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【摘 要】在经历将近20年高中数学教学后， 笔者又开始了初中数学的教学，教学理念和教学方法发生了很大的变化，尤其对抽象概念的教学有了更深刻的认识。笔者从借助学生的活动经验实现新旧知识的顺利对接、实现新概念的自然同化、促进新范式的自然形成等方面阐述了对函数概念教学的一些体会。越是抽象的概念，越应当从学生的活动经验出发，把根扎在已有的认知体系上。
【关键词】函数；活动经验；抽象概念；自然对接
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）06-0000-00
【作者简介】张华，南京市科利华中学（南京，210008）副校长，六合区棠城学校校长，中学高级教师。
中学里从初二用变化的观点引入函数概念，到高中用对应的观点重新表达，其间的逻辑发展和抽象度有所提高，可以作为抽象概念教学的一个典型样本。在2009年之前笔者多次教过高中的函数内容，但是始终觉得函数是“难教也难学”的内容。在2010年，本人接触到了一些初中老师函数教学的课例后，才得以对函数教学从源头上开始思考。不久以后《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布，增加了“基本的数学活动经验”，使本人对函数概念的教学有了一些体会，并进而考虑推广到抽象概念的教学问题。我认为，抽象概念的教学关键在于利用学生的数学活动经验，降低抽象概念的教学难度。
一、在引入概念时借助学生的活动经验实现新旧知识的顺利对接
学习的过程就是要实现“新知”与“旧知”的顺应或同化。对于抽象概念而言，“新知”与“旧知”的距离较大，在同化或顺应的过程中要完成较大的跨度。因此，其学习的难度是客观存在的。教师的任务不是避开或隐瞒这个跨度，而是尽量缩小这个跨度，在旧知识和新知识之间构建一个顺利对接的通道，使得新知识的出现不再突然。怎样才能实现这一目标呢？我认为一个行之有效的方案是：利用学生已有的数学活动经验，缩小他们和新知识之间的能力差距和心理距离。
以“函数”概念的教学为例。虽然“函数”这个概念学生从初二就开始学习，并一直贯穿高中的全过程，前后历时5年，但由于此概念的抽象度高、层次性强，学习的困难始终存在。初二时的首次接触，是从常量数学到变量数学的飞跃；高一的再度相逢，是从变化到对应（隐含着连续变量到离散变量）的飞跃。再加上学生一进入高中首先碰到的集合内容就已足够抽象，在集合内容还没有完全弄懂的时候，紧接着就来了函数，这容易打击学生学习数学的信心，影响他们对数学的情感态度。
初中学习函数概念的最大难点是函数这部份知识的主要思想特点体现于一个“变”字。即研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系，要求用运动变化的观点去看侍和接触相关问题。中学生的认知发展水平是以具体形象思维为主，形式逻辑思维不强，他们看问题往往是静止的、割裂的，不能很好地把抽象的概念与具体事例联系起来，导致学生在学习函数概念时遇到很大的困难。比如，在老师眼里，x-y=1和y=x-1的意义是非常明显的，前者是一个方程，后者是一个函数。既可以认为它们有完全不同的含义，也可以认为它们是可以相互转化的。但是对初二学生而言，这两个都是等式或者说都是方程，没有“函数”的概念。想让初二学生认识到y=x-1是一个函数，绝不是老师一句话的告知就能解决的。因为在初二学生的经验里，有代数式、有等式、有方程，丝毫没有函数的影子。那些等式和方程，都被认为是表示确定的值，而没有“变化”的含义。因此，“变化”以及“随之而变化”的观点是全新的，必须重新建立。怎么建立呢？从学生的经验开始。
学生已经有了求“代数式的值” 的经历，并积累了丰富的相关经验。比如对于y=x-1，给定一个x值就可以算出一个y值。由此出发，可以让他们多求出几对（x，y）来（做这样的事情他们的兴致很高）。可以放手让他们求，一直到他们自己认为“不需要求了”为止。所谓“不需要求了”，就是他们能说出这样的话：“你随便给一个x值，我都能求出y来”。到这时，“变化”以及“随之而变化”的观点就已经基本确立了。老师只要顺水推舟，加以明确和强化并给出规范的表述即可（初始的表述可以让学生尝试，最终的表述必须老师给出），至此函数的概念已自然生成。
二、在巩固概念时借助学生的活动经验实现新概念的自然同化
在上面用数式运算的经验促使“概念自然生成”后，就要变换角度巩固概念，我认为还是要从学生的经验出发。学生早已有了解二元一次方程的经验（那经验是丰富的），可以据此设计如下的教学过程：
老师问：方程x-y=1有解吗？
学生在思考、讨论后一般会回答有解，比如x=2，y=1就是解。
老师再追问：有多少解？（以下回归到y=x-1）……
在这里，由x值代入都可以求出相应x-y值，且在x的变化过程中，对于任意一个x值，y都有唯一确定的值与之对应，学生在此可以清晰地体验到“对应”的含义。这正是函数概念的核心所在。学生能把用“求值”来领会“对应”，就是实现了对函数概念的同化，在原有认知结构中加入了函数概念。
仔细盘点一下，初中学生曾经经历过的“随之而变化”经验还有一些，比如两个角互余、互补、互为相反数、互为倒数、平方、平方根，以及实际问题中的时间与行程、数量与总价、速度与用时等等，这些都是学生宝贵的数学经验，都可以选来作为函数概念的生长点。如果教师能注意把这些用起来，让函数概念从学生的经验中自然生成，学生生就不会感到陌生和突然，也就能顺利地接受函数概念，并把函数知识尽快地内化到自己已有的知识结构中去。
三、在概念的发展中借助学生的活动经验促进新范式的自然形成
教材在处理函数概念时，把函数概念分为两个阶段：初中阶段和高中阶段。常常遇到的疑问是：初中已经有了函数概念，而且花了很大的力气去学习它。到了高中为什么又要重新学这个概念？这样的学习有意义吗？ 经过分析我们发现，高中与初中教材上的函数定义，其本质上是一致的，最大的区别在于两点：其一，用“集合”取代了“某一范围”；其二，用“对应”取代了“变化”。这样一来，教师就能把其中的奥妙看得清清楚楚了。第一，“范围” 是个习惯说法，基本上是指一个连续的区域，而“集合”则是规范的数学名词，既可以是连续集，也可以是离散集，更加规范也更加宽泛了。第二，“变化”并不是函数的本质特征（比如常函数中的y值就没有变化），新定义剥离了这个非本质特征以后，“随之变化”的说法也自然去除。
另一个疑问是：函数的表示法中为什么要有个列表法？它有用吗？
在而我多年的教学中，对列表法是很不在乎的。多数的学生也认为它“太小儿科”，有点不屑一顾。再想象我们在研究单调性、奇偶性、反函数时对解析式的重视，以及在利用数形结合思想时对图象法的重视，用“判若云泥”来形容也不为过。
难道列表法真的就这么没有价值吗？
其实不然，比如：
：y是x函数吗？
如果没有老师的讲解，初中学生很可能感到莫名其妙，或者去设法求一个表达式。只有高中的而且思维品质比较好的学生，才会想到用定义。与解析式法和图像法相比，列表法更直接地展现了“对应关系”，与集合和对应的观点最为接近，也与学生的生活经验最为接近。特别是把上面表格给出的函数辨认清楚以后，可以形成一个认知模式，对于理解常函数、分段函数、定义域为离散数集的函数、周期函数（多对一）等等都有重要的借鉴作用。对于后面这些复杂函数而言，前述表格给出的函数就可以看做是一个重要的经验。
再比如研究幂函数、指数函数、对数函数的性质时，都可以从前面研究函数性质的经验出发，类比地去研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等等。如果不利用前面研究一次函数、反比例函数和二次函数的经验，则无疑是对数学认知体系的人为割裂。不但是浪费了学生的学习资源，也影响了他们完整的认知结构的形成，是很不应该的。
波利亚曾说过，教学要从最简单的做起；奥苏泊尔也说过，教育者最重要的事情是弄清楚学生已经知道了什么。因此，了解学生的实际水平，了解他们已有的经验，就是教师必须做好的工作。越是抽象的概念，越应当从学生的活动经验出发，把根扎在已有的认知体系上。
【参考文献】
[1]陶维林，“函数的概念”的教学设计.《中小学数学（高中版）》 2009年Z2期.
[2][美]莫里斯.克莱因著，张祖贵译，西方文化中的数学.北京：商务印书馆，2013.
[3]中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（修订版）.北京：人民教育出版社，2011.
【关键词】函数；活动经验；抽象概念；自然对接
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）06-0000-00
【作者简介】张华，南京市科利华中学（南京，210008）副校长，六合区棠城学校校长，中学高级教师。
中学里从初二用变化的观点引入函数概念，到高中用对应的观点重新表达，其间的逻辑发展和抽象度有所提高，可以作为抽象概念教学的一个典型样本。在2009年之前笔者多次教过高中的函数内容，但是始终觉得函数是“难教也难学”的内容。在2010年，本人接触到了一些初中老师函数教学的课例后，才得以对函数教学从源头上开始思考。不久以后《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布，增加了“基本的数学活动经验”，使本人对函数概念的教学有了一些体会，并进而考虑推广到抽象概念的教学问题。我认为，抽象概念的教学关键在于利用学生的数学活动经验，降低抽象概念的教学难度。
一、在引入概念时借助学生的活动经验实现新旧知识的顺利对接
学习的过程就是要实现“新知”与“旧知”的顺应或同化。对于抽象概念而言，“新知”与“旧知”的距离较大，在同化或顺应的过程中要完成较大的跨度。因此，其学习的难度是客观存在的。教师的任务不是避开或隐瞒这个跨度，而是尽量缩小这个跨度，在旧知识和新知识之间构建一个顺利对接的通道，使得新知识的出现不再突然。怎样才能实现这一目标呢？我认为一个行之有效的方案是：利用学生已有的数学活动经验，缩小他们和新知识之间的能力差距和心理距离。
以“函数”概念的教学为例。虽然“函数”这个概念学生从初二就开始学习，并一直贯穿高中的全过程，前后历时5年，但由于此概念的抽象度高、层次性强，学习的困难始终存在。初二时的首次接触，是从常量数学到变量数学的飞跃；高一的再度相逢，是从变化到对应（隐含着连续变量到离散变量）的飞跃。再加上学生一进入高中首先碰到的集合内容就已足够抽象，在集合内容还没有完全弄懂的时候，紧接着就来了函数，这容易打击学生学习数学的信心，影响他们对数学的情感态度。
初中学习函数概念的最大难点是函数这部份知识的主要思想特点体现于一个“变”字。即研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系，要求用运动变化的观点去看侍和接触相关问题。中学生的认知发展水平是以具体形象思维为主，形式逻辑思维不强，他们看问题往往是静止的、割裂的，不能很好地把抽象的概念与具体事例联系起来，导致学生在学习函数概念时遇到很大的困难。比如，在老师眼里，x-y=1和y=x-1的意义是非常明显的，前者是一个方程，后者是一个函数。既可以认为它们有完全不同的含义，也可以认为它们是可以相互转化的。但是对初二学生而言，这两个都是等式或者说都是方程，没有“函数”的概念。想让初二学生认识到y=x-1是一个函数，绝不是老师一句话的告知就能解决的。因为在初二学生的经验里，有代数式、有等式、有方程，丝毫没有函数的影子。那些等式和方程，都被认为是表示确定的值，而没有“变化”的含义。因此，“变化”以及“随之而变化”的观点是全新的，必须重新建立。怎么建立呢？从学生的经验开始。
学生已经有了求“代数式的值” 的经历，并积累了丰富的相关经验。比如对于y=x-1，给定一个x值就可以算出一个y值。由此出发，可以让他们多求出几对（x，y）来（做这样的事情他们的兴致很高）。可以放手让他们求，一直到他们自己认为“不需要求了”为止。所谓“不需要求了”，就是他们能说出这样的话：“你随便给一个x值，我都能求出y来”。到这时，“变化”以及“随之而变化”的观点就已经基本确立了。老师只要顺水推舟，加以明确和强化并给出规范的表述即可（初始的表述可以让学生尝试，最终的表述必须老师给出），至此函数的概念已自然生成。
二、在巩固概念时借助学生的活动经验实现新概念的自然同化
在上面用数式运算的经验促使“概念自然生成”后，就要变换角度巩固概念，我认为还是要从学生的经验出发。学生早已有了解二元一次方程的经验（那经验是丰富的），可以据此设计如下的教学过程：
老师问：方程x-y=1有解吗？
学生在思考、讨论后一般会回答有解，比如x=2，y=1就是解。
老师再追问：有多少解？（以下回归到y=x-1）……
在这里，由x值代入都可以求出相应x-y值，且在x的变化过程中，对于任意一个x值，y都有唯一确定的值与之对应，学生在此可以清晰地体验到“对应”的含义。这正是函数概念的核心所在。学生能把用“求值”来领会“对应”，就是实现了对函数概念的同化，在原有认知结构中加入了函数概念。
仔细盘点一下，初中学生曾经经历过的“随之而变化”经验还有一些，比如两个角互余、互补、互为相反数、互为倒数、平方、平方根，以及实际问题中的时间与行程、数量与总价、速度与用时等等，这些都是学生宝贵的数学经验，都可以选来作为函数概念的生长点。如果教师能注意把这些用起来，让函数概念从学生的经验中自然生成，学生生就不会感到陌生和突然，也就能顺利地接受函数概念，并把函数知识尽快地内化到自己已有的知识结构中去。
三、在概念的发展中借助学生的活动经验促进新范式的自然形成
教材在处理函数概念时，把函数概念分为两个阶段：初中阶段和高中阶段。常常遇到的疑问是：初中已经有了函数概念，而且花了很大的力气去学习它。到了高中为什么又要重新学这个概念？这样的学习有意义吗？ 经过分析我们发现，高中与初中教材上的函数定义，其本质上是一致的，最大的区别在于两点：其一，用“集合”取代了“某一范围”；其二，用“对应”取代了“变化”。这样一来，教师就能把其中的奥妙看得清清楚楚了。第一，“范围” 是个习惯说法，基本上是指一个连续的区域，而“集合”则是规范的数学名词，既可以是连续集，也可以是离散集，更加规范也更加宽泛了。第二，“变化”并不是函数的本质特征（比如常函数中的y值就没有变化），新定义剥离了这个非本质特征以后，“随之变化”的说法也自然去除。
另一个疑问是：函数的表示法中为什么要有个列表法？它有用吗？
在而我多年的教学中，对列表法是很不在乎的。多数的学生也认为它“太小儿科”，有点不屑一顾。再想象我们在研究单调性、奇偶性、反函数时对解析式的重视，以及在利用数形结合思想时对图象法的重视，用“判若云泥”来形容也不为过。
难道列表法真的就这么没有价值吗？
其实不然，比如：
：y是x函数吗？
如果没有老师的讲解，初中学生很可能感到莫名其妙，或者去设法求一个表达式。只有高中的而且思维品质比较好的学生，才会想到用定义。与解析式法和图像法相比，列表法更直接地展现了“对应关系”，与集合和对应的观点最为接近，也与学生的生活经验最为接近。特别是把上面表格给出的函数辨认清楚以后，可以形成一个认知模式，对于理解常函数、分段函数、定义域为离散数集的函数、周期函数（多对一）等等都有重要的借鉴作用。对于后面这些复杂函数而言，前述表格给出的函数就可以看做是一个重要的经验。
再比如研究幂函数、指数函数、对数函数的性质时，都可以从前面研究函数性质的经验出发，类比地去研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等等。如果不利用前面研究一次函数、反比例函数和二次函数的经验，则无疑是对数学认知体系的人为割裂。不但是浪费了学生的学习资源，也影响了他们完整的认知结构的形成，是很不应该的。
波利亚曾说过，教学要从最简单的做起；奥苏泊尔也说过，教育者最重要的事情是弄清楚学生已经知道了什么。因此，了解学生的实际水平，了解他们已有的经验，就是教师必须做好的工作。越是抽象的概念，越应当从学生的活动经验出发，把根扎在已有的认知体系上。
【参考文献】
[1]陶维林，“函数的概念”的教学设计.《中小学数学（高中版）》 2009年Z2期.
[2][美]莫里斯.克莱因著，张祖贵译，西方文化中的数学.北京：商务印书馆，2013.
[3]中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（修订版）.北京：人民教育出版社，2011.