何谓“几何”？弗赖登塔尔认为，所谓几何就是把握空间，而这个空间对儿童来说，就是他们生活和运动的空间。因此，“几何”又称为“空间几何”，它是一个完整的知识体系，是一种论证几何，或称之为证明几何，是存在于严密的公理体系之中的。作为小学数学课程的空间几何，是几何学中基础部分，是一种直观几何，或称之为经验几何、实验几何，是存在于不太严密的局部组织之中的。那么，作为小学数学教师是否可以为孩子未来的几何学习搭建合理的桥梁？
　　梳理不同学段内容脉络
　　梳理小学到初中几何学习的内容：“图形与几何”主要内容有：空间和平面的基本图形，图形的性质和分类；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。从这个结构会发现，小学和初中有一个共同点：就是从过去比较单一的强调图形的计算和证明，向多角度刻划图形发展，这是作为衔接，首先要看到在结构上它们的相同点。不同点就是：小学强调的是直观辨认，通过操作来探索一些特征，确认一些性质；而中学则开始研究图形之间的关系，要去进行形式化的证明。在“空间与图形”这一领域里，初中着重于培养学生的逻辑思维能力，它贯穿于平面几何教学的全过程；而小学数学里学习的几何初步知识，往往侧重于操作、实验和计算，缺少逻辑推理能力的训练。从“操作几何”发展到“论证几何”，过渡的桥梁是培养逻辑推理能力。
　　剖析相同内容不同指向
　　厘定必要的基础 小学已经出现的平面图形的有关计算公式，初中不再作为新知识重新出现。这部分知识是指平面图形的面积和周长的计算公式，它们在初中几何将不再重新学习，而是直接在例题或练习中加以运用。也可以说是通过例题或练习进行复习和巩固。如三角形面积的计算公式就出现在“三角形的高”一节中的例题里，练习中也有。
　　理清表述的概念 小学已经出现过的某些几何概念，初中将重新表述，但与小学教材里的表述没有本质上的差异。考虑到知识的连续性和完整性，有些几何概念必须在初中重新表述.然而表述的公式和文字和小学几何的表述完全一样，或略有不同，但没有本质上的差异。如平行线的定义，初中和小学都说：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。”而梯形的定义，小学表述为“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”。初中则表述为“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形”。
　　理解重新的定义 小学里已经出现过的某些几何概念，初中将重新表述，且与小学的表述有本质上的差异。小学对有关几何概念的表述比较模糊，甚至于不太确切，初中几何必需重新表述.如小学里三角形的定义表述为“由三条线段围成的图形，这样的图形叫做三角形”。“围成”不能确切地表示“首尾连接”，因为交叉，重叠也能是围成.初中则表述为“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫助三角形”。“不在同一直线上”与“首尾顺次连接”都突出了三角形定义上的本质属性。另外，初中几何还对“角”“圆”等，用旋转的观点重新定义。
　　理论依据的差异 小学里已经出现过的性质、定理，因为缺乏理论依据，初中将加以推理证明。小学的几何是实验几何，所以小学几何中的几何性质、定理是通过实验方式得到的。如三角形的内角和定理就是通过剪一剪，拼一拼得出的结论。同样，等腰三角形的两底角相等是通过折一折得到的结论。而初中几何是论证几何，对几何性质、定理必须给出严密的论证。这也是几何可以培养学生严密的逻辑推理能力的优势所在，所以三角形内角和定理、等腰三角形的性质定理等在初中几何中，都加以推理证明，重新推出结论。
　　几何基础知识上的衔接
　　弄清楚初中与小学在几何教材上，对相关的几何概念、性质的不同的处理，在教学上就可以采取不同的方法和措施，以达到整体建构、深化提高的目的。
　　以三角形的内角和为例，三角形的内角和等于180度，在小学无论是通过量一量，拼一拼，还是折一折的方法，只要让学生初步确认相信是180度就可以了。到了中学，不仅要去确认它，还要用几何语言去描述它，另外更重要的是要去证明它，要通过一些基本的事实来证明三角形内角和等于180度。通过这个知识点的衔接，你也可以体会到小学和中学在平面图形学习中的不同。教材本身的设计是有系统、有内在衔接性的，教师要不被各个学段所限，努力开拓视野，提升知识储备更好的挖掘教材中为更高学段打基础的部分，使学生在本学段即可获得一定的超前准备。
　　从小学到初中，由直观感知到操作确认；再由思辨论证到度量计算，也即在论证几何之前，增加了一个直观几何阶段的学习。扩充了几何中的公理，以六条公理为推理论证的基础，削减了繁琐的证明。增加了空间几何的内容，从三维的具象再到二维的抽象。无论是哪一学段，我们都要思考教材为什么这样处理，有哪些实践基础和理论基础，如此安排是基于什么样的考虑，现在我们审视教材，实际实现的情况又是如何，还有哪些工作需要我们去研究、去完善？
　　小学生的空间想象能力是依靠直观、形象说出常见图形的名称、概念，初中平面几何从点、线、面的分析与综合开始，逐步掌握相交线、平行线、三角形、四边形、相似形和圆的性质，进行平面几何图形中各种组合与分解的运算和证明，通过对图形的平移、对称、翻折等研究，培养学生初步空间想象能力。
　　数学思想方法上的衔接
　　“空间与几何”是儿童最先感知的三维世界，与现实世界密切联系。
　　符号化思想 从具体情境中抽象出数学量关系和变化规律、从特殊到一般的探索和归纳过程。如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并有符号表示：S=ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。理解并运用符号表示数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图像表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a的平方表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。 　　分类思想 分类就是把所研究的问题按照某种标准分成若干种情况，然后分情况解决问题，使整个问题得到解决。小学几何中已学过分类的问题，如三角形按角分，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，在初中几何里又增加了按边分类的情况。凡是根据题设不能只用一个图形来表达题意的几何题，都必须仔细、全面地考虑点和线、线和线间的不同位置关系，列举画出各种图形，然后分类讨论，逐一解决问题。如：在直角三角形ABC中，有两边的长为3和4，求第三边的长，这道题就得分两种情况来解决。
　　化归思想 在研究数学问题时，将未解决的问题转化成已解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，将数量问题转化成图形问题或将图形问题转化成数量问题等等，这样的一种思想称为转化思想。在几何中，添加辅助线往往会使复杂的问题转化成简单的问题，如将四边形转化成正方形问题等等。
　　归纳思想 研究一般性问题时，在观察和实验的基础上，归纳出由特殊现象到一般现象的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想，很多几何概念的形成、性质的得出、定理的发现等都采用了归纳的方法。例如通过画图归纳出过一点（不论点在直线上还是在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。
　　模型思想 数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是他们的共同之处；但是模型思想更加注重如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究的各种问题。
　　学习活动经验上的衔接
　　把握学生的生活经验 小学生的抽象思维能力较弱，在教学中，应充分利用小学生已有的生活经验来解决简单的空间与图形知识，帮助他们获得对简单几何体和平面图形的直观经验。比如四年级教学“垂直”的概念，通过设计一些活动，如用三角尺画出直角、折纸折出直角等，为帮助学生能在头脑中建立“垂直”的表象做准备，从而得出垂直的定义，学习规范的数学符号的表示。进而以“画垂线、量线段长短”为主的活动，帮助学生抽象出“点到直线的距离”的概念，体会到距离的含义。
　　积聚学生的操作经验 利用操作体验来获得对象形状特征的认识，比如《三角形的分类》可以给定学生一些不同形状的三角形，让学生按自己的理解去分类，而不同的分类就显示着他们对对象形体特征的表征。利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质。比如学习平行四边形和梯形时，是在学生学习了长方形、正方形之后的，学生自然会按分析长方形、正方形的方法，从边、角的方面去分析它们的特征。
　　培植学生的思维经验 注意培养学生的逻辑思维能力。因此，在教学中，要充分发掘中小学教材里潜在的逻辑推理因素。空间与几何教学尽量让学生经历知识生发与形成的过程；解计算题，每一步要求学生叙述它的根据，讲出它的前因后果；应用题教学，要培养学生说出分析推理过程，并学会用语言和符号表达数量之间的关系。
　　积累学生的活动经验 在教学方法上小学更侧重于让孩子真的活动起来，动了能看到、能感知。而初中的动是为了在动手的基础上，在进一步动脑，动脑来思考，探索各种问题之间的关系。在中学已经开始严格的证明了而小学没有严格意义上的演绎推理，只要通过操作确认这个结论就可以了。
　　儿童的几何不是论证几何，更多的是属于直观几何，而直观几何就是一种经验几何或实验几何，因此，儿童获得几何知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作。儿童在这个过程中，是通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等活动来增加自己的体验，积累自己的经验，丰富自己的想象。中小学的衔接不仅是知识上的衔接，还需要思想上的衔接、经验上的衔接。
　　（作者单位：江苏省常州市武进区星河小学）