1.知识具备
　　x ≥0→（a-b） ≥0→a b -2ab≥0，即：
　　（1）a b ≥2ab，注意乘积为定值，平方和有最小值，当且仅当a=b时取等号.
　　（2）ab≤ ，注意平方和为定值，乘积有最大值，当且仅当a=b时取等号.
　　若a、b∈R ，则有：
　　（3）a b≥2 ，乘积为定值，和有最小值，当且仅当a=b时取等号.
　　（4）ab≤（ ） ，和为定值，乘积有最大值，当且仅当a=b时取等号.
　　2.习题训练
　　（1）已知mn=10，求m n 的最小值.
　　解：m n ≥2mn，当且仅当m=n= ，即m n =2mn=20时，m n 有最小值为20.
　　例1：已知xy=4，z=4x y ，求z的最小值.
　　例2：求函数y=x （x≠0）的值域.
　　（2）已知m n =100，求mn的最大值.
　　解：mn≤ =50，当且仅当m=n=5 时mn有最大值为50.
　　例1：已知4a b =100，求ab的最大值.
　　例2：已知a b =10，求 ab的最大值.
　　（3）求函数y=x （x≠0）的值域.
　　解：当x>0时，x ≥2 =2，当且仅当x= 即x=1时有最小值2;
　　当x<0时，-x>0，故x =-[（-x） ]≤-2 =-2，当且仅当-x= 时即x=-1时有最大值-2.
　　综上，y∈（-∞，-2]∪[2， ∞）.
　　例1：已知正数xy=4，求2x y的最小值.
　　例2：已知正数xy=16，求3x 2y的最小值.
　　例3：已知a b=2，求2 2 的最小值.
　　例4：已知正数x、y满足2x 3y=4，求 的最小值.
　　例5：已知正数x、y满足 =4，求2x y的最小值.
　　例6：已知点P（2，3）在直线ax by-9=0上，求 的最小值.
　　例7：求函数y= （x≥-1）的最小值.
　　例8：求y= （0　　（4）已知x y=10，求xy的最大值.
　　解：xy≤（ ） =25，当且仅当x=y=5时xy有最大值为25.
　　例1：已知2x y=20，求xy的最大值.
　　例2：已知正数x、y满足3x 2y=12，求xy的最大值.
　　例3：已知正数a、b满足a b=100，求lga lgb的最大值.
　　例4：已知正数m、n满足m n=4，求log m log n的最大值.
　　例5：已知a>0，b>0，且ab=a b 3，求a b的最小值.
　　例6：已知a>0，b>0，且2a b =3，求a 的最小值.
　　参考习题：
　　1.已知正数x、y满足x 4y=1，求 的最小值.（答案：9）
　　2.若直线2ax by-2=0，（a，b∈R ）平分圆x y -2x-4y-6=0，求 的最小值.（答案：3 2 ）
　　3.函数y=a -2（a>0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx ny 1=0上，其中mn>0，求 的最小值.（答案：8）
　　4.已知x>0，y>0，且x y=4，若不等式 ≥m恒成立，求m的取值范围.（答案： ）
　　5.已知x>1，y>1且lgx lgy=4，求lgx·lgy的最大值.（答案：4）
　　6.已知a b=3，求2 2 的最小值.（答案：4 ）
　　7.已知a>1，且ab-4a-b 1=0，求（a 1）（b 2）的最小值.（答案：27）
　　8.已知a>b>0，求a 的最小值.（答案：3）
　　9.已知lgx lgy=2，求 的最小值.（答案： ）
　　10.当点P（x，y）在直线x 3y=2上移动时，求z=3 27 1的最小值.（答案：7）
　　11.已知x>2，求y=x 的最小值.（答案：6）
　　12.一批救灾物资随26辆车从某市以v公里/小时的速度直达灾区.已知两地公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（ ） 公里.求这批物资全部运到灾区，至少需要几个小时？（答案：10）