论文部分内容阅读
[摘 要]通过对数学建模课程教学的基本思想、基本内容、基本原则等方面的研究，力图探索出一套行之有效的教学方法，促进教学改革的发展，切实提高学生综合素质和能力。
[关键词]数学建模 教学方法 教学改革 案例式教学
[中图分类号] G427 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2012）12-0073-02
一、引言
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。对于数学教育而言，传统的数学教学体系和内容侧重于传授数学基本理论、方法和技巧，较少涉及具体的应用，因为抽象难懂，学生在学习数学的过程当中感到困难并且觉得一无所用，学习积极性普遍不高。事实上，当今数学的应用广泛而深入，但由于实际应用领域的专业性和使用数学工具的复杂性，使得我们的学生在大学阶段不大可能直接接触到这些数学应用的课题，因此产生了数学的实际作用巨大而学生在学习时却感觉数学无用的矛盾。在此情况下，旨在培养学生数学应用能力的数学建模课程的开展成为必然。另外，当今计算机技术及数学软件的飞速发展和普及也为改善、丰富数学建模课程内容提供了条件。
二、数学建模课程改革与教学实践
我校从2000年开始组队参加全国数学建模竞赛，2003年开始面向数学系学生开设数学建模课程。经过几年的竞赛和教学实践，目前我们主要针对数学专业二年级或三年级学生开设数学建模专业必修课，课时按照师范和非师范方向分为42和52学时两种。鉴于数学建模课程的特点，我们要求该门课程的先行课程是数学分析、高等代数、微分方程、概率论和数理统计等；在教学中结合我校实际情况及学生的自身特点，制订适合的教学大纲、教学内容、教学方法等；教学的重点放在树立信念，培养学生数学应用的意识和能力上。
数学建模不同于传统的数学课程，它强调的是数学的应用，而不单纯是对某一方面的数学知识的掌握，因此课程中各部分的先后逻辑关系不那么明确，特别适合采用案例式教学方法。所谓案例教学方法就是在课堂教学中， 教师以具体的案例作为主要的教学内容， 通过具体问题的建模示例， 介绍建模的过程和思想方法。课堂上的活动一部分是教师讲授， 另一部分是让学生进行课堂讨论， 即由学生发言， 提出对问题的理解和对所建立的数学模型的认识， 并提出新的数学模型， 对其求解、分析、讨论， 进行比较检验。教师进行适当的指导和评论。
我们在实施数学建模案例式教学时主要把握好以下几个方面。
（一）教学内容的选取
案例或问题是关键，选择合适的案例，这是数学建模教学取得良好教学效果的基础。本着适用性、趣味性和创新性的原则，我们选取的主要教学案例如下：数学建模概论、初等模型、简单优化模型、数学规划模型、微分方程模型、离散模型、概率模型、统计回归模型等。根据课时的情况每类模型讲解3～4个具体案例，另外配以相适应的课堂实践问题。在课堂实践问题的选取上特别注意与所介绍案例的关联度，使学生可以通过适当的思考、联想或类比将案例介绍的模型应用于实践问题的解决中，增强他们解决问题的自信心，加深他们对所讲案例的印象，并引发兴趣和思考。例如在讲解初等模型部分的“汽车刹车距离”案例时，在得到刹车距离模型“d=0.75v+0.06v2”之后，提出实践问题“交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯，请分析黄灯应当亮多久”。这个问题很好地与所介绍的案例相契合，既让学生有思考的空间，又不至于太难，只要学生真正了解黄灯的作用，不难将黄灯时间与上述的刹车距离联系起来，并得到结论。
（二）案例的课堂教学
教师在讲授具体的建模案例时， 应注重两个方面。第一个方面要从实际问题出发， 讲清问题的背景、建模的要求和已掌握的信息，如何通过合理的假设和简化分析建立恰当的数学模型。还要强调如何用求解结果去解释实际现象，检验模型。这种方法既突出了教学的重点， 又给学生留下了进一步思考的空间。例如讲授传染病模型时， 不同的假设会导致建立不同的模型， 只有从实际出发， 不断地修正才能使之成为一个成功的模型。此外，还可以给学生提供一些改进的方向，让学生自己课外独立探索和钻研。另外一个方面是教师的讲授必须和学生的讨论相结合。在教师先讲清楚案例的背景、关键的因素、所运用的数学工具等情况下， 运用怎样的数学知识和数学思想、建立怎样的数学模型可以让学生各抒己见， 进行讨论式教学。这样一来可以避免教师的“满堂灌”，同时可以活跃课堂气氛，提高学生的课堂学习兴趣和积极性，使传授知识变为学习知识、应用知识，真正地达到提高素质和培养能力的教学目的。
在教学手段上， 由于本课程具有知识更新快、信息量大、涉及的专业知识多等特点，因此特别适合引入多媒体教学手段，利用PPT课件、网页资料、软件等展示教学案例或背景材料，使得许多教学内容更丰富和具有趣味性，许多难以理解的东西更直观，同时能让学生接受更多的新知识。
（三）课程考查
考查方法在一定程度上直接影响着教学的效果，放松考查环节可能导致学生的敷衍， 但传统的考查方法显然是不合适的，为此我们在考查方式上做了一些改革和探索，尝试了以下几种考查方式：
1.闭卷考试。考查与课堂讲授或书本模型相关或简单推广的内容。
2.课程大作业。一种方式是组织班级2～3人为一组，模拟数学建模竞赛的形式就给定的问题进行建模求解，并写作建模论文上交。以此培养学生的团结合作能力，并亲身体验和实践对于较复杂的实际问题的建模过程。另一种方式是要求学生通过图书馆或网络收集感兴趣和有一定水准的数学建模案例，或者由教师推荐相关案例，例如历年中美数学建模赛题论文等，对这些案例进行学习、分析、研究和总结，以自己的理解写成课程报告上交。通过这种方式让学生自主学习比较完整复杂的数学建模案例，积累应用数学解决现实问题的经验。
3.平时小作业。以课本习题为主，或者引申课堂教学案例作进一步的探讨。
4.开卷课程考试。考查学生对课程的掌握和应用能力。
5.答辩式考试。这是一种比较理想的考试方式， 但由于工作量太大， 仅限于小范围进行。
通过几年的教学实践，目前我们主要采用比较有效且较易实施的第1、2、3种方法对学生进行综合考查，具体来说我们将考查分为两部分：一是平时，包括课堂表现与考勤，小作业及大作业，占40%；二是期末闭卷考试，占60%。这样的考查能够较真实地反映学生的水平， 也受到了学生的欢迎。
三、成绩与不足
通过数年的教学实践与探索，我校数学建模课程的教学改革初见成效，学生的学习兴趣大大提高，动手和应用能力逐步增强。我校学生参加全国数学建模竞赛曾多次获得过全国二等奖，江苏省一、二、三等奖等奖项。2008年在我们的指导下数学系2007级学生成功申报了“江苏省大学生实践创新训练计划项目”——“城市公共交通线路选择问题的数学建模及算法研究”，并于2010年顺利结题。但另一方面应该看到我校的数学建模教学活动还存在诸多不足，需要进一步改进和完善。这主要表现在以下几个方面：
1. 开课学生较单一。考虑到学生已有的数学知识结构，我校目前主要还是针对数学专业的学生开设数学建模课程。这无疑缩小了学习数学应用、培养创新能力的受众面。为此，在我校可以积极创造条件，逐步扩大开设该课程的专业范围。
2. 利用和开发网络资源不足，师生互动与交流较少。为此我们可以在校园网上建立数学建模论坛，在论坛上教师可以布置相关课题，共享数据资料。师生之间也可以互相交流数学建模的心得。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2] 尚寿亭，王雪峰，焦光虹，张池平，王勇. 数学建模和数学实验的教学研究与素质教育实践[J].数学的实践与认识，2002，32（3）：509-510.
[3] 王梅华.谈谈数学工具处理物理问题[J].大学教育，2012，（2）：52.
[4] 马力.将培养学生创造能力的理念贯穿于教学活动各环节中[J].大学教育，2012，（1）：51.
[责任编辑：陈 明]
[关键词]数学建模 教学方法 教学改革 案例式教学
[中图分类号] G427 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2012）12-0073-02
一、引言
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。对于数学教育而言，传统的数学教学体系和内容侧重于传授数学基本理论、方法和技巧，较少涉及具体的应用，因为抽象难懂，学生在学习数学的过程当中感到困难并且觉得一无所用，学习积极性普遍不高。事实上，当今数学的应用广泛而深入，但由于实际应用领域的专业性和使用数学工具的复杂性，使得我们的学生在大学阶段不大可能直接接触到这些数学应用的课题，因此产生了数学的实际作用巨大而学生在学习时却感觉数学无用的矛盾。在此情况下，旨在培养学生数学应用能力的数学建模课程的开展成为必然。另外，当今计算机技术及数学软件的飞速发展和普及也为改善、丰富数学建模课程内容提供了条件。
二、数学建模课程改革与教学实践
我校从2000年开始组队参加全国数学建模竞赛，2003年开始面向数学系学生开设数学建模课程。经过几年的竞赛和教学实践，目前我们主要针对数学专业二年级或三年级学生开设数学建模专业必修课，课时按照师范和非师范方向分为42和52学时两种。鉴于数学建模课程的特点，我们要求该门课程的先行课程是数学分析、高等代数、微分方程、概率论和数理统计等；在教学中结合我校实际情况及学生的自身特点，制订适合的教学大纲、教学内容、教学方法等；教学的重点放在树立信念，培养学生数学应用的意识和能力上。
数学建模不同于传统的数学课程，它强调的是数学的应用，而不单纯是对某一方面的数学知识的掌握，因此课程中各部分的先后逻辑关系不那么明确，特别适合采用案例式教学方法。所谓案例教学方法就是在课堂教学中， 教师以具体的案例作为主要的教学内容， 通过具体问题的建模示例， 介绍建模的过程和思想方法。课堂上的活动一部分是教师讲授， 另一部分是让学生进行课堂讨论， 即由学生发言， 提出对问题的理解和对所建立的数学模型的认识， 并提出新的数学模型， 对其求解、分析、讨论， 进行比较检验。教师进行适当的指导和评论。
我们在实施数学建模案例式教学时主要把握好以下几个方面。
（一）教学内容的选取
案例或问题是关键，选择合适的案例，这是数学建模教学取得良好教学效果的基础。本着适用性、趣味性和创新性的原则，我们选取的主要教学案例如下：数学建模概论、初等模型、简单优化模型、数学规划模型、微分方程模型、离散模型、概率模型、统计回归模型等。根据课时的情况每类模型讲解3～4个具体案例，另外配以相适应的课堂实践问题。在课堂实践问题的选取上特别注意与所介绍案例的关联度，使学生可以通过适当的思考、联想或类比将案例介绍的模型应用于实践问题的解决中，增强他们解决问题的自信心，加深他们对所讲案例的印象，并引发兴趣和思考。例如在讲解初等模型部分的“汽车刹车距离”案例时，在得到刹车距离模型“d=0.75v+0.06v2”之后，提出实践问题“交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯，请分析黄灯应当亮多久”。这个问题很好地与所介绍的案例相契合，既让学生有思考的空间，又不至于太难，只要学生真正了解黄灯的作用，不难将黄灯时间与上述的刹车距离联系起来，并得到结论。
（二）案例的课堂教学
教师在讲授具体的建模案例时， 应注重两个方面。第一个方面要从实际问题出发， 讲清问题的背景、建模的要求和已掌握的信息，如何通过合理的假设和简化分析建立恰当的数学模型。还要强调如何用求解结果去解释实际现象，检验模型。这种方法既突出了教学的重点， 又给学生留下了进一步思考的空间。例如讲授传染病模型时， 不同的假设会导致建立不同的模型， 只有从实际出发， 不断地修正才能使之成为一个成功的模型。此外，还可以给学生提供一些改进的方向，让学生自己课外独立探索和钻研。另外一个方面是教师的讲授必须和学生的讨论相结合。在教师先讲清楚案例的背景、关键的因素、所运用的数学工具等情况下， 运用怎样的数学知识和数学思想、建立怎样的数学模型可以让学生各抒己见， 进行讨论式教学。这样一来可以避免教师的“满堂灌”，同时可以活跃课堂气氛，提高学生的课堂学习兴趣和积极性，使传授知识变为学习知识、应用知识，真正地达到提高素质和培养能力的教学目的。
在教学手段上， 由于本课程具有知识更新快、信息量大、涉及的专业知识多等特点，因此特别适合引入多媒体教学手段，利用PPT课件、网页资料、软件等展示教学案例或背景材料，使得许多教学内容更丰富和具有趣味性，许多难以理解的东西更直观，同时能让学生接受更多的新知识。
（三）课程考查
考查方法在一定程度上直接影响着教学的效果，放松考查环节可能导致学生的敷衍， 但传统的考查方法显然是不合适的，为此我们在考查方式上做了一些改革和探索，尝试了以下几种考查方式：
1.闭卷考试。考查与课堂讲授或书本模型相关或简单推广的内容。
2.课程大作业。一种方式是组织班级2～3人为一组，模拟数学建模竞赛的形式就给定的问题进行建模求解，并写作建模论文上交。以此培养学生的团结合作能力，并亲身体验和实践对于较复杂的实际问题的建模过程。另一种方式是要求学生通过图书馆或网络收集感兴趣和有一定水准的数学建模案例，或者由教师推荐相关案例，例如历年中美数学建模赛题论文等，对这些案例进行学习、分析、研究和总结，以自己的理解写成课程报告上交。通过这种方式让学生自主学习比较完整复杂的数学建模案例，积累应用数学解决现实问题的经验。
3.平时小作业。以课本习题为主，或者引申课堂教学案例作进一步的探讨。
4.开卷课程考试。考查学生对课程的掌握和应用能力。
5.答辩式考试。这是一种比较理想的考试方式， 但由于工作量太大， 仅限于小范围进行。
通过几年的教学实践，目前我们主要采用比较有效且较易实施的第1、2、3种方法对学生进行综合考查，具体来说我们将考查分为两部分：一是平时，包括课堂表现与考勤，小作业及大作业，占40%；二是期末闭卷考试，占60%。这样的考查能够较真实地反映学生的水平， 也受到了学生的欢迎。
三、成绩与不足
通过数年的教学实践与探索，我校数学建模课程的教学改革初见成效，学生的学习兴趣大大提高，动手和应用能力逐步增强。我校学生参加全国数学建模竞赛曾多次获得过全国二等奖，江苏省一、二、三等奖等奖项。2008年在我们的指导下数学系2007级学生成功申报了“江苏省大学生实践创新训练计划项目”——“城市公共交通线路选择问题的数学建模及算法研究”，并于2010年顺利结题。但另一方面应该看到我校的数学建模教学活动还存在诸多不足，需要进一步改进和完善。这主要表现在以下几个方面：
1. 开课学生较单一。考虑到学生已有的数学知识结构，我校目前主要还是针对数学专业的学生开设数学建模课程。这无疑缩小了学习数学应用、培养创新能力的受众面。为此，在我校可以积极创造条件，逐步扩大开设该课程的专业范围。
2. 利用和开发网络资源不足，师生互动与交流较少。为此我们可以在校园网上建立数学建模论坛，在论坛上教师可以布置相关课题，共享数据资料。师生之间也可以互相交流数学建模的心得。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2] 尚寿亭，王雪峰，焦光虹，张池平，王勇. 数学建模和数学实验的教学研究与素质教育实践[J].数学的实践与认识，2002，32（3）：509-510.
[3] 王梅华.谈谈数学工具处理物理问题[J].大学教育，2012，（2）：52.
[4] 马力.将培养学生创造能力的理念贯穿于教学活动各环节中[J].大学教育，2012，（1）：51.
[责任编辑：陈 明]