.2由于结构线性分析采用结构变形前的位形，故在计算过程中总体刚度矩阵[K] 为常量，因此结构节点位移列向量[δ] 与结构节点荷载列向量[P] 成正比关系，亦即表现为位移与荷载的线性关系。
1.3当结构发生大变形（大位移、大转角）时，与未受外荷载时相比，结构的位形已经有了较大的变化，且这种变化不可以忽略，若仍采用未受外荷载时的状态来代替这个状态，必然造成较大的误差，此时结构位移与荷载的关系不能采用式（1）简单表达，而是表现为非线性关系，在常规的桥梁结构分析中，一般结构的材料仍然是线性的，即材料的本构关系符合胡克定律，在这个前提下的非线性问题即为几何非线性问题。几何非线性分析的实质就是要求出结构变形之后的平衡状态，然后求出这个状态下结构的内力[1，2]。
1.4几何非线性问题一直是近年来国内外学者研究的一个重点，而在分析和研究中，人们多采用U.L列式法或T.L列式法，近年又有人提出并采用CR列式法[3]和改进CR列式法[4]。在整个几何非线性分析过程中，T.L列式法在建立t时刻的有限元平衡方程时，以结构的初始位形（即0时刻）作为参考位形，所有静力学和动力学的变量总是参考于初始位形；U.L列式法在建立t+Δt时刻的有限元平衡方程时，以结构t时刻的位形为参考位形，所有的静力学和动力学的变量都根据时刻t来定义，在分析过程中参考位形是不断更新的。
1.5CR列式法是对U.L列式法的一种改进，CR列式法通过建立单元的随转坐标系，把单元的刚体平动和转动与能引起单元变形的那部分运动区别开。在t时刻结构位形上求得t至t+Δt时段内结构的结点位移增量，对每个单元从结点位移增量中扣除单元的刚体平动和转动，即可得到t至t+Δt时段内产生单元变形的那部分结点位移增量。与U.L列式法相比，CR列式法在计算结构大变形、大转动的过程中，荷载不必分级太多，而且收敛速度比U.L列式法快，但是CR列式法在计算某时刻单元长度时采用此时刻单元弦长，并非此时刻单元实际长度，从而影响了杆端抗力增量的精度，因此收敛结果还会有较大偏差。本文采用一种改进的CR列式法，运用插值函数推导出单元变形曲线表达式，精确计算单元在此时刻实际长度，从而得出精确的杆端抗力增量，确保迭代计算的收敛及算法的稳定性。
3. 基于几何非线性梁桥预拱线形的有限元计算
4. 结束语
通过对桥梁结构几何非线性问题基本原理的阐述，推导出结构几何非线性计算的改进的CR列式法的计算公式，并给出CR列式法实现步骤；介绍了CR列式法中有关梁单元弧长的计算方法，给出了梁单元较为精确的切线刚度矩阵；建立了悬臂梁预拱线形计算的几何非线性模型，并得出如下结论：
（1）对于梁桥而言，按几何线性和几何非线性所计算出的预拱度线形相差不大，如本文例子中最大相对误差仅为1.36%。
（2）在桥梁特别是大跨度桥梁的施工中，对线形的要求一般比较严格，如纵断面高程有时候要求误差不得超过0.5cm，显然在这种情况下，应该采用较为精确的几何非线性计算方法。
（3）按几何非线性计算出的预拱线形制作梁的安装线形，架设后更能满足成桥线形的要求。
参考文献
[1]王雷. 大跨度悬索桥非线性静力分析与程序设计. 长沙理工大学硕士学位论文[D]. 2005.5.
[2]唐茂林. 大跨度悬索桥空间几何非线性分析与软件开发. 西南交通大学博士学位论文[D]，2003.6.
[3]黄文，李明端，黄文彬.杆系结构的几何非线性分析-1.平面问题.计算结构力学及其应用，1995（2）：7～16.
[4]程进，江见鲸，肖汝诚，项海帆.改进的UL列式法在几何非线性分析中的应用.力学与实践，2003（25）：33～35.
[5]梁志广，齐岳，石观峰.杆系结构几何非线性分析方法的讨论.石家庄铁道学院学报，1997（9）：55～60.
[6]Hsiao Kuomo， Horng Horngjann， Chen Yehren. A corotational procedure that handles large rotations of spatial beam structures. Computers and Structures， 1987，27（6）：769～781.
[7]李传习，夏桂云.大跨度桥梁结构计算理论[M].人民交通出版社.2002.6.
[文章编号]1006-7619（2013）08-16-779