论文部分内容阅读
【摘要】数学定理的探索与发现、推理与证明是数学定理学习的中心环节。承接本专题的创课系列研究，研究者基于具身认知理论，探讨优化数学定理的教学设计或创课设计，为改善数学定理的教学提供了一定的参考。
【关键词】数学定理；创课；具身认知
【基金项目】广西普通高中学科基地建设项目；动态数学技术的创新研究与应用项目
【作者简介】刘智美，广西师范大学数学与统计学院2017级研究生；黄怀芳，中学正高级教师；唐剑岚，本文通讯作者，博士，广西师范大学数学与统计学院教授，硕士生导师，研究方向为数学课程与教学论、数学教育技术。
数学定理是数学学习的重要内容。在很多情况下，数学定理的探索与发现、推理与证明是数学活动的中心环节，也是数学定理教学不可或缺的环节。目前，无论是传统的课堂教学还是移动的学习环境，数学定理的教学设计与实践主要是“一个定理、几点解释、强化应用”的模式，难以成为培育学生数学核心素养的重要学习内容或载体。如何优化数学定理的教学设计或创课设计亟待探究。承接本专题的创课系列研究，笔者尝试基于具身认知理论，探讨优化数学定理的教学设计或创课设计，首先概述具身认知理论的基本观点与策略，然后以高中余弦定理的推理与证明的教学片段为案例，对比优化版和原版的实录，并进行片段评析，最后深入反思原版创课中存在的问题，在对比分析中提炼数学定理创课设计的优化方案。
一、具身认知理论的基本观点及其意义
自20世纪80年代以来，随着现代信息技术融入认知科学，对具身认知（embodied cognition）的研究不仅成为当前认知科学研究的重要话题，而且成为教育技术研究的热点话题。根据具身认知的相关研究文献和数学学习的特征，用“133”（1大核心思想，3个基本观点，3点基本思考）来概括具身认知理论核心思想及其对数学创课设计的指导意义[1-2]。
“1大核心思想”是具身认知的核心思想，指身体状态深刻影响着认知状态。身体和环境是认知系统的基本要素，认知、身体和环境“三位一体”融入认知过程，认知的种类和特性有赖于身体的结构和性质。
“3个基本观点”是具身认知理论的3个基本观点：① 认知观。认知是主体通过建立身体经验与抽象概念、高级心理活动之间的内隐、双向影响机制来认知世界的方式。② 知识观。知识源于主体身体与环境互动的经验，个体知识是身体体验、学科知识与环境的互动生成。③ 环境观。环境并非只是提供信息的客体，而是与身体形成了一个互相影响的认知动力系统。
“3点基本思考”是基于具身认知理论的数学创课设计的3个基本思考：① 增加学习内容的交互性。教师除了优化学习内容本身的信息，给学生呈现有趣、实用的学习内容，还增加了学生与学习内容的交互设计，增加了学生动手动脑的机会。譬如，教师在学习内容呈现时有意留白，或提出概念理解的关键信息、一题多解的解法联系、知识结构的核心词语、实验模拟的数据输入等问题。② 增强学习方式的体验性。除了有意义的接受学习，还有自主反思性、合作探究性的学习；学习活动不仅包括用眼观察、用耳倾听、动脑思考，还设计有动手操作、动口交流、动情表达等全身心浸润性的学习活动。譬如，教师通过动手输入数据改变数学对象的属性，以进一步增强学生对数学对象本质的理解；通过语音输入或书写数学的设计，让学生体验多种学习方式的价值。③ 增强学习环境的具身性。除了加强真实学习环境的交互性和体验性，教师还设计数学实验、数学探究、数学文化等虚拟仿真学习的环境，增强学生的认知、身体和环境“三位一体”的体验感和探究感。譬如，学生带上VR虚拟硬件、AI機器人分享器、数学游戏操作杆等。
二、优化数学定理类创课设计与案例分析
“余弦定理”是人教版高中数学必修5的内容，是解三角形的重要定理。余弦定理的探索与发现、推理与证明是本节课的重点和难点，也是培育学生核心素养的良好载体。本节创课是承接用向量法推导余弦定理后的继续学习，主要探究余弦定理的多种证明方法。
1温故知新
该环节主要通过复习回顾余弦定理与勾股定理的结构相似性，激活学生原有的推导勾股定理的经验。
（1）原版教学设计教学片段实录
师：前面我们已经通过向量法推导了余弦定理，大家还记得余弦定理的内容是什么吗？
生：c2=a2+b2-2abcosC，a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB。
师：通过余弦定理的三个公式，我们发现三角形两边的夹角为直角时，对应角的余弦值为0，三个等式就变成了勾股定理的内容。
生：勾股定理是余弦定理的特例。
师：没错。（PPT出示图1）那我们能够根据勾股定理的证明方法，类比推导余弦定理的证明方法吗？咱们来尝试推导。
（2）优化版教学设计教学片段实录
师：前面我们已经通过向量法推导了余弦定理，大家还记得余弦定理的内容是什么吗？
（教师播放视频，如图2。视频中卡通人物小圆、小方声情并茂的对话，容易激活学生原有的知识与经验。）
小圆：用文字的语言来描述，就是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。
小方：用公式表达为c2=a2+b2-2abcosC，a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB。
师：如果不用向量法，我们还能用什么方法来推导余弦定理呢？（教师停顿一会儿后给予提示）大家可以比较一下余弦定理的公式结构特点，它与哪个定理最相似？
生：勾股定理，它好像是余弦定理的特例。
师：是啊。既然勾股定理是余弦定理的特例，看来推导勾股定理的方法也许管用。咱们来尝试推导。
【比较分析】原版教学设计通过问题情境导入新课，仅呈现了余弦定理的内容。优化版教学设计采用卡通人物声情并茂的对话情境，贴近学情，具有一定的具身性，更容易激活学生原有的知识与经验，激发学生的求知欲望。 2尝试推理
该环节引导学生利用推导勾股定理的知识与经验、思想与方法，尝试推导余弦定理。
（1）原版教学设计教学片段实录
师：勾股定理针对的是直角三角形的情况。我们不妨考虑将非直角三角形转换成直角三角形，尝试用勾股定理来推导。我们先来考虑锐角三角形的情况。已知锐角三角形的两边长a，b和这两边的夹角C，如何在锐角三角形中构造直角三角形？
生：可以通过作高来实现。
师：这是个好主意。作高构造了两个直角三角形。接下来又该如何作答呢？请同学们用3分钟的时间自己尝试解答。
（教师呈现解答过程，详细讲解具体内容，强调书写步骤，如图3。）
师：分情况来讨论，接下来就是钝角三角形的情况。这个时候，我们又该如何构造直角三角形呢？
生：作高。
师：现学现卖，不错嘛！我们可以通过作高构造熟悉的直角三角形。请同学们仿照作答锐角三角形的过程尝试独立完成。
（教师设置独立完成问题的解答时间，鼓励学生动脑思考，动手答题，学以致用。）
师：相信有些同学已经有了自己的答案。不过，有些同学是不是解答不出来？解答不出来的同学，你们是如何作高的呢？
（教师呈现选择错误顶点作高的情况，强调避免出现错误的方法。）
师：根据已知条件，合理构造直角三角形，这样就能避免在计算中出现麻烦。
（教师呈现正确的解答过程，详细讲解具体内容，强调书写步骤，如图4。）
（2）优化版教学设计教学片段实录
师：以第一个式子为例。若角C为直角，那么cosC的值为0，式子为c2=a2+b2，这就变成了我们熟悉的勾股定理。如果是锐角三角形，cosC的值不为0，该如何来证明呢？
（问题驱动，类比猜想。教师播放视频，如图5。）
小圆：构造直角三角形。
师：如何构造呢？
小方：可以通过作高来实现！
师：已知三角形的两边长和这两边的夹角，要如何通过作高构造直角三角形？
（教师呈现A，B两个选项，暂停视频，待学生给出自己的选项，再播放视频继续讲解。）
师：选A的同学，“恭喜”你得到了一个经典的“错误答案”。作CD垂直AB于D时，已知的角C就被分成了两个角，并且分成的这两个角的大小都不知道，角C这个已知条件就被我们白白浪费啦，还给自己出了一道难题。所以选A是错误的。
（错解评析，分享资源，动画人物模拟教师进行讲解，如图5。）
师：作高BE构造两个直角三角形，利用Rt△BCE的边角关系，得sinC=BEa，cosC=CEa，推出BE=asinC，CE=acosC，而AE=AC+CE，能推出AE=b-acosC。这个时候又该如何求边c的长呢？
（教师做留白设计，停顿3秒，给学生思考的时间。）
生：利用勾股定理。在Rt△ABE中，三边的关系为AB2=AE2+BE2。已知AE，BE的值，直接代入公式，化简结果，大功告成。
师：若是钝角三角形，又该如何证明呢？
（教师停顿3秒，给学生思考的时间。）
生：构造直角三角形，作高！
师：看来同学们已经掌握了这个技巧。这个时候你选择如何作高呢？
（如图6，教师呈现A，B，C三个选项，暂停视频，让学生给出自己的选项。若学生选出错误的选项，教师修正错解，给出详细的正确解法。师生通过具身实验，增强互动。）
【比较分析】原版教学设计注重解题思路与具体的板演过程，虽然用问题串引导学生分析问题、解决问题，但基本上是“标准答案的推理过程”，有“满堂灌”之嫌。优化版教学设计突出认知具身性学习的三个特点：第一，增加学习内容的交互性。教师在内容呈现时有意留空或设计提问。第二，增强学习方式的体验性。通过设计提问，学生动手操作或进行数学实验，增强猜想验证能力。第三，增强学习环境的具身性。教师设计具身实验，为学生提供更多的动脑思考和动手实践的机会，呈现学生的错漏、创意和启发点拨的生成资源。
3验证猜想
该环节再次引导学生利用在推导勾股定理的知识与经验、思想与方法的基础上，进一步用新的方法推导余弦定理。
【片段实录】优化版教学片段实录
师：数形结合思想很关键，同学们已经从数的角度证明了余弦定理，大家能从形的角度想到证明方法吗？
（教师播放视频，如图7。）
小圆：我知道勾股定理的无字证明，我们或许可以从它入手找到余弦定理的无字证明方法。
（数形结合，类比猜想）
师：小圆的猜想很棒，无字证明就是通过图形之间的关系来证明。那么余弦定理的无字证明是什么样子的呢？
（这个证明过程比较难，学生通常没有什么思路，教师应循循善诱，耐心引导。）
师：同学们如果没想到证明方法，不要着急，我们先来观察勾股定理的无字证明。以边长为a，b，c构成的直角三角形，边长分别为a，b的两个小正方形经过平移转化，移动到边长为c的大正方形之中，说明两个小正方形的面积之和与大正方形的面积是相等的，从而证明a2+b2=c2。
若是以边长为a，b，c构成的任意三角形，则边长分别为a，b的两个小正方形的面积，与边长为c的大正方形的面积，应满足的关系式为c2=a2+b2-2abcosC。
（教師继续播放视频，并用动态数学技术启发学生。）
小圆：根据余弦定理的公式，或许可以看成以任意三角形的长边为边的正方形的面积，等于分别以其三角形其余两边为边的正方形面积再加上一个面积为-2abcosC的图形的面积。 師：小圆的思路很好地体现了类比的思想方法，那面积为-2abcosC的图形是什么样子的呢？我们来看这个图形的动图演示，同学们尝试寻找它们之间的数量关系。
（教师用动态数学技术模拟展示学生具身实验的探究过程，停顿3秒钟。）
师：请同学们大胆分享你们的结论。
（教师播放视频，如图8。）
小圆：大正方形A的面积等于小正方形B、小正方形E、平行四边形C与平行四边形D的面积之和。
小方：平行四边形C可能与平行四边形D面积相等，都为-abcosC。
小圆：怎么确定图形C和D是平行四边形？
师：对，如何证明呢？
（学生交流分享，深度思考。）
小方：这个图形是由任意三角形ABC分别绕点A旋转90°，绕点B旋转90°，向上平移c个单位长度构成的图形，故可证明图形C和D是平行四边形。
（动手演示，验证猜想）
师：小方通过实验，确定了两个面积相等的平行四边形。只要证明其中一个平行四边形的面积是-abcosC就好了。那如何来证明呢？
（教师分享具体的证明过程。）
【比较分析】原版教学设计内容单一，引导性不足，具身性不够（如图9、图10）。
优化版教学设计具有如下特点。
第一，交互生成经验得以有效引导。在此环节，即使设计有学生与学习内容、学习环境互动或人机交互的实验，以学生自身的经验也很难想到余弦定理的无字证明。这不仅需要激活学生无字证明勾股定理的原有经验，更需要引导学生通过动手、动脑与学习内容或环境互动，获得类比猜想、有效验证和发现推导的方法。
第二，技术融合使认知、身体、环境合一。采用动态数学技术设计动感的、可操作的、数形结合的学习内容，不仅让学习内容有趣有味，而且能促进学生动手操作、动脑想象、动情描述等多种学习活动的有机融合，将学生认知、身体和环境有机合一，让学生深度掌握余弦定理的推理思想与方法。这不仅有助于培育学生直观想象、推理论证的核心素养，而且能让学生理解数学本质，感悟数学思想，改善数学信念，提升学习欲望，可谓“授人以鱼、渔与欲”。
参考文献：
[1]叶浩生.身体与学习：具身认知及其对传统教育观的挑战[J].教育研究，2015（4）：104114.
[2]WILSON M.Six views of embodied cognition[J].Psychonomic bulletin & review，2002（4）：625636.
【关键词】数学定理；创课；具身认知
【基金项目】广西普通高中学科基地建设项目；动态数学技术的创新研究与应用项目
【作者简介】刘智美，广西师范大学数学与统计学院2017级研究生；黄怀芳，中学正高级教师；唐剑岚，本文通讯作者，博士，广西师范大学数学与统计学院教授，硕士生导师，研究方向为数学课程与教学论、数学教育技术。
数学定理是数学学习的重要内容。在很多情况下，数学定理的探索与发现、推理与证明是数学活动的中心环节，也是数学定理教学不可或缺的环节。目前，无论是传统的课堂教学还是移动的学习环境，数学定理的教学设计与实践主要是“一个定理、几点解释、强化应用”的模式，难以成为培育学生数学核心素养的重要学习内容或载体。如何优化数学定理的教学设计或创课设计亟待探究。承接本专题的创课系列研究，笔者尝试基于具身认知理论，探讨优化数学定理的教学设计或创课设计，首先概述具身认知理论的基本观点与策略，然后以高中余弦定理的推理与证明的教学片段为案例，对比优化版和原版的实录，并进行片段评析，最后深入反思原版创课中存在的问题，在对比分析中提炼数学定理创课设计的优化方案。
一、具身认知理论的基本观点及其意义
自20世纪80年代以来，随着现代信息技术融入认知科学，对具身认知（embodied cognition）的研究不仅成为当前认知科学研究的重要话题，而且成为教育技术研究的热点话题。根据具身认知的相关研究文献和数学学习的特征，用“133”（1大核心思想，3个基本观点，3点基本思考）来概括具身认知理论核心思想及其对数学创课设计的指导意义[1-2]。
“1大核心思想”是具身认知的核心思想，指身体状态深刻影响着认知状态。身体和环境是认知系统的基本要素，认知、身体和环境“三位一体”融入认知过程，认知的种类和特性有赖于身体的结构和性质。
“3个基本观点”是具身认知理论的3个基本观点：① 认知观。认知是主体通过建立身体经验与抽象概念、高级心理活动之间的内隐、双向影响机制来认知世界的方式。② 知识观。知识源于主体身体与环境互动的经验，个体知识是身体体验、学科知识与环境的互动生成。③ 环境观。环境并非只是提供信息的客体，而是与身体形成了一个互相影响的认知动力系统。
“3点基本思考”是基于具身认知理论的数学创课设计的3个基本思考：① 增加学习内容的交互性。教师除了优化学习内容本身的信息，给学生呈现有趣、实用的学习内容，还增加了学生与学习内容的交互设计，增加了学生动手动脑的机会。譬如，教师在学习内容呈现时有意留白，或提出概念理解的关键信息、一题多解的解法联系、知识结构的核心词语、实验模拟的数据输入等问题。② 增强学习方式的体验性。除了有意义的接受学习，还有自主反思性、合作探究性的学习；学习活动不仅包括用眼观察、用耳倾听、动脑思考，还设计有动手操作、动口交流、动情表达等全身心浸润性的学习活动。譬如，教师通过动手输入数据改变数学对象的属性，以进一步增强学生对数学对象本质的理解；通过语音输入或书写数学的设计，让学生体验多种学习方式的价值。③ 增强学习环境的具身性。除了加强真实学习环境的交互性和体验性，教师还设计数学实验、数学探究、数学文化等虚拟仿真学习的环境，增强学生的认知、身体和环境“三位一体”的体验感和探究感。譬如，学生带上VR虚拟硬件、AI機器人分享器、数学游戏操作杆等。
二、优化数学定理类创课设计与案例分析
“余弦定理”是人教版高中数学必修5的内容，是解三角形的重要定理。余弦定理的探索与发现、推理与证明是本节课的重点和难点，也是培育学生核心素养的良好载体。本节创课是承接用向量法推导余弦定理后的继续学习，主要探究余弦定理的多种证明方法。
1温故知新
该环节主要通过复习回顾余弦定理与勾股定理的结构相似性，激活学生原有的推导勾股定理的经验。
（1）原版教学设计教学片段实录
师：前面我们已经通过向量法推导了余弦定理，大家还记得余弦定理的内容是什么吗？
生：c2=a2+b2-2abcosC，a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB。
师：通过余弦定理的三个公式，我们发现三角形两边的夹角为直角时，对应角的余弦值为0，三个等式就变成了勾股定理的内容。
生：勾股定理是余弦定理的特例。
师：没错。（PPT出示图1）那我们能够根据勾股定理的证明方法，类比推导余弦定理的证明方法吗？咱们来尝试推导。
（2）优化版教学设计教学片段实录
师：前面我们已经通过向量法推导了余弦定理，大家还记得余弦定理的内容是什么吗？
（教师播放视频，如图2。视频中卡通人物小圆、小方声情并茂的对话，容易激活学生原有的知识与经验。）
小圆：用文字的语言来描述，就是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。
小方：用公式表达为c2=a2+b2-2abcosC，a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB。
师：如果不用向量法，我们还能用什么方法来推导余弦定理呢？（教师停顿一会儿后给予提示）大家可以比较一下余弦定理的公式结构特点，它与哪个定理最相似？
生：勾股定理，它好像是余弦定理的特例。
师：是啊。既然勾股定理是余弦定理的特例，看来推导勾股定理的方法也许管用。咱们来尝试推导。
【比较分析】原版教学设计通过问题情境导入新课，仅呈现了余弦定理的内容。优化版教学设计采用卡通人物声情并茂的对话情境，贴近学情，具有一定的具身性，更容易激活学生原有的知识与经验，激发学生的求知欲望。 2尝试推理
该环节引导学生利用推导勾股定理的知识与经验、思想与方法，尝试推导余弦定理。
（1）原版教学设计教学片段实录
师：勾股定理针对的是直角三角形的情况。我们不妨考虑将非直角三角形转换成直角三角形，尝试用勾股定理来推导。我们先来考虑锐角三角形的情况。已知锐角三角形的两边长a，b和这两边的夹角C，如何在锐角三角形中构造直角三角形？
生：可以通过作高来实现。
师：这是个好主意。作高构造了两个直角三角形。接下来又该如何作答呢？请同学们用3分钟的时间自己尝试解答。
（教师呈现解答过程，详细讲解具体内容，强调书写步骤，如图3。）
师：分情况来讨论，接下来就是钝角三角形的情况。这个时候，我们又该如何构造直角三角形呢？
生：作高。
师：现学现卖，不错嘛！我们可以通过作高构造熟悉的直角三角形。请同学们仿照作答锐角三角形的过程尝试独立完成。
（教师设置独立完成问题的解答时间，鼓励学生动脑思考，动手答题，学以致用。）
师：相信有些同学已经有了自己的答案。不过，有些同学是不是解答不出来？解答不出来的同学，你们是如何作高的呢？
（教师呈现选择错误顶点作高的情况，强调避免出现错误的方法。）
师：根据已知条件，合理构造直角三角形，这样就能避免在计算中出现麻烦。
（教师呈现正确的解答过程，详细讲解具体内容，强调书写步骤，如图4。）
（2）优化版教学设计教学片段实录
师：以第一个式子为例。若角C为直角，那么cosC的值为0，式子为c2=a2+b2，这就变成了我们熟悉的勾股定理。如果是锐角三角形，cosC的值不为0，该如何来证明呢？
（问题驱动，类比猜想。教师播放视频，如图5。）
小圆：构造直角三角形。
师：如何构造呢？
小方：可以通过作高来实现！
师：已知三角形的两边长和这两边的夹角，要如何通过作高构造直角三角形？
（教师呈现A，B两个选项，暂停视频，待学生给出自己的选项，再播放视频继续讲解。）
师：选A的同学，“恭喜”你得到了一个经典的“错误答案”。作CD垂直AB于D时，已知的角C就被分成了两个角，并且分成的这两个角的大小都不知道，角C这个已知条件就被我们白白浪费啦，还给自己出了一道难题。所以选A是错误的。
（错解评析，分享资源，动画人物模拟教师进行讲解，如图5。）
师：作高BE构造两个直角三角形，利用Rt△BCE的边角关系，得sinC=BEa，cosC=CEa，推出BE=asinC，CE=acosC，而AE=AC+CE，能推出AE=b-acosC。这个时候又该如何求边c的长呢？
（教师做留白设计，停顿3秒，给学生思考的时间。）
生：利用勾股定理。在Rt△ABE中，三边的关系为AB2=AE2+BE2。已知AE，BE的值，直接代入公式，化简结果，大功告成。
师：若是钝角三角形，又该如何证明呢？
（教师停顿3秒，给学生思考的时间。）
生：构造直角三角形，作高！
师：看来同学们已经掌握了这个技巧。这个时候你选择如何作高呢？
（如图6，教师呈现A，B，C三个选项，暂停视频，让学生给出自己的选项。若学生选出错误的选项，教师修正错解，给出详细的正确解法。师生通过具身实验，增强互动。）
【比较分析】原版教学设计注重解题思路与具体的板演过程，虽然用问题串引导学生分析问题、解决问题，但基本上是“标准答案的推理过程”，有“满堂灌”之嫌。优化版教学设计突出认知具身性学习的三个特点：第一，增加学习内容的交互性。教师在内容呈现时有意留空或设计提问。第二，增强学习方式的体验性。通过设计提问，学生动手操作或进行数学实验，增强猜想验证能力。第三，增强学习环境的具身性。教师设计具身实验，为学生提供更多的动脑思考和动手实践的机会，呈现学生的错漏、创意和启发点拨的生成资源。
3验证猜想
该环节再次引导学生利用在推导勾股定理的知识与经验、思想与方法的基础上，进一步用新的方法推导余弦定理。
【片段实录】优化版教学片段实录
师：数形结合思想很关键，同学们已经从数的角度证明了余弦定理，大家能从形的角度想到证明方法吗？
（教师播放视频，如图7。）
小圆：我知道勾股定理的无字证明，我们或许可以从它入手找到余弦定理的无字证明方法。
（数形结合，类比猜想）
师：小圆的猜想很棒，无字证明就是通过图形之间的关系来证明。那么余弦定理的无字证明是什么样子的呢？
（这个证明过程比较难，学生通常没有什么思路，教师应循循善诱，耐心引导。）
师：同学们如果没想到证明方法，不要着急，我们先来观察勾股定理的无字证明。以边长为a，b，c构成的直角三角形，边长分别为a，b的两个小正方形经过平移转化，移动到边长为c的大正方形之中，说明两个小正方形的面积之和与大正方形的面积是相等的，从而证明a2+b2=c2。
若是以边长为a，b，c构成的任意三角形，则边长分别为a，b的两个小正方形的面积，与边长为c的大正方形的面积，应满足的关系式为c2=a2+b2-2abcosC。
（教師继续播放视频，并用动态数学技术启发学生。）
小圆：根据余弦定理的公式，或许可以看成以任意三角形的长边为边的正方形的面积，等于分别以其三角形其余两边为边的正方形面积再加上一个面积为-2abcosC的图形的面积。 師：小圆的思路很好地体现了类比的思想方法，那面积为-2abcosC的图形是什么样子的呢？我们来看这个图形的动图演示，同学们尝试寻找它们之间的数量关系。
（教师用动态数学技术模拟展示学生具身实验的探究过程，停顿3秒钟。）
师：请同学们大胆分享你们的结论。
（教师播放视频，如图8。）
小圆：大正方形A的面积等于小正方形B、小正方形E、平行四边形C与平行四边形D的面积之和。
小方：平行四边形C可能与平行四边形D面积相等，都为-abcosC。
小圆：怎么确定图形C和D是平行四边形？
师：对，如何证明呢？
（学生交流分享，深度思考。）
小方：这个图形是由任意三角形ABC分别绕点A旋转90°，绕点B旋转90°，向上平移c个单位长度构成的图形，故可证明图形C和D是平行四边形。
（动手演示，验证猜想）
师：小方通过实验，确定了两个面积相等的平行四边形。只要证明其中一个平行四边形的面积是-abcosC就好了。那如何来证明呢？
（教师分享具体的证明过程。）
【比较分析】原版教学设计内容单一，引导性不足，具身性不够（如图9、图10）。
优化版教学设计具有如下特点。
第一，交互生成经验得以有效引导。在此环节，即使设计有学生与学习内容、学习环境互动或人机交互的实验，以学生自身的经验也很难想到余弦定理的无字证明。这不仅需要激活学生无字证明勾股定理的原有经验，更需要引导学生通过动手、动脑与学习内容或环境互动，获得类比猜想、有效验证和发现推导的方法。
第二，技术融合使认知、身体、环境合一。采用动态数学技术设计动感的、可操作的、数形结合的学习内容，不仅让学习内容有趣有味，而且能促进学生动手操作、动脑想象、动情描述等多种学习活动的有机融合，将学生认知、身体和环境有机合一，让学生深度掌握余弦定理的推理思想与方法。这不仅有助于培育学生直观想象、推理论证的核心素养，而且能让学生理解数学本质，感悟数学思想，改善数学信念，提升学习欲望，可谓“授人以鱼、渔与欲”。
参考文献：
[1]叶浩生.身体与学习：具身认知及其对传统教育观的挑战[J].教育研究，2015（4）：104114.
[2]WILSON M.Six views of embodied cognition[J].Psychonomic bulletin & review，2002（4）：625636.