论文部分内容阅读
【摘要】平面向量是高考中的热点也是难点，但其解题策略主要包含几个意识，主要有基底意识，坐标意识，几何意识，投影意识，内积意识，这对解决向量问题有很大的帮助.
【关键词】 平面向量;基底意识;坐标意识;几何意识;投影意识;内积意识
综观对近几年高考题中平面向量的思考，发现平面向量的考题中常会涉及向量的长度、夹角、和、差、数量积、投影等概念和知识点，向量试题有越来越综合、越来越灵活的趋势，因而在解题方法和解题工具的选择上尤为显得重要，选择不恰当的方法，会比较费时、费力，且不得要领;选择恰当时，题目甚至可以被“秒杀”，所以在具体的平面向量解题中，对向量解题意识的培养极其重要.
1.基底意识
由平面向量基本定理可知，平面内任意一向量都可用同一组基底进行唯一表示，选取恰当的基底，数形结合，用已知的基底来表示所涉及处理的向量，让问题转化成已知基底的运算.这种未知向已知的转化，充分展示基底方法的优越性.
例1 如图1在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，AB=3AD，AE=EC，求BE·CD的值.
图 1分析 直接求BE·CD的值需知道BE与CD的模及夹角，显然无法得到，因已知条件可知线段AB，AC的长与夹角.故选择适当的两不共线向量来表示所求的BE与CD，记AB=a，AC=b，
则a=3，b=4，a·b=6，BE=12b-a，CD=13a-b，
∴BE·CD=（12b-a）·（13a-b）=76a·b-12b2-13a2=-4.
2.坐标意识
将平面向量数量化，向量的坐标表示就是一种具体表现，它简化了向量的分析、繁杂的运算，只要结合向量的坐标运算就能达到目的，这需要我们在审题时发现能否建立直角坐标系来确定一些点的坐标，从而得到所需向量的坐标，再对向量进行运算.
例2 如图2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F为边CD上， 若AB·AF=2，则AE·BF=
图 2 分析 由于AB，BC的长度已知，夹角确定，因此选择AB，AD为基底，可用基底意识解之，但对特殊图形容易建系的情况，我们可以将向量用坐标表示加以计算，如图以A为原点，AB为x轴，垂直于AD为y轴建系，设F（x，2），A（0，0），E（2，1），B（2，0）显然AF=（x，2），AB=（2，0），得AB·AF=2x=2，
确定得F（1，2），故AE=（2，1），BF=（1-2，2），AE·BF=2（1-2） 1×2=2.
3.几何意识
向量有着数与形的完美结合，向量的线性运算与数量积都有独特的几何意义，数形结合的思想方法的灵活运用，省时省力，可以提高解题的效率.
例3 已知a，b是平面内的两个单位向量，a·b=12，若向量c满足=120°，求c的最大值.
分析 本题若采用基底或坐标意识去解决都比较困难，但是用几何法就相对比较简单.
∵a·b=12，a=b=1，∴a，b的夹角为60°，又=120°，记 AB=a，AC=b，AD=c，则|AB|=1，|AC|=1，∠BAC=60°，∠BDC=120°，所以可以画出图像（图3）且A，B，C，D四点共圆，△ABC为等边三角形，则O是△ABC的外心，AD过圆心O时c的模最长，故易得cmax=233.
4.投影意识
向量的数量积的运算包括几何法和坐标法，几何法需确定两向量的模与夹角等基本量，当模与夹角不确定或不易得到的情况下，很难用公式解决，而向量数量积a·b的几何意义为a的模与b在a上的投影|b|cos的乘积，正因有了“向量的投影”的概念若将其作为一种“整体意识”加以运用，则可事半功倍.
例4 如图4，点C是半径为2的圆O上一动点，若弦AB=3，求AB·BC的最大值.
图 4分析 因为AB·BC=AB·（AC-AB）=AB·AC-9，所以只需得到AB·AC的最大值，因为|AB|=3，故由AB·AC的定义知，只要求得AC在AB上的投影的最大值，则可过O作AB的平行线与圆的交点C′，得AD为AC在AB上投影的最大值，而AD=12AB r=32 2=72，所以AB·AC=ABACcos∠C′AD≤ABAD=3×72=212，因此（AB·AC）max=212×9=32.
5.内积意识
两向量的数量积即内积，向量的内积是平面向量的重点，事实上，平面向量的内积对长度、角度等方面有着非常广泛的应用空间，在求解一些代数问题时，若有目的、有意识在一向量恒等式的两边，对同一向量进行数量积，则同样能收到较满意的解题效果.即当a=b，则a·c=b·c成立.
例5 已知△ABC所在平面上点P满足OP=OA λ（ABABcosB ACACcosC），λ∈R，则动点P的轨迹一定过△ABC的
心.（填：重心，垂心，外心，内心）
分析 观察分析条件中出现cosB，cosC，而AB，AC与BC进行内积可与cosB，cosC有密切联系，因为OP-OA=AP，所以向量恒等式OP=OA λ（ABABcosB ACACcosC），λ∈R两边可同时对BC进行内积，所以条件可以变为AP·BC=λ（AB·BCABcosB AC·BCACcosC）=λ（-BC BC）=0，可得AP⊥BC，则P的轨迹一定过△ABC的垂心.
正如陈武生老师说的，过分强调任何一种方法都不恰当，我们应分清各种方法的作用与功能，理清楚题目向量的条件，这样才能做到出奇制胜，百战百胜.
【关键词】 平面向量;基底意识;坐标意识;几何意识;投影意识;内积意识
综观对近几年高考题中平面向量的思考，发现平面向量的考题中常会涉及向量的长度、夹角、和、差、数量积、投影等概念和知识点，向量试题有越来越综合、越来越灵活的趋势，因而在解题方法和解题工具的选择上尤为显得重要，选择不恰当的方法，会比较费时、费力，且不得要领;选择恰当时，题目甚至可以被“秒杀”，所以在具体的平面向量解题中，对向量解题意识的培养极其重要.
1.基底意识
由平面向量基本定理可知，平面内任意一向量都可用同一组基底进行唯一表示，选取恰当的基底，数形结合，用已知的基底来表示所涉及处理的向量，让问题转化成已知基底的运算.这种未知向已知的转化，充分展示基底方法的优越性.
例1 如图1在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，AB=3AD，AE=EC，求BE·CD的值.
图 1分析 直接求BE·CD的值需知道BE与CD的模及夹角，显然无法得到，因已知条件可知线段AB，AC的长与夹角.故选择适当的两不共线向量来表示所求的BE与CD，记AB=a，AC=b，
则a=3，b=4，a·b=6，BE=12b-a，CD=13a-b，
∴BE·CD=（12b-a）·（13a-b）=76a·b-12b2-13a2=-4.
2.坐标意识
将平面向量数量化，向量的坐标表示就是一种具体表现，它简化了向量的分析、繁杂的运算，只要结合向量的坐标运算就能达到目的，这需要我们在审题时发现能否建立直角坐标系来确定一些点的坐标，从而得到所需向量的坐标，再对向量进行运算.
例2 如图2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F为边CD上， 若AB·AF=2，则AE·BF=
图 2 分析 由于AB，BC的长度已知，夹角确定，因此选择AB，AD为基底，可用基底意识解之，但对特殊图形容易建系的情况，我们可以将向量用坐标表示加以计算，如图以A为原点，AB为x轴，垂直于AD为y轴建系，设F（x，2），A（0，0），E（2，1），B（2，0）显然AF=（x，2），AB=（2，0），得AB·AF=2x=2，
确定得F（1，2），故AE=（2，1），BF=（1-2，2），AE·BF=2（1-2） 1×2=2.
3.几何意识
向量有着数与形的完美结合，向量的线性运算与数量积都有独特的几何意义，数形结合的思想方法的灵活运用，省时省力，可以提高解题的效率.
例3 已知a，b是平面内的两个单位向量，a·b=12，若向量c满足=120°，求c的最大值.
分析 本题若采用基底或坐标意识去解决都比较困难，但是用几何法就相对比较简单.
∵a·b=12，a=b=1，∴a，b的夹角为60°，又=120°，记 AB=a，AC=b，AD=c，则|AB|=1，|AC|=1，∠BAC=60°，∠BDC=120°，所以可以画出图像（图3）且A，B，C，D四点共圆，△ABC为等边三角形，则O是△ABC的外心，AD过圆心O时c的模最长，故易得cmax=233.
4.投影意识
向量的数量积的运算包括几何法和坐标法，几何法需确定两向量的模与夹角等基本量，当模与夹角不确定或不易得到的情况下，很难用公式解决，而向量数量积a·b的几何意义为a的模与b在a上的投影|b|cos的乘积，正因有了“向量的投影”的概念若将其作为一种“整体意识”加以运用，则可事半功倍.
例4 如图4，点C是半径为2的圆O上一动点，若弦AB=3，求AB·BC的最大值.
图 4分析 因为AB·BC=AB·（AC-AB）=AB·AC-9，所以只需得到AB·AC的最大值，因为|AB|=3，故由AB·AC的定义知，只要求得AC在AB上的投影的最大值，则可过O作AB的平行线与圆的交点C′，得AD为AC在AB上投影的最大值，而AD=12AB r=32 2=72，所以AB·AC=ABACcos∠C′AD≤ABAD=3×72=212，因此（AB·AC）max=212×9=32.
5.内积意识
两向量的数量积即内积，向量的内积是平面向量的重点，事实上，平面向量的内积对长度、角度等方面有着非常广泛的应用空间，在求解一些代数问题时，若有目的、有意识在一向量恒等式的两边，对同一向量进行数量积，则同样能收到较满意的解题效果.即当a=b，则a·c=b·c成立.
例5 已知△ABC所在平面上点P满足OP=OA λ（ABABcosB ACACcosC），λ∈R，则动点P的轨迹一定过△ABC的
心.（填：重心，垂心，外心，内心）
分析 观察分析条件中出现cosB，cosC，而AB，AC与BC进行内积可与cosB，cosC有密切联系，因为OP-OA=AP，所以向量恒等式OP=OA λ（ABABcosB ACACcosC），λ∈R两边可同时对BC进行内积，所以条件可以变为AP·BC=λ（AB·BCABcosB AC·BCACcosC）=λ（-BC BC）=0，可得AP⊥BC，则P的轨迹一定过△ABC的垂心.
正如陈武生老师说的，过分强调任何一种方法都不恰当，我们应分清各种方法的作用与功能，理清楚题目向量的条件，这样才能做到出奇制胜，百战百胜.