【摘要】在水电站工程建设中，设计图纸提供的蜗壳单线图，每隔一定角度给定一组蜗壳曲线半径值。在施工过程中，为了提高蜗壳砼施工精度，往往需要在给定的两组数值之间加密若干点。本文讨论了在计算蜗壳加密点时，建立极坐标系，利用拉格郎日插值多项式进行加密计算的方法；并用牛顿插值法对其进行误差估计分析。
　　【关键词】蜗壳加密点坐标；插值计算；拉格朗日多项式
　　1. 前言
　　（1）在水电站工程施工中，对混凝土蜗壳的施工技术要求很高，由于蜗壳处于高速水流区，且水流状态复杂，保证蜗壳断面形状适应水流状态非常重要。但蜗壳的设计图纸，不能提供蜗壳断面曲线方程，通常是给定一系列坐标点，问题是这些坐标点往往不能满足实际施工放样精度要求，需要增加加密点。
　　（2）在某水电站工程施工中，笔者应用拉格朗日插值法，对蜗壳曲线进行了坐标点加密计算，在设计图纸提供的两个相邻坐标点之间，增加两个加密点，计算出加密点的坐标，提高了蜗壳线性曲线的精度，很好的解决了混凝土蜗壳表面放样难题。
　　2. 加密计算方法
　　2.1拉格朗日插值计算，采用极坐标法，以水轮机主轴中心为极点建立极坐标系，极轴垂直于机组中心线，极轴正方向指向进口断面方向，极角转向以逆时针方向为正角，顺时针方向为负角。根据蜗壳曲线的前进方向，计算中取顺时针方向转角。
　　2.2蜗壳单线图按每隔15° 提供一组控制断面坐标（蜗壳断面的外缘半径、底面内缘半径和蜗壳断面高度）。根据放样要求每隔5° 增加一个加密点。由于图纸仅提供了控制断面坐标，不能确定蜗壳曲线方程，按照拉格朗日插值计算原理，选用一个代数多项式近似代替蜗壳曲线方程。
　　蜗壳控制断面坐标见表1，锥角γ=12°。
　　3. 加密点坐标插值计算
　　3.1插值次数选择。
　　通常水工结构中不采用高次曲线，插值次数取2～4次即可满足精度要求。参考有关资料，决定采用三次插值计算蜗壳加密点，即取插值次数n=3。
　　选定已知的蜗壳曲线上连续四个相邻点的坐标，建立插值多项式，每隔5°，求解一个加密坐标值。
　　3.4其他点之间加密点坐标值计算。
　　利用7、8、9、10点已知坐标，可求出7～10点之间的加密点坐标；利用10、11、12、13点已知坐标，可求出10～13点之间的加密点坐标。方法同上，此处省略。
　　3.5加密计算结果。
　　蜗壳曲线加密点断面尺寸坐标汇总表见表2。
　　4. 误差估计
　　4.1文献[1]指出，用拉格郎日插值法计算的加密点坐标，一般不易估计误差。而用牛顿插值公式计算的加密点坐标，可以作误差估计。并且用牛顿三次插值多项式计算的加密点极径的相对误差都在0.0001左右，此误差精度能够完全满足蜗壳施工放样精度要求。故可将牛顿插值公式计算值作为“准确值”，来对拉格郎日插值计算的结果进行误差估计。
　　绝对误差值 = 拉格朗日公式计算值 - 牛顿插值公式计算值 （8）
　　蜗壳曲线极径误差计算值见表3。
　　4.2从表3看出，拉格郎日插值公式计算结果的精度是相当高的，完全能够满足蜗壳放样施工精度的要求。
　　5. 结束语
　　在水电站蜗壳混凝土工程施工中，为提高蜗壳曲线放样精度，利用拉格郎日插值法，进行三次插值计算，求出蜗壳曲线上加密点坐标（极径），具有很高的精度。该方法可广泛应用于和水电站蜗壳具有相似结构类型工程的放样施工。
　　参考文献
　　[1]丁宇明. 施工放样中试验曲线上加密点坐标的计算[J].1980，（5）.（DING Yu-ming. Construction lofting test encryption point on the curve coordinate calculation[J]. Water Resources and Hydropower Engineering1980，（5）.（in chinese））
　　[文章编号]1006-7619（2013）08-15-772
　　[作者简介] 李秀晨（1963-），男，籍贯：河北石家庄人，职称：高级工程师，主要从事水利工程建设管理工作。