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摘 要：Mathematica软件相对与Matlab等大众软件具有友好的数学输入格式，这有利于Mathematica软件应用到教育教学方面。本文基于Mathematica软件编写了一套在数学物理方法课程中求解球函数展开相关问题的程序。该程序简洁易懂，有利于在教学过程当中向学生展示采用球函数展开求解相关问题的基本思想和方法，从而取得良好的教学效果。
关键词：Mathematica;球函数;数学物理方法
Application of spherical function expansion based on Mathematica
Song Hongquan1 Zhang Wei2
1. Institute of Physics and Telecommunication Engineering Zhoukou Normal University HenanZhoukou 466001;2. Library Zhoukou Normal University HenanZhoukou 466001
Abstract： Mathematica has a friendly math input format compared to popular software such as Matlab， which is beneficial for applying Mathematica to education and teaching. Based on Mathematica， the paper has written a set of programs to solve the problems related to spherical function expansion in mathematical physics methods. The program is concise and easy to understand， which is helpful to show the basic ideas of students for solving the meth problems by using spherical functions in the teaching process. Therefore， this program can effectively improve the teaching effect.
Keywords： Mathematica; Spherical Function; Mathematical Physics Methods
一、绪论
Mathematica软件是一款优秀的数学处理软件，它的最大优点是符号计算和友好的输入格式，使得学生容易操作和理解Mathematica程序，從而使该软件成为教育教学领域内常用的软件之一。数学物理方法是物理学专业学生的一门必修课，由于数学物理方法具有较高的抽象性，使得学生在学习该门课程时具有一定的难度。为了提高学生对数学物理方法理解能力，将Mathematica应用到数学物理方法教学当中，是非常有意义的。
近些年，Mathematica软件已经广泛应用到数学、物理、工程当中。如将Mathematica应用到高等数学的定积分、二重积分的定义和求解教学过程当中[1，2]。利用Mathematica软件描绘载流线圈和直螺线管的磁感线分布，结合理论对相关问题进行了讨论[3，4]。除此之外，Mathematica在大学物理教学中还有很多实例，如用Mathematica的数值计算功能讨论单摆的小角度问题[5]、利用绘图和编程功能仿真杨氏双缝干涉实验[6]、矩形波导中电磁矢量和能量密度等物理量的仿真[7]。虽然有文献将Mathematica应用到数学物理方法当中，如勒让德函数[8]、幂级数展开[9]和典型数理方程的三维图像[10]。但是相关研究依然较少，因此本文以具体的球函数应用习题为例，采用Mathematica软件编写求解程序，力求用简洁的方法让学生能够理解球函数应用的具体过程和基本思想。
本文的主要由三部分组成：第一部分引言主要介绍Mathematica在物理学方面的应用;第二部分为理论介绍部分，主要介绍本文中所涉及到的基本数学物理方法球函数理论;第三部分为程序代码部分，主要介绍在求解球函数问题时所用到的Mathematica程序，包括Mathematica中的内部函数和输入输出格式;第四部分为本文的结论部分。 二、球函数理论
球函数（spherical function）通常指连带勒让德方程的解，亦即连带勒让德函数。有时也把调和函数称为球函数。在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程时会出现球函数解的形式。球函数仅与角度部分的坐标（θ，φ）相关，顾命名为球函数。由于拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程在物理学的电动力学和量子力学中的问题求解过程中经常出现，因此球函数在物理学问题的研究中具有广泛的意义。
当函数
比较复杂时，u的解的项数会比较多。这样会极大的增加学生在解题过程中的计算量，淡化了解题思路和对球函数本身的认识。因此，有必要采用程序编程的方法来演示整个计算过程，帮助学生理解球函数的特殊以及在求解过程中的作用。以下以Mathematica软件程序为例来演示数学物理方法中球函数求解方程的基本过程。
三、Mathematica程序代码
以下带“[x]：=”开头的语句为Mathematica程序，其中x为程序编号。
程序[1]和[2]为初始程序，其中用到了两个函数Clear和SphericalHarmonicY，Clear函数用来清除变量的赋值，SphericalHarmonicY函数是用来定义球函数。程序[1]中的变量l和m为球函数的两个参数，r、θ、?为球函数的三个球坐标，F和Coeff分别为待定义的被展开函数及其展开系数。程序 [2]是为了方便起见将求函数定义为Y。
程序[3]用来定义被展开函数，本文以函数为例来说明球函数展开系数的求解过程。从程序[3]中可以看出，Mathematica程序中的公式表达非常接近日常书写的形式，这样就有利于教学过程中学生的理解。程序[4]定义了参数l的最大值为2，这个可以根据被展开函数的特点来取值。
四、 结论
本文以球函数具体习题求球面温度分布为例，此类问题的求解过程对其他同类型的问题具有参考意义。本文中球面温度分布选为一般形式（），以此为例采用Mathematica软件详细的编写了一套完整求解的程序，介绍了相关的Mathematica内部函数和输入输出格式，程序包含了球函数展开系数的求解。该程序具有简洁和可移植性高的优点，整个求解过程与书面求解过程完全一致，这种特点有利于学生的掌握和理解，是传统教学方法的发展和补充。该方法使得球函数相关问题简单化和直观化，可以有效的提高学生的理解能力和感性认识。
参考文献：
[1]王景艳，李玲. Mathematica数学软件在高等数学积分教学中的应用[J].保山学院学报， 2019， 38（5）： 71-75.
[2]干国胜，孙旭东. Mathematica在二重积分计算教与学的研究[J].汉江师范学院学报，2018，38（6）： 20-24.
[3]陈学文，吴莲，张家伟，吴 婷，谢腾辉.载流线圈和有限长直螺线管磁场的理论分析与讨论[J]. 大学物理，2019，38（10） ：23-27.
[4]常少梅. Mathematica 软件在电磁学实验中的应用[J].赤峰学院学报，2018， 34（6） ：20-21.
[5]赵文丽，高峰，王永刚，曹学成. Mathematica在大学物理教学中的应用举例[J].物理通报，2019，（8）： 10-13.
[6]王高亮，孟明，王强.基于Mathematica的杨氏双缝干涉实验仿真[J]. 周口师范学院学报，2018， 35（5） ：42-44.
关键词：Mathematica;球函数;数学物理方法
Application of spherical function expansion based on Mathematica
Song Hongquan1 Zhang Wei2
1. Institute of Physics and Telecommunication Engineering Zhoukou Normal University HenanZhoukou 466001;2. Library Zhoukou Normal University HenanZhoukou 466001
Abstract： Mathematica has a friendly math input format compared to popular software such as Matlab， which is beneficial for applying Mathematica to education and teaching. Based on Mathematica， the paper has written a set of programs to solve the problems related to spherical function expansion in mathematical physics methods. The program is concise and easy to understand， which is helpful to show the basic ideas of students for solving the meth problems by using spherical functions in the teaching process. Therefore， this program can effectively improve the teaching effect.
Keywords： Mathematica; Spherical Function; Mathematical Physics Methods
一、绪论
Mathematica软件是一款优秀的数学处理软件，它的最大优点是符号计算和友好的输入格式，使得学生容易操作和理解Mathematica程序，從而使该软件成为教育教学领域内常用的软件之一。数学物理方法是物理学专业学生的一门必修课，由于数学物理方法具有较高的抽象性，使得学生在学习该门课程时具有一定的难度。为了提高学生对数学物理方法理解能力，将Mathematica应用到数学物理方法教学当中，是非常有意义的。
近些年，Mathematica软件已经广泛应用到数学、物理、工程当中。如将Mathematica应用到高等数学的定积分、二重积分的定义和求解教学过程当中[1，2]。利用Mathematica软件描绘载流线圈和直螺线管的磁感线分布，结合理论对相关问题进行了讨论[3，4]。除此之外，Mathematica在大学物理教学中还有很多实例，如用Mathematica的数值计算功能讨论单摆的小角度问题[5]、利用绘图和编程功能仿真杨氏双缝干涉实验[6]、矩形波导中电磁矢量和能量密度等物理量的仿真[7]。虽然有文献将Mathematica应用到数学物理方法当中，如勒让德函数[8]、幂级数展开[9]和典型数理方程的三维图像[10]。但是相关研究依然较少，因此本文以具体的球函数应用习题为例，采用Mathematica软件编写求解程序，力求用简洁的方法让学生能够理解球函数应用的具体过程和基本思想。
本文的主要由三部分组成：第一部分引言主要介绍Mathematica在物理学方面的应用;第二部分为理论介绍部分，主要介绍本文中所涉及到的基本数学物理方法球函数理论;第三部分为程序代码部分，主要介绍在求解球函数问题时所用到的Mathematica程序，包括Mathematica中的内部函数和输入输出格式;第四部分为本文的结论部分。 二、球函数理论
球函数（spherical function）通常指连带勒让德方程的解，亦即连带勒让德函数。有时也把调和函数称为球函数。在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程时会出现球函数解的形式。球函数仅与角度部分的坐标（θ，φ）相关，顾命名为球函数。由于拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程在物理学的电动力学和量子力学中的问题求解过程中经常出现，因此球函数在物理学问题的研究中具有广泛的意义。
当函数
比较复杂时，u的解的项数会比较多。这样会极大的增加学生在解题过程中的计算量，淡化了解题思路和对球函数本身的认识。因此，有必要采用程序编程的方法来演示整个计算过程，帮助学生理解球函数的特殊以及在求解过程中的作用。以下以Mathematica软件程序为例来演示数学物理方法中球函数求解方程的基本过程。
三、Mathematica程序代码
以下带“[x]：=”开头的语句为Mathematica程序，其中x为程序编号。
程序[1]和[2]为初始程序，其中用到了两个函数Clear和SphericalHarmonicY，Clear函数用来清除变量的赋值，SphericalHarmonicY函数是用来定义球函数。程序[1]中的变量l和m为球函数的两个参数，r、θ、?为球函数的三个球坐标，F和Coeff分别为待定义的被展开函数及其展开系数。程序 [2]是为了方便起见将求函数定义为Y。
程序[3]用来定义被展开函数，本文以函数为例来说明球函数展开系数的求解过程。从程序[3]中可以看出，Mathematica程序中的公式表达非常接近日常书写的形式，这样就有利于教学过程中学生的理解。程序[4]定义了参数l的最大值为2，这个可以根据被展开函数的特点来取值。
四、 结论
本文以球函数具体习题求球面温度分布为例，此类问题的求解过程对其他同类型的问题具有参考意义。本文中球面温度分布选为一般形式（），以此为例采用Mathematica软件详细的编写了一套完整求解的程序，介绍了相关的Mathematica内部函数和输入输出格式，程序包含了球函数展开系数的求解。该程序具有简洁和可移植性高的优点，整个求解过程与书面求解过程完全一致，这种特点有利于学生的掌握和理解，是传统教学方法的发展和补充。该方法使得球函数相关问题简单化和直观化，可以有效的提高学生的理解能力和感性认识。
参考文献：
[1]王景艳，李玲. Mathematica数学软件在高等数学积分教学中的应用[J].保山学院学报， 2019， 38（5）： 71-75.
[2]干国胜，孙旭东. Mathematica在二重积分计算教与学的研究[J].汉江师范学院学报，2018，38（6）： 20-24.
[3]陈学文，吴莲，张家伟，吴 婷，谢腾辉.载流线圈和有限长直螺线管磁场的理论分析与讨论[J]. 大学物理，2019，38（10） ：23-27.
[4]常少梅. Mathematica 软件在电磁学实验中的应用[J].赤峰学院学报，2018， 34（6） ：20-21.
[5]赵文丽，高峰，王永刚，曹学成. Mathematica在大学物理教学中的应用举例[J].物理通报，2019，（8）： 10-13.
[6]王高亮，孟明，王强.基于Mathematica的杨氏双缝干涉实验仿真[J]. 周口师范学院学报，2018， 35（5） ：42-44.
[7]侯跃飞，张利绒，刘俊杰.基于Mathematica可视化矩形波导的电磁波[J].物理通报，2018， （11） ：19-23.
[8]程芳. Mathematica在以勒让德函数为基的广义Fourier级数展开中的应用[J].高教学刊，2016， （7） ：67-68.
[9]程芳. Mathemaica技术在幂级数展开中的应用[J].教育教學论坛，2012， （26） ：70-71.
[10]陈殿伟，杨海英.基于Mathematica和Matlab的典型数学物理方程解分布图像制作[J].吉林化工学院学报， 2012， 29（7） ：41-44.
基金项目：周口师范学院教育教学改革研究项目资助（J2019016）
作者简介：宋宏权（1980— ），男，陕西西安人，博士，讲师，主要从事合金体系材料模拟计算研究。