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G·波利亚说：“如果一个学生从来就没有机会去解决一个他自己所发明创造的问题，那么他的经验是不完整的，教师可以向学生示范如何从一个刚刚解决的问题引出新问题，这样做可以引起学生的好奇心，教师也可以留一部分创造发明给学生。”数学课堂上留有一些发挥的余地给学生，让学生自己设法解决问题，可以是一题多解，在问题解决方案的设计中锻炼思维能力，甚至可以把这样的方案迁移至新的问题上。我们不能预设课堂中即将发生的一切，但是我们必须学会应对一切的技巧。面对着一个个具有不同特征的个体，数学课堂的建构应该显现出在动态中生成的特点。我们要随机应变，着力让课堂变得丰富多彩，焕发出生命的活力。以下是笔者在动态生成观指导下实施课堂教学的一个案例及其思考。
一、教学实录
一道应用题的求解过程（初一）：某建筑工程使用大理石铺地面时，设计出对同种规格的大理石用量规则：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用去剩下的一半多一块，第三层再用去剩下的一半多一块，第四层又用去剩下的一半多一块，这样第五层恰好将剩余的370块全部用完，问原有大理石多少块？
像这样求解起来不那么省力，但想通了又不那么难的题目，恰是锻炼学生思维的一个好机会。如果教师见题目有点难马上给予提示，就会使学生养成依赖性。一直缺少思考的空间，就一直学不会思考，对稍难一点的题就会懒得思考，空着不做。这道题我留了大段时间让学生思考计算，然后请学生交流方法。
二、几点思考
1.“预设”与“生成”和谐统一
在数学的学习中，与其接着每一道题讲下去，不如留出一部分时间引导他们去思考，让他们去生成，在思考的同时锻炼学生的创新能力，何乐而不为？课堂教学的目的不仅仅是传授数学知识、解题技巧，更重要的是让学生学会数学思维。我们需要学生参与课堂，这样的课堂才有活力。老师预设中的方法未必是最好的，当学生的思维参与进来时，就会相互对比，可能老师的方法最终被淘汰，此时的课堂是有生命力的。当课堂中学生提出自己的想法时， 教师不能因为学生的想法错误，花时间讲解会浪费时间，就去回避，而是应该尽量去发现学生思路中的闪光点，及时纳入预设的教学之中，调整教学策略，课堂常常因此变得更加精彩。我们应该珍惜学生的想法，毕竟这是他们积极思考的结果。
2.避免思维惯性中的负面作用
学习数学离不开直觉，同时也离不开思维的惯性，思维的惯性很多时候提高了解题的速度。所谓思维的惯性，主要表现在习惯于某种自己认为理所当然的思路、解法。坚持自己认为是正确的方法固然好，但是如果钻到了牛角尖里，就会干扰我们去寻求别的解法。在注重课堂中的动态生成同时，要引导学生避免思维惯性中的负面作用。
教学案例（初二全等三角形习题讲解）：如图1，正方形ABCD中，M是DC的中点，点E在DC的延长线上，MN⊥AM，MN交∠BCE的平分线于N，试说明：AM=MN。
思路分析：想到利用证明三角形全等得到对应边相等时，很容易过N作DE的垂线段，如图2所示，然后证明△ADM≌△MFN。
但是这样做比较困难，为什么不找一个和△NMC全等的三角形呢？可以取AD的中点P，连接MP，证明△MAP≌△NMC。学生习惯于直角三角形，所以去证明两个直角三角形全等，而没有看到两个钝角三角形全等。
思维惯性的副作用很难避免，我们要意识到它的存在。数学题虽然很多，惯性的影响时刻存在，但是影响的角度是有限的，遇到问题仔细观察，认真分析，充分发挥联想，进行严密的推理，排除惯性副作用的影响。我们要帮助学生总结自己的错误，这些错通常不只是某一位同学会犯的，帮助一位学生的同时，别的学生也会获益。课堂上，不要忽视学生的错误，学生的错误对于老师来讲很重要，从中我们可以找到错误的原因，是教授方面还是理解方面。让学生的“错误”成为课堂教学中的资源。教师应该学会捕捉这些资源，把它们融入预设中。
3.自主反思，完善知识系统
课堂上，学生可以对某道题进行反思，这样能够促进学生更加积极地思考。学生可以对老师或者同学的做法提出异议。但勇于质疑不是无端的怀疑，那会给自己设置障碍，变成解不出的借口。质疑要有根有据。可能对于学生来讲这样的质疑常常会是条弯路，但是这种尝试会让学生认识到数学间的联系。
只要两位同学坚持坚持就能证明出来，千万不要过于轻易地去怀疑，要有凭有据。学生不断反思，从而更加深入地理解一道题，这是数学学习的一种非常好的状态，学生会越学越有劲，对待数学学习也将越来越积极。
4.加强学习，提高教师应变能力
数学知识的掌握是一个思维过程。需要时间对新知进行分析，从而与已经掌握的知识建立起联系，把握住新知的基本结构。如果不去理解新知的意义及它们之间的联系，而是按照时空顺序逐个记住，这是死记硬背，是一种机械识记，学习效果不会很好。在数学教学中，教师应当适时给学生留出足够的思考空间，不要把学生拘束在教师的灌输上，死记解题步骤，而不知道依据是什么。数学的逻辑性很强，靠死记硬背而不去思考是没法学好的。每位同学需要的思考时间也是不一样的，所以给他们的思考时间要根据整体水平而定。
学习优秀的教育理论，把它们和自己的教育实践结合起来，反思自己的教学设计。动态生成观指导下的课堂重视学生的主体参与，重视教学情境的创设，重视如何去激发学生的兴趣和学习动机。学生的知识不应该单独依靠传授获得的，这样获得的知识最多只是预设之中的，学生通过自主参与获得的知识是无限的。师生应当共同参与到教学中，促进智慧的生成。教师对于课堂上将会发生的教学事件要有一定的预见性，不能够预见到的，也应当有与学生共同生成智慧的准备和能力。初中数学教师不仅要知道小学数学是怎么回事，而且要懂得高中数学；高中数学教师不仅要知道初中数学知识，而且要懂得一些大学数学知识……这样，作为教育者，我们才能站在更高的角度审视我们的教学，才能促进学生的生成。这是数学学科知识方面的，另外，在数学教学上，要把数学学科知识融入教学中，把动态生成理论同教学实际相结合，思考如何在教学的细节上提高教学的效率，生成更多的智慧。
（作者单位：江苏苏州市吴江区桃源中学）
一、教学实录
一道应用题的求解过程（初一）：某建筑工程使用大理石铺地面时，设计出对同种规格的大理石用量规则：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用去剩下的一半多一块，第三层再用去剩下的一半多一块，第四层又用去剩下的一半多一块，这样第五层恰好将剩余的370块全部用完，问原有大理石多少块？
像这样求解起来不那么省力，但想通了又不那么难的题目，恰是锻炼学生思维的一个好机会。如果教师见题目有点难马上给予提示，就会使学生养成依赖性。一直缺少思考的空间，就一直学不会思考，对稍难一点的题就会懒得思考，空着不做。这道题我留了大段时间让学生思考计算，然后请学生交流方法。
二、几点思考
1.“预设”与“生成”和谐统一
在数学的学习中，与其接着每一道题讲下去，不如留出一部分时间引导他们去思考，让他们去生成，在思考的同时锻炼学生的创新能力，何乐而不为？课堂教学的目的不仅仅是传授数学知识、解题技巧，更重要的是让学生学会数学思维。我们需要学生参与课堂，这样的课堂才有活力。老师预设中的方法未必是最好的，当学生的思维参与进来时，就会相互对比，可能老师的方法最终被淘汰，此时的课堂是有生命力的。当课堂中学生提出自己的想法时， 教师不能因为学生的想法错误，花时间讲解会浪费时间，就去回避，而是应该尽量去发现学生思路中的闪光点，及时纳入预设的教学之中，调整教学策略，课堂常常因此变得更加精彩。我们应该珍惜学生的想法，毕竟这是他们积极思考的结果。
2.避免思维惯性中的负面作用
学习数学离不开直觉，同时也离不开思维的惯性，思维的惯性很多时候提高了解题的速度。所谓思维的惯性，主要表现在习惯于某种自己认为理所当然的思路、解法。坚持自己认为是正确的方法固然好，但是如果钻到了牛角尖里，就会干扰我们去寻求别的解法。在注重课堂中的动态生成同时，要引导学生避免思维惯性中的负面作用。
教学案例（初二全等三角形习题讲解）：如图1，正方形ABCD中，M是DC的中点，点E在DC的延长线上，MN⊥AM，MN交∠BCE的平分线于N，试说明：AM=MN。
思路分析：想到利用证明三角形全等得到对应边相等时，很容易过N作DE的垂线段，如图2所示，然后证明△ADM≌△MFN。
但是这样做比较困难，为什么不找一个和△NMC全等的三角形呢？可以取AD的中点P，连接MP，证明△MAP≌△NMC。学生习惯于直角三角形，所以去证明两个直角三角形全等，而没有看到两个钝角三角形全等。
思维惯性的副作用很难避免，我们要意识到它的存在。数学题虽然很多，惯性的影响时刻存在，但是影响的角度是有限的，遇到问题仔细观察，认真分析，充分发挥联想，进行严密的推理，排除惯性副作用的影响。我们要帮助学生总结自己的错误，这些错通常不只是某一位同学会犯的，帮助一位学生的同时，别的学生也会获益。课堂上，不要忽视学生的错误，学生的错误对于老师来讲很重要，从中我们可以找到错误的原因，是教授方面还是理解方面。让学生的“错误”成为课堂教学中的资源。教师应该学会捕捉这些资源，把它们融入预设中。
3.自主反思，完善知识系统
课堂上，学生可以对某道题进行反思，这样能够促进学生更加积极地思考。学生可以对老师或者同学的做法提出异议。但勇于质疑不是无端的怀疑，那会给自己设置障碍，变成解不出的借口。质疑要有根有据。可能对于学生来讲这样的质疑常常会是条弯路，但是这种尝试会让学生认识到数学间的联系。
只要两位同学坚持坚持就能证明出来，千万不要过于轻易地去怀疑，要有凭有据。学生不断反思，从而更加深入地理解一道题，这是数学学习的一种非常好的状态，学生会越学越有劲，对待数学学习也将越来越积极。
4.加强学习，提高教师应变能力
数学知识的掌握是一个思维过程。需要时间对新知进行分析，从而与已经掌握的知识建立起联系，把握住新知的基本结构。如果不去理解新知的意义及它们之间的联系，而是按照时空顺序逐个记住，这是死记硬背，是一种机械识记，学习效果不会很好。在数学教学中，教师应当适时给学生留出足够的思考空间，不要把学生拘束在教师的灌输上，死记解题步骤，而不知道依据是什么。数学的逻辑性很强，靠死记硬背而不去思考是没法学好的。每位同学需要的思考时间也是不一样的，所以给他们的思考时间要根据整体水平而定。
学习优秀的教育理论，把它们和自己的教育实践结合起来，反思自己的教学设计。动态生成观指导下的课堂重视学生的主体参与，重视教学情境的创设，重视如何去激发学生的兴趣和学习动机。学生的知识不应该单独依靠传授获得的，这样获得的知识最多只是预设之中的，学生通过自主参与获得的知识是无限的。师生应当共同参与到教学中，促进智慧的生成。教师对于课堂上将会发生的教学事件要有一定的预见性，不能够预见到的，也应当有与学生共同生成智慧的准备和能力。初中数学教师不仅要知道小学数学是怎么回事，而且要懂得高中数学；高中数学教师不仅要知道初中数学知识，而且要懂得一些大学数学知识……这样，作为教育者，我们才能站在更高的角度审视我们的教学，才能促进学生的生成。这是数学学科知识方面的，另外，在数学教学上，要把数学学科知识融入教学中，把动态生成理论同教学实际相结合，思考如何在教学的细节上提高教学的效率，生成更多的智慧。
（作者单位：江苏苏州市吴江区桃源中学）