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摘要:本文论述了什么是数学美、和谐美,转化思想能使已知与结论和谐,数学思想与思维途径和谐,数与形的和谐,解题方法与思维策略的和谐.
关键词:数学思想;和谐美;齐次式;策略;关联直觉
数学美就是数学的优美感. 庞加莱说:“数学的优美感,不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感,正因为这种适应性,这个解答可能成为我们的一种工具,所以这种美学上的满足感是和思维、结构紧密相关的.”
所谓和谐美既是解题中条件与结论的和谐,又是数与形的和谐,更是解题方法与思维策略的和谐,还是数学思想与思维途径的和谐.
例1(2008全国) 已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),其中-<θ<.
(1)若a⊥b,求θ;
(2)求a+b的最大值.
解(1)因为a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),由a⊥b,得sinθ+cosθ=0.
因为-<θ<,所以cosθ≠0.
所以tanθ=-1. 所以θ=-.
当然,也可以这样变形,sinθ+cosθ=0,所以(sinθ+cosθ)2=0. 故sin2θ=-1. 所以2θ=-?圯θ=-.
(2)为了求a+b的最大值,将向量形式坐标化,有a+b=,当θ=时,最大值为.
不管是(1)或者是(2),也不管是哪一种解法,都说明了条件与结论的和谐,解题方法与思维策略的和谐,数学思想与思维途径的和谐,以及化归思想与思维途径的和谐.
例2(2009福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,φ<.
(1)若coscosφ-sinsinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式,并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数.
解(1)由coscosφ-sinsinφ=0得cos+φ=0,又φ<,所以φ=.
(2)由(1)得f(x)=sinωx+,且由条件知=,又T=,所以ω=3. 所以f(x)=sin3x+. 函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是g(x)=sin3(x+m)+. g(x)是偶函数,当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),所以m=+(k∈Z),从而最小正实数m=.
不管是(1)或者是(2),都说明了条件与结论的和谐,解题方法与思维策略的和谐,数学思想与思维途径的和谐,也说明了化归思想与思维途径的和谐,若画出图象来还可以发现数与形的和谐.
条件与结论的和谐
凡形如asinx+bcosx,asin2x+bcos2x的式子分别称为关于sinx,cosx的一次齐次式与二次齐次式. 若分子、分母都是一次齐次式或都是二次齐次式的三角分式时,分子、分母同时除以同角的余弦(或除以同角余弦的平方),则一次齐次式或二次齐次式的求值显得更加方便. 这是三角解题的重要策略.
例3已知=-1,(1)求的值;(2)求sin2α+sinα•cosα+2的值.
分析为了使条件与结论有和谐性,必须用关联直觉,观察条件与结论,看其是否可以转化为二次齐次式. 而条件中可挖掘隐含条件tanα=-tanα+1,即tanα=.
解(1)因为=-1,所以tanα=.
所以=== -.
(2)原式===.
例3的两道数学题,前者为后者作铺垫. 后者表面上看不是关于正弦、余弦的二次齐次式,但可利用正弦、余弦的平方和公式将它转化为关于正弦、余弦的二次齐次式,又将它视为以1为分母的分式,这是“一举两得”的策略. 由此可见数学的化归思想与思维途径的和谐.
例4已知tanθ=2,求2sin2θ-3sinθcosθ的值.
解法1原式====.
解法2原式=cos2θ(2tan2θ-3tanθ)=(2tan2θ-3tanθ)=(2×22-3×2)=.
这两种方法都是利用二次齐次式的特征,前者以“无中生有”的策略,用正、余弦的平方和(即1)充当分母,由于分子、分母都是二次齐次式,整体代换即可得出结果. 后者既利用了余弦与正割的倒数关系,又利用了正割与正切的平方关系,通过转化得出结果. 可见创造性的思维方法更能体现和谐美.
例5(2008全国)已知函数f(x)=2sin2x+sin2x,x∈[0,2π],求f(x)为正值的x的集合.
解法1f(x)=2sin2x+2sinxcosx=2sinx(sinx+cosx),f(x)为正值的充要条件是sinx>0且sinx+cosx>0,或者sinx<0且sinx+cosx<0,所以x∈0,或x∈π,.
解法2f(x)=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-,由f(x)>0得x∈0,或x∈π,.
两种方法殊途同归,说明了不同思维方法、不同思维途径、不同思维策略之间的和谐性以及条件与结论的和谐性.
解题方法与思维策略的和谐
所谓变换策略是指通过变换公式的形式、变换角度的表达、变动三角函数的名称、变换数学思维的方式、变更三角题的形式,使得三角题获解的策略. 换句话说,所谓“变名策略”,广义地说是利用同角三角函数间的关系式、诱导公式和万能置换公式等改变函数名称以便统一处理的策略. 所谓“变角策略”是利用和、差、倍、半、积等化复角、倍角、半角的函数为单角的三角函数, 或反之的策略;所谓“整体策略”是从整体出发,把单项式(或多项式)视为一个角参与变换的策略.
三角公式是三角函数求值的工具,公式的应用既有公式从左到右的正应用,又有公式从右到左的逆应用,还有公式的变形应用,更有此公式与其他公式结合解题的综合应用. 如和角(或差角)的正切公式常常有如下的变形应用:和角正切公式的变形,tan(α+β)=?圯tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
数学解题思维策略是在解题之前确定的总体思路与谋略,是带有原则性的思维方法,是主体认知的思维决策选择. 下面通过一道数学题说明数学解题思维策略是何等的重要.
例6求的值.
分析用什么策略呢?观察分子、分母、角度之间的联系是用何种策略的基础,15°=7°+8°或者7°=15°-8°,再用和、差角的正弦(或余弦)公式,便能使解题方法与思维策略和谐.
解原式====tan15°=tan(45°-30°)==2-.
可以看出,在这里我们三次用到变角策略,使差角的正弦公式、余弦公式、正切公式与变角策略和谐相处.
例7(2008全国)
求函数f(x)=的最小正周期、最大值与最小值.
解函数可通过恒等变形变为可看出最小正周期、最大值与最小值的形式.
f(x)====(1+sinxcosx)=+sin2x,所以f(x)的最小正周期是π,最大值是,最小值是.
可以看出,此处是将多个三角函数的和、差、积、商化归为单个三角函数的积与和的形式,运用了配方法、平方差公式、三角函数的平方和公式和三角函数的倍角公式,它体现了解题方法与思维策略的和谐.
例8
当0 A. ?摇2 B. 2
C. 4 D. 4
解f(x)==+4tanx≥2=4,当且仅当tanx=时等号成立. 故选C.
数与形的和谐
例9 如图1所示,已知α为锐角, 求证:
(1)1 (2)sin3α+cos3α<1.
图1
证明设角α的终边与单位圆相交于P(x,y),过点P作PQ⊥Ox,PR⊥Oy,Q,R为垂足.
(1)因为y=sinα,x=cosα,在△OPQ中,QP+OQ>OP,所以sinα+cosα>1. 所以S△POA=y=sinα.
又S△POB=OBPR=x=cosα,而扇形覆盖两个三角形面积之和,扇形面积为••12=,所以S△OAP+S△OPB<. 所以sinα+cosα<,故1 (2)因为0 所以cos3α 若不用数形结合方法,就是证明sinα+cosα>1(0<α<)也要费很大的劲.
证明令y=sinα+cosα?圯y2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α.
因为0<α<,所以0<2α<π,sin2α>0,y2>0,y>0. 所以y>1. 所以sinα+cosα>1(0<α<).
数学思想与思维途径的和谐
什么是数学思想?数学思想是数学教学与数学研究的根本想法,是数学规律与数学本质的理性认识,是数学的精髓与灵魂,而数学方法是数学活动的途径、程序、技巧和手段,二者相互联系、密不可分.
例10(2004湖北)已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,其中α∈,π,求sin2α+的值.
分析转化思想首先体现在关于正弦(或余弦)的一元二次方程转化为求正切值,其次通过α所在象限转化为求sin2α+的值,最后用转化的数学思想,将整式变为分母是1的分式,从而得出分式的分子、分母都是二次齐次式.
解将6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0分解成(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=0,所以3sinα+2cosα=0或者2sinα-cosα=0. 因为α∈,π,所以tanα<0. 所以tanα=-. sin2α+=sin2αcos+cos2αsin=sinαcosα+(cos2α-sin2α)=+×.将tanα=-代入上式得sin2α+=+×=-+.
例11(2004广东)已知α,β,γ是公比为2的等比数列,且α∈[0,2π],sinα,sinβ,sinγ成等比数列,求α,β,γ的值.
解因为α,β,γ是公比为2的等比数列,所以β=2α,γ=4α. 又因为sinα,sinβ,sinγ成等比数列,所以=. 所以=. 故cosα=2cos2α-1,即2cos2α-cosα-1=0,所以cosα=1或者cosα=-. 当cosα=1,sinα=0时,这与等比数列的首项不为零相矛盾,故cosα=0应舍去;当cosα=-时,又因为α∈[0,2π],所以α=或. 所以γ=,α=,β=或γ=,α=,β=.
这里是由两个已知条件得出两个倍数关系,通过两个等价的比例式,由正弦的倍角关系得到关于余弦的一元二次方程,再通过“去粗取精,去伪存真”去掉一个伪根,保留一个真根,从而得出两组解. 数学思想与思维途径的和谐,表现在转化的数学思想与上述解题途径上.
例12求的值.
分析观察分子,前项可以用互余公式, 第二项用倍角的正弦公式, 即可使分子和谐统一. 在分母中,sin56°=cos34°,不但使分母和谐统一,还可使分子、分母和谐统一.
解原式=====4.
综上所述,已知与未知的和谐、策略与方法的和谐、数与形的和谐、数学思想与思维途径的和谐是数学解题中数学美的标志. 而公式变换、角的变换、函数名称的变换、升幂变换、降幂变换是使之和谐的一种手段.
关键词:数学思想;和谐美;齐次式;策略;关联直觉
数学美就是数学的优美感. 庞加莱说:“数学的优美感,不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感,正因为这种适应性,这个解答可能成为我们的一种工具,所以这种美学上的满足感是和思维、结构紧密相关的.”
所谓和谐美既是解题中条件与结论的和谐,又是数与形的和谐,更是解题方法与思维策略的和谐,还是数学思想与思维途径的和谐.
例1(2008全国) 已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),其中-<θ<.
(1)若a⊥b,求θ;
(2)求a+b的最大值.
解(1)因为a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),由a⊥b,得sinθ+cosθ=0.
因为-<θ<,所以cosθ≠0.
所以tanθ=-1. 所以θ=-.
当然,也可以这样变形,sinθ+cosθ=0,所以(sinθ+cosθ)2=0. 故sin2θ=-1. 所以2θ=-?圯θ=-.
(2)为了求a+b的最大值,将向量形式坐标化,有a+b=,当θ=时,最大值为.
不管是(1)或者是(2),也不管是哪一种解法,都说明了条件与结论的和谐,解题方法与思维策略的和谐,数学思想与思维途径的和谐,以及化归思想与思维途径的和谐.
例2(2009福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,φ<.
(1)若coscosφ-sinsinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式,并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数.
解(1)由coscosφ-sinsinφ=0得cos+φ=0,又φ<,所以φ=.
(2)由(1)得f(x)=sinωx+,且由条件知=,又T=,所以ω=3. 所以f(x)=sin3x+. 函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是g(x)=sin3(x+m)+. g(x)是偶函数,当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),所以m=+(k∈Z),从而最小正实数m=.
不管是(1)或者是(2),都说明了条件与结论的和谐,解题方法与思维策略的和谐,数学思想与思维途径的和谐,也说明了化归思想与思维途径的和谐,若画出图象来还可以发现数与形的和谐.
条件与结论的和谐
凡形如asinx+bcosx,asin2x+bcos2x的式子分别称为关于sinx,cosx的一次齐次式与二次齐次式. 若分子、分母都是一次齐次式或都是二次齐次式的三角分式时,分子、分母同时除以同角的余弦(或除以同角余弦的平方),则一次齐次式或二次齐次式的求值显得更加方便. 这是三角解题的重要策略.
例3已知=-1,(1)求的值;(2)求sin2α+sinα•cosα+2的值.
分析为了使条件与结论有和谐性,必须用关联直觉,观察条件与结论,看其是否可以转化为二次齐次式. 而条件中可挖掘隐含条件tanα=-tanα+1,即tanα=.
解(1)因为=-1,所以tanα=.
所以=== -.
(2)原式===.
例3的两道数学题,前者为后者作铺垫. 后者表面上看不是关于正弦、余弦的二次齐次式,但可利用正弦、余弦的平方和公式将它转化为关于正弦、余弦的二次齐次式,又将它视为以1为分母的分式,这是“一举两得”的策略. 由此可见数学的化归思想与思维途径的和谐.
例4已知tanθ=2,求2sin2θ-3sinθcosθ的值.
解法1原式====.
解法2原式=cos2θ(2tan2θ-3tanθ)=(2tan2θ-3tanθ)=(2×22-3×2)=.
这两种方法都是利用二次齐次式的特征,前者以“无中生有”的策略,用正、余弦的平方和(即1)充当分母,由于分子、分母都是二次齐次式,整体代换即可得出结果. 后者既利用了余弦与正割的倒数关系,又利用了正割与正切的平方关系,通过转化得出结果. 可见创造性的思维方法更能体现和谐美.
例5(2008全国)已知函数f(x)=2sin2x+sin2x,x∈[0,2π],求f(x)为正值的x的集合.
解法1f(x)=2sin2x+2sinxcosx=2sinx(sinx+cosx),f(x)为正值的充要条件是sinx>0且sinx+cosx>0,或者sinx<0且sinx+cosx<0,所以x∈0,或x∈π,.
解法2f(x)=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-,由f(x)>0得x∈0,或x∈π,.
两种方法殊途同归,说明了不同思维方法、不同思维途径、不同思维策略之间的和谐性以及条件与结论的和谐性.
解题方法与思维策略的和谐
所谓变换策略是指通过变换公式的形式、变换角度的表达、变动三角函数的名称、变换数学思维的方式、变更三角题的形式,使得三角题获解的策略. 换句话说,所谓“变名策略”,广义地说是利用同角三角函数间的关系式、诱导公式和万能置换公式等改变函数名称以便统一处理的策略. 所谓“变角策略”是利用和、差、倍、半、积等化复角、倍角、半角的函数为单角的三角函数, 或反之的策略;所谓“整体策略”是从整体出发,把单项式(或多项式)视为一个角参与变换的策略.
三角公式是三角函数求值的工具,公式的应用既有公式从左到右的正应用,又有公式从右到左的逆应用,还有公式的变形应用,更有此公式与其他公式结合解题的综合应用. 如和角(或差角)的正切公式常常有如下的变形应用:和角正切公式的变形,tan(α+β)=?圯tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
数学解题思维策略是在解题之前确定的总体思路与谋略,是带有原则性的思维方法,是主体认知的思维决策选择. 下面通过一道数学题说明数学解题思维策略是何等的重要.
例6求的值.
分析用什么策略呢?观察分子、分母、角度之间的联系是用何种策略的基础,15°=7°+8°或者7°=15°-8°,再用和、差角的正弦(或余弦)公式,便能使解题方法与思维策略和谐.
解原式====tan15°=tan(45°-30°)==2-.
可以看出,在这里我们三次用到变角策略,使差角的正弦公式、余弦公式、正切公式与变角策略和谐相处.
例7(2008全国)
求函数f(x)=的最小正周期、最大值与最小值.
解函数可通过恒等变形变为可看出最小正周期、最大值与最小值的形式.
f(x)====(1+sinxcosx)=+sin2x,所以f(x)的最小正周期是π,最大值是,最小值是.
可以看出,此处是将多个三角函数的和、差、积、商化归为单个三角函数的积与和的形式,运用了配方法、平方差公式、三角函数的平方和公式和三角函数的倍角公式,它体现了解题方法与思维策略的和谐.
例8
当0
C. 4 D. 4
解f(x)==+4tanx≥2=4,当且仅当tanx=时等号成立. 故选C.
数与形的和谐
例9 如图1所示,已知α为锐角, 求证:
(1)1
图1
证明设角α的终边与单位圆相交于P(x,y),过点P作PQ⊥Ox,PR⊥Oy,Q,R为垂足.
(1)因为y=sinα,x=cosα,在△OPQ中,QP+OQ>OP,所以sinα+cosα>1. 所以S△POA=y=sinα.
又S△POB=OBPR=x=cosα,而扇形覆盖两个三角形面积之和,扇形面积为••12=,所以S△OAP+S△OPB<. 所以sinα+cosα<,故1
证明令y=sinα+cosα?圯y2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α.
因为0<α<,所以0<2α<π,sin2α>0,y2>0,y>0. 所以y>1. 所以sinα+cosα>1(0<α<).
数学思想与思维途径的和谐
什么是数学思想?数学思想是数学教学与数学研究的根本想法,是数学规律与数学本质的理性认识,是数学的精髓与灵魂,而数学方法是数学活动的途径、程序、技巧和手段,二者相互联系、密不可分.
例10(2004湖北)已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,其中α∈,π,求sin2α+的值.
分析转化思想首先体现在关于正弦(或余弦)的一元二次方程转化为求正切值,其次通过α所在象限转化为求sin2α+的值,最后用转化的数学思想,将整式变为分母是1的分式,从而得出分式的分子、分母都是二次齐次式.
解将6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0分解成(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=0,所以3sinα+2cosα=0或者2sinα-cosα=0. 因为α∈,π,所以tanα<0. 所以tanα=-. sin2α+=sin2αcos+cos2αsin=sinαcosα+(cos2α-sin2α)=+×.将tanα=-代入上式得sin2α+=+×=-+.
例11(2004广东)已知α,β,γ是公比为2的等比数列,且α∈[0,2π],sinα,sinβ,sinγ成等比数列,求α,β,γ的值.
解因为α,β,γ是公比为2的等比数列,所以β=2α,γ=4α. 又因为sinα,sinβ,sinγ成等比数列,所以=. 所以=. 故cosα=2cos2α-1,即2cos2α-cosα-1=0,所以cosα=1或者cosα=-. 当cosα=1,sinα=0时,这与等比数列的首项不为零相矛盾,故cosα=0应舍去;当cosα=-时,又因为α∈[0,2π],所以α=或. 所以γ=,α=,β=或γ=,α=,β=.
这里是由两个已知条件得出两个倍数关系,通过两个等价的比例式,由正弦的倍角关系得到关于余弦的一元二次方程,再通过“去粗取精,去伪存真”去掉一个伪根,保留一个真根,从而得出两组解. 数学思想与思维途径的和谐,表现在转化的数学思想与上述解题途径上.
例12求的值.
分析观察分子,前项可以用互余公式, 第二项用倍角的正弦公式, 即可使分子和谐统一. 在分母中,sin56°=cos34°,不但使分母和谐统一,还可使分子、分母和谐统一.
解原式=====4.
综上所述,已知与未知的和谐、策略与方法的和谐、数与形的和谐、数学思想与思维途径的和谐是数学解题中数学美的标志. 而公式变换、角的变换、函数名称的变换、升幂变换、降幂变换是使之和谐的一种手段.