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[摘 要] 数学课堂微型探究教学是因数学教学内容与课堂时间的限制，不能大规模地开展探究教学而衍生出的新型教学方式. 按探究的过程来看，微型探究学习一般是部分探究，可以理解为在学习的发现问题、制定方案、实施方案、获得结果、表达与交流的完整探究环节中，只需完成其中的一个或多个步骤，其他步骤则以教师讲授为主，以达到学生自主建构知识与教师讲授的统一.
[关键词] 高中数学；微型探究学习；诱导公式
北京师范大学教育学院的李亦菲教授指出：“所谓微型探究活动，是指教师为完成学科教学任务，利用课堂教学的某个环节或课外时间开展的、短时间的探究活动.微型探究活动通常不需要经历发现问题、制定方案、实施方案、获得结果、表达与交流的完整探究环节，一般是在某个探究环节开展的探究活动，称为‘局部的探究活动’.”本文所指的“数学课堂开展微型探究学习”就是基于这种理论提出的. 在不同的环节添加微型探究学习活动，学生的接受程度不同，所以效果不同. 考虑在课堂上完成“提出问题”的环节的时间局限性及微型探究学习的灵活性，在数学定理法则课加强“实施方案”环节的同时，重视在“分析与假设”与“评价与结论”这两个环节添加微探究活动，以期提高学生在这两个环节的探究水平以及课堂整体的探究水平.
[?] “诱导公式”教学设计
1. 教学目标
（1）理解诱导公式的推导过程；
（2）会正确运用诱导公式进行有关计算、化简；
（3）了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力.
2. 设计思路
诱导公式教学中的微型探究学习的设计，注重以下几点：
（1）任意角的三角函数值的求法的探究以及用诱导公式求值的一般步骤的探究，主要在“评价与结论”环节开展；
（2）终边相同、终边关于x轴对称、终边关于y轴对称的三角函数值的关系的微型探究，主要在“分析与假设”“评价与结论”环节开展；
（3）由公式（二）、（三）能推导出公式（四）及例题的求解，主要在“实施方案”及“评价与结论”两个环节开展.
3. 教学过程
（1）复习回顾
师：任意角的三角函数是怎样定义的？
（2）新知探究
微型探究设计一：
探究问题1：如何求任意角的三角函数值？具体地，如何求的正弦值、余弦值？
设计意图：由复习任意角的三角函数的定义，为新知识的学习打下基础. 在“评价与结论”环节开展求的正弦值及余弦值的微型探究活动，引导学生进一步思考，激起学生的兴趣，为后续的探究做好知识上、方法上和情感上的准备.
微型探究设计二：
探究问题2：如果两个角的同名三角函数值相等，他们的终边一定相同吗？你能找出和的正弦值相等的角吗？
探究问题3：回顾一下，刚才我们是怎样获得这组公式（二）的？
设计意图：主要在“分析与假设”“评价与结论”环节开展采用教师引导的微型探究学习，使学生探究得出公式（二）.同时在引导探究的过程中，让学生感受从特殊到一般的思想方法.
微型探究设计三：
探究问题4：刚才我们研究了两个角的终边关于y轴对称的三角函数值的问题，你还想研究哪些问题？
探究问题5：如果两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？
设计意图：终边关于y轴对称、终边关于x轴对称的三角函数值的关系的微型探究，主要在“分析与假设”“评价与结论”环节开展，该微型探究活动的目的之一是想让学生自己提出想要研究的问题，用元认知的提示语引导学生提出问题，使学生真正进入数学思维活动中去.考虑到不同水平的学生的差异，设置了探究问题5，明确了探究的方向，让每个学生都能体会到探究知识的乐趣.
微型探究设计四：
这几组公式之间有何联系？由公式（二）、（三）能推导出公式（四）吗？
设计意图：由公式（二）、（三）推导出公式（四）这一探究活动，主要在实施方案”及“评价与结论”两个环节开展，引导学生在探究中反思，完善思维结构，把学生的思维活动推向了更高的境界，使学生全面深刻地理解知识，增强学生的整合概括能力.
（3）问题解决，体验应用
微型探究设计五：请同学们归纳一下利用诱导公式求值的一般步骤.
设计意图：本环节是得到诱导公式之后，对诱导公式的应用.通过教师的引导，使学生尝试去应用诱导公式解决问題.在“评价与结论”环节开展微型探究活动，使他们体会在诱导公式应用的过程中，学会从未知到已知的化归思想，并由此总结出解题的一般步骤，帮助学生养成良好的解题和反思的习惯.
（4）回顾总结，思维升华
本节课你学到了哪些数学知识？学到了哪些数学思想方法？还有哪些希望进一步了解的内容？
[?] 《诱导公式》部分课堂实录与分析
以上案例在课堂教学实施过程中，笔者特别关注了以下几个微型探究学习的环节.
1. 探究与α角终边相同的角的三角函数值
师：怎么解释你的想法？
生2：因为终边相同，交圆周于同一个点P，坐标是相同的，由三角函数的定义可知三角函数值相等.
师：请展示你得到的结论.
生2：……
以上的探究活动，是在学生自行思考，并在教师的引导下，学生回到定义去解决问题，逐步得到公式.
2. 探究与α角终边关于y轴对称的角的三角函数值
师：结论非常正确.反思一下我们得到以上两组公式的研究思路是怎样的.
生4：角的终边在图形上都表现为重合或对称的关系，在终边与圆周的交点的坐标上有着相等或相反的数量关系，从而得到它们三角函数值之间的关系. 生5：我想补充一下，我们研究的角都是先取了一个锐角，然后再到任意角都成立.
师：大家总结得都非常好，我用一张思维导图（略）总结一下大家的想法.
学生在以上的探究活动中，主体意识被唤醒，学生在讨论及与教师交流的过程中，能够发表不同的意见，接纳各种不同的观点，课堂气氛活跃，创设了宽松、民主而又有竞争性的学习氛围.
3. 探究与α角终边关于x轴对称及关于原点对称的角的三角函数值
师：刚才我们研究了两个角的终边关于y轴对称的三角函数值的问题，你还想研究哪些问题？
让学生分组讨论、探究.
师：请各组展示你们的讨论结果.
组1：我们组研究了与α角终边关于x轴对称的角……
组2：我们组研究了关于原点对称的角……
在以上探究过程中，学生自己拟定探究的题目，自行确定探究的方向与思路，类比前两组公式的探究方法，共同讨论其他情况的角的三角函數值的特征.学生在这一过程中，不仅提高了思维水平，同时还深刻领悟了知识背后的数学思想方法，促进了其理解数学的本质，从而逐渐学会利用数学思考问题，进一步增强创新意识.
[?] 教学反思
1. 在定理、公式、法则中进行微型探究，有助于挖掘思维潜能
在高中数学定理、公式、法则中进行微型探究的设计中，教师要为学生创造自主探究的机会，注重为学生的探究而设问，使学生经常处在独立思考、自主探索的平台上；鼓励学生在学习数学知识、技能、方法及思想的过程中自主发现问题、提出问题并加以研究，使学生在体验数学研究的过程的同时，挖掘出思维潜能，进一步培养发现、提出、解决数学问题的能力.教师的有效问题设置，使学生不断地明确探究方向，调整探究策略，从而正确地构建数学知识体系，使他们参与并体验数学知识的获得过程，建构起对数学的新的认识，并培养数学探究的能力.
2. 避免开展微型探究的单一化
课堂教学中开展微型探究同样受多方面的因素影响，因此，课堂微型探究学习的方式不可能千篇一律. 在具体探究时不必追求每个要素的完整，在提出问题、分析与假设、实施方案、评价与结论这四个阶段中，根据学习内容的目标及重难点，采用多种方式相结合的办法，突出探究的重点. 将微型探究教学与整个教学过程相结合，既可防止探究形式的单一化，也可以有效地提高学习的效率.
[关键词] 高中数学；微型探究学习；诱导公式
北京师范大学教育学院的李亦菲教授指出：“所谓微型探究活动，是指教师为完成学科教学任务，利用课堂教学的某个环节或课外时间开展的、短时间的探究活动.微型探究活动通常不需要经历发现问题、制定方案、实施方案、获得结果、表达与交流的完整探究环节，一般是在某个探究环节开展的探究活动，称为‘局部的探究活动’.”本文所指的“数学课堂开展微型探究学习”就是基于这种理论提出的. 在不同的环节添加微型探究学习活动，学生的接受程度不同，所以效果不同. 考虑在课堂上完成“提出问题”的环节的时间局限性及微型探究学习的灵活性，在数学定理法则课加强“实施方案”环节的同时，重视在“分析与假设”与“评价与结论”这两个环节添加微探究活动，以期提高学生在这两个环节的探究水平以及课堂整体的探究水平.
[?] “诱导公式”教学设计
1. 教学目标
（1）理解诱导公式的推导过程；
（2）会正确运用诱导公式进行有关计算、化简；
（3）了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力.
2. 设计思路
诱导公式教学中的微型探究学习的设计，注重以下几点：
（1）任意角的三角函数值的求法的探究以及用诱导公式求值的一般步骤的探究，主要在“评价与结论”环节开展；
（2）终边相同、终边关于x轴对称、终边关于y轴对称的三角函数值的关系的微型探究，主要在“分析与假设”“评价与结论”环节开展；
（3）由公式（二）、（三）能推导出公式（四）及例题的求解，主要在“实施方案”及“评价与结论”两个环节开展.
3. 教学过程
（1）复习回顾
师：任意角的三角函数是怎样定义的？
（2）新知探究
微型探究设计一：
探究问题1：如何求任意角的三角函数值？具体地，如何求的正弦值、余弦值？
设计意图：由复习任意角的三角函数的定义，为新知识的学习打下基础. 在“评价与结论”环节开展求的正弦值及余弦值的微型探究活动，引导学生进一步思考，激起学生的兴趣，为后续的探究做好知识上、方法上和情感上的准备.
微型探究设计二：
探究问题2：如果两个角的同名三角函数值相等，他们的终边一定相同吗？你能找出和的正弦值相等的角吗？
探究问题3：回顾一下，刚才我们是怎样获得这组公式（二）的？
设计意图：主要在“分析与假设”“评价与结论”环节开展采用教师引导的微型探究学习，使学生探究得出公式（二）.同时在引导探究的过程中，让学生感受从特殊到一般的思想方法.
微型探究设计三：
探究问题4：刚才我们研究了两个角的终边关于y轴对称的三角函数值的问题，你还想研究哪些问题？
探究问题5：如果两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？
设计意图：终边关于y轴对称、终边关于x轴对称的三角函数值的关系的微型探究，主要在“分析与假设”“评价与结论”环节开展，该微型探究活动的目的之一是想让学生自己提出想要研究的问题，用元认知的提示语引导学生提出问题，使学生真正进入数学思维活动中去.考虑到不同水平的学生的差异，设置了探究问题5，明确了探究的方向，让每个学生都能体会到探究知识的乐趣.
微型探究设计四：
这几组公式之间有何联系？由公式（二）、（三）能推导出公式（四）吗？
设计意图：由公式（二）、（三）推导出公式（四）这一探究活动，主要在实施方案”及“评价与结论”两个环节开展，引导学生在探究中反思，完善思维结构，把学生的思维活动推向了更高的境界，使学生全面深刻地理解知识，增强学生的整合概括能力.
（3）问题解决，体验应用
微型探究设计五：请同学们归纳一下利用诱导公式求值的一般步骤.
设计意图：本环节是得到诱导公式之后，对诱导公式的应用.通过教师的引导，使学生尝试去应用诱导公式解决问題.在“评价与结论”环节开展微型探究活动，使他们体会在诱导公式应用的过程中，学会从未知到已知的化归思想，并由此总结出解题的一般步骤，帮助学生养成良好的解题和反思的习惯.
（4）回顾总结，思维升华
本节课你学到了哪些数学知识？学到了哪些数学思想方法？还有哪些希望进一步了解的内容？
[?] 《诱导公式》部分课堂实录与分析
以上案例在课堂教学实施过程中，笔者特别关注了以下几个微型探究学习的环节.
1. 探究与α角终边相同的角的三角函数值
师：怎么解释你的想法？
生2：因为终边相同，交圆周于同一个点P，坐标是相同的，由三角函数的定义可知三角函数值相等.
师：请展示你得到的结论.
生2：……
以上的探究活动，是在学生自行思考，并在教师的引导下，学生回到定义去解决问题，逐步得到公式.
2. 探究与α角终边关于y轴对称的角的三角函数值
师：结论非常正确.反思一下我们得到以上两组公式的研究思路是怎样的.
生4：角的终边在图形上都表现为重合或对称的关系，在终边与圆周的交点的坐标上有着相等或相反的数量关系，从而得到它们三角函数值之间的关系. 生5：我想补充一下，我们研究的角都是先取了一个锐角，然后再到任意角都成立.
师：大家总结得都非常好，我用一张思维导图（略）总结一下大家的想法.
学生在以上的探究活动中，主体意识被唤醒，学生在讨论及与教师交流的过程中，能够发表不同的意见，接纳各种不同的观点，课堂气氛活跃，创设了宽松、民主而又有竞争性的学习氛围.
3. 探究与α角终边关于x轴对称及关于原点对称的角的三角函数值
师：刚才我们研究了两个角的终边关于y轴对称的三角函数值的问题，你还想研究哪些问题？
让学生分组讨论、探究.
师：请各组展示你们的讨论结果.
组1：我们组研究了与α角终边关于x轴对称的角……
组2：我们组研究了关于原点对称的角……
在以上探究过程中，学生自己拟定探究的题目，自行确定探究的方向与思路，类比前两组公式的探究方法，共同讨论其他情况的角的三角函數值的特征.学生在这一过程中，不仅提高了思维水平，同时还深刻领悟了知识背后的数学思想方法，促进了其理解数学的本质，从而逐渐学会利用数学思考问题，进一步增强创新意识.
[?] 教学反思
1. 在定理、公式、法则中进行微型探究，有助于挖掘思维潜能
在高中数学定理、公式、法则中进行微型探究的设计中，教师要为学生创造自主探究的机会，注重为学生的探究而设问，使学生经常处在独立思考、自主探索的平台上；鼓励学生在学习数学知识、技能、方法及思想的过程中自主发现问题、提出问题并加以研究，使学生在体验数学研究的过程的同时，挖掘出思维潜能，进一步培养发现、提出、解决数学问题的能力.教师的有效问题设置，使学生不断地明确探究方向，调整探究策略，从而正确地构建数学知识体系，使他们参与并体验数学知识的获得过程，建构起对数学的新的认识，并培养数学探究的能力.
2. 避免开展微型探究的单一化
课堂教学中开展微型探究同样受多方面的因素影响，因此，课堂微型探究学习的方式不可能千篇一律. 在具体探究时不必追求每个要素的完整，在提出问题、分析与假设、实施方案、评价与结论这四个阶段中，根据学习内容的目标及重难点，采用多种方式相结合的办法，突出探究的重点. 将微型探究教学与整个教学过程相结合，既可防止探究形式的单一化，也可以有效地提高学习的效率.