论文部分内容阅读
数学思想方法与数学知识的关系
中学数学中的基本知识主要是中学数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出的数学思想和方法。“数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识。”某个数学知识不可能单独存在，它必有它的来龙去脉，知识点之间是有关联的。知识点也只有在与其他知识的关联过程中，才能被理解、被应用，才能发挥它的作用。知识点的关联在课本中并未明显叙述出来，而隐含在知识当中，需要教师去研究和挖掘，用数学思想方法去沟通知识间的内在联系，使得对本质及规律有深刻认识。
数学思想方法比数学知识更重要，这是因为学生离开学校走向社会后，数学的具体知识逐渐淡忘了，但扎根于学生头脑中的数学思维方法、研究方法、推理方法等却能随时随地发挥作用，使他终身受益。波利亚认为：数学教育的意义就是要培养学生的思维习惯，一种数学文化修养。
数学思想方法在认知结构中的作用
学习的认知结构理论告诉我们，数学学习过程，是一个数学认知过程，其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的， 在同化和顺应进行中，数学思想和方法在数学认知结构中发挥着极为重要的作用。
（1）对同化过程的分析
所谓数学学习中的同化，就是主体把新的数学学习内容纳入到自身原有的认知结构中去，这种纳入不是机械的囫囵吞枣式地摄入，而是把新的数学材料进行加工改造，使之与原数学认知结构相适应。那么，怎样加工新的数学材料才能使得它与原数学认知结构相适应呢？任意的盲目的加工能达到这个目的吗？显然不能！这种加工要具有自觉的方向性和目的性，肯定是在某种因素的指导下进行的。在数学认知结构中，存在数学基础知识、数学思想方法、心理成分三种主要因素，数学基础知识显然不具备思维特点和能动性，不能指导“加工”过程的进行，就像材料本身不能自己变成产品一个道理。而心理成分只给主体提供愿望和动机，提供主体的认知特点仅凭它也不能实现“加工”过程，就像人们只有生产愿望和生产工具而没有生产产品的设计思想和技术照样生产不出产品一样。数学思想和方法担当起了指导“加工“的重任，它不仅提供思维策略（设计思想）而且还提供实施目标的具体手段（化归技能）。实际上数学中的转化，就是实施新旧知识的同化。总之，数学思想和方法对数学活动的同化过程起着重要作用。
（2）对顺应的分析
数学学习中的顺应是指主体原有的数学认知结构不能有效地同化新的学习材料时，主体调整或改造原有的数学认知结构去适应新的学习材料。这种对原认知结构的改造也不是任意盲目地进行的。与同化过程的分析一样，也必须是在数学思想方法的指导下进行的，离开了数学思想方法的顺应是不可理解的，也是不可能实现的。
通过上面的分析看到，数学思想方法对同化和顺应的进行，进而对认知结构的发展起重要作用。实际上，无论同化还是顺应，都是在原数学认知结构和新的数学内容之间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转换或化归，而转换或化归是数学思想方法体系中的“主梁”和精髓。数学思想和方法产生于数学认知活动，又反回来对数学认知活动起重要作用，因此可以说数学思想方法是数学认知结构中最积极最活跃的因素，是认知的实现因素。
数学思想方法的教学案例——因式分解习题课中数学思想方法的渗透与提炼
（1）观察、实验的思想方法
在数学中，观察、实验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现，启迪问题解决的思路。用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决。
例如，无论是简单的二次三项式a2-7a-18的因式分解，还是复杂的二元二次多项式3X2 5xy-2y2 x 9y-4的分解因式，都需要进行细心地观察、多次的试验，将二次项系数（或二次项）与常数项各分解为二数（或两个多项式）的合理乘积，使得交叉相乘后相加的和必须是一次项系数（或一次项），来达到分解因式的目的。因此，要把观察、试验的思想方法贯穿于整块内容教学的全过程，经过反复运用观察、试验的方法，使学生从感性认识上升到理性认识。
（2）变量思想
变量与常量既是对立的，又是统一的。辨证地看待字母——它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便。对简单的二次三项式用十字相乘法进行分解因式后，引导学生将这些等式里的字母看作变量，进行变量代换，能为解一些复杂的因式分解问题提示一种可行的思路。例如，用十字相乘法对二次三项式a2-7a-18的分解因式后，引导学生将等式a2－7a－18=（a－9）（a＋2）中的字母a进行变量交换，即
将a变为x2，得x4－7x2－18=（x2－9）（x2＋2）；将a变为x2－3x，得
（x2－3x）2－7（x2－3x）－18
=（x2－3x－9）（x2－3x＋2）
通过变元，把字母变成多项式，反过来，如果将某些多项式看作一个字母，利用换元法进行因式分解，那么学生的思维就自然而流畅了。
（3）类比思想
数学问题的相似性在数学中普遍存在。根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。
例3分解因式：（x 1）（x 3）（x 5）（x 7） 15。
（x 1）（x 3）（x 5）（x 7）
（x2 3x 2）（x2－3x－4） 15
－72
本题教学若直接给出：原式=（x2 8x 7）（x2 8x 15） 15，那就失去了一次培养学生发现能力的机会。教学中，引导学生将例2与例3的结构进行类比。
即如下框图：
发现：（1）后面方框内都是常数；
（2）前面方框内都是x的4次式。
于是猜想：可将乘积（x 1）（x 3）（x 5）（x 7）转化为二个二次三项式（它们的一次项和二次项相同）的乘积。有了猜想的结论，明确了解题的方向，再引导学生观察系数特点，就会较快地发现：（x 1）（x 3）（x 5）（x 7） 15=（x2 8x 7）（x2 8x 15） 15，从而转化为已解过的问题。
四、结束语
学生数学思想方法水平提高是学生创新能力发展的主要内容。因此，在数学教学中，必须加强数学思想方法的教学，提高学生的思维调控水平，从而培养他们的创新意识和创新能力。
中学数学中的基本知识主要是中学数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出的数学思想和方法。“数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识。”某个数学知识不可能单独存在，它必有它的来龙去脉，知识点之间是有关联的。知识点也只有在与其他知识的关联过程中，才能被理解、被应用，才能发挥它的作用。知识点的关联在课本中并未明显叙述出来，而隐含在知识当中，需要教师去研究和挖掘，用数学思想方法去沟通知识间的内在联系，使得对本质及规律有深刻认识。
数学思想方法比数学知识更重要，这是因为学生离开学校走向社会后，数学的具体知识逐渐淡忘了，但扎根于学生头脑中的数学思维方法、研究方法、推理方法等却能随时随地发挥作用，使他终身受益。波利亚认为：数学教育的意义就是要培养学生的思维习惯，一种数学文化修养。
数学思想方法在认知结构中的作用
学习的认知结构理论告诉我们，数学学习过程，是一个数学认知过程，其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的， 在同化和顺应进行中，数学思想和方法在数学认知结构中发挥着极为重要的作用。
（1）对同化过程的分析
所谓数学学习中的同化，就是主体把新的数学学习内容纳入到自身原有的认知结构中去，这种纳入不是机械的囫囵吞枣式地摄入，而是把新的数学材料进行加工改造，使之与原数学认知结构相适应。那么，怎样加工新的数学材料才能使得它与原数学认知结构相适应呢？任意的盲目的加工能达到这个目的吗？显然不能！这种加工要具有自觉的方向性和目的性，肯定是在某种因素的指导下进行的。在数学认知结构中，存在数学基础知识、数学思想方法、心理成分三种主要因素，数学基础知识显然不具备思维特点和能动性，不能指导“加工”过程的进行，就像材料本身不能自己变成产品一个道理。而心理成分只给主体提供愿望和动机，提供主体的认知特点仅凭它也不能实现“加工”过程，就像人们只有生产愿望和生产工具而没有生产产品的设计思想和技术照样生产不出产品一样。数学思想和方法担当起了指导“加工“的重任，它不仅提供思维策略（设计思想）而且还提供实施目标的具体手段（化归技能）。实际上数学中的转化，就是实施新旧知识的同化。总之，数学思想和方法对数学活动的同化过程起着重要作用。
（2）对顺应的分析
数学学习中的顺应是指主体原有的数学认知结构不能有效地同化新的学习材料时，主体调整或改造原有的数学认知结构去适应新的学习材料。这种对原认知结构的改造也不是任意盲目地进行的。与同化过程的分析一样，也必须是在数学思想方法的指导下进行的，离开了数学思想方法的顺应是不可理解的，也是不可能实现的。
通过上面的分析看到，数学思想方法对同化和顺应的进行，进而对认知结构的发展起重要作用。实际上，无论同化还是顺应，都是在原数学认知结构和新的数学内容之间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转换或化归，而转换或化归是数学思想方法体系中的“主梁”和精髓。数学思想和方法产生于数学认知活动，又反回来对数学认知活动起重要作用，因此可以说数学思想方法是数学认知结构中最积极最活跃的因素，是认知的实现因素。
数学思想方法的教学案例——因式分解习题课中数学思想方法的渗透与提炼
（1）观察、实验的思想方法
在数学中，观察、实验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现，启迪问题解决的思路。用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决。
例如，无论是简单的二次三项式a2-7a-18的因式分解，还是复杂的二元二次多项式3X2 5xy-2y2 x 9y-4的分解因式，都需要进行细心地观察、多次的试验，将二次项系数（或二次项）与常数项各分解为二数（或两个多项式）的合理乘积，使得交叉相乘后相加的和必须是一次项系数（或一次项），来达到分解因式的目的。因此，要把观察、试验的思想方法贯穿于整块内容教学的全过程，经过反复运用观察、试验的方法，使学生从感性认识上升到理性认识。
（2）变量思想
变量与常量既是对立的，又是统一的。辨证地看待字母——它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便。对简单的二次三项式用十字相乘法进行分解因式后，引导学生将这些等式里的字母看作变量，进行变量代换，能为解一些复杂的因式分解问题提示一种可行的思路。例如，用十字相乘法对二次三项式a2-7a-18的分解因式后，引导学生将等式a2－7a－18=（a－9）（a＋2）中的字母a进行变量交换，即
将a变为x2，得x4－7x2－18=（x2－9）（x2＋2）；将a变为x2－3x，得
（x2－3x）2－7（x2－3x）－18
=（x2－3x－9）（x2－3x＋2）
通过变元，把字母变成多项式，反过来，如果将某些多项式看作一个字母，利用换元法进行因式分解，那么学生的思维就自然而流畅了。
（3）类比思想
数学问题的相似性在数学中普遍存在。根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。
例3分解因式：（x 1）（x 3）（x 5）（x 7） 15。
（x 1）（x 3）（x 5）（x 7）
（x2 3x 2）（x2－3x－4） 15
－72
本题教学若直接给出：原式=（x2 8x 7）（x2 8x 15） 15，那就失去了一次培养学生发现能力的机会。教学中，引导学生将例2与例3的结构进行类比。
即如下框图：
发现：（1）后面方框内都是常数；
（2）前面方框内都是x的4次式。
于是猜想：可将乘积（x 1）（x 3）（x 5）（x 7）转化为二个二次三项式（它们的一次项和二次项相同）的乘积。有了猜想的结论，明确了解题的方向，再引导学生观察系数特点，就会较快地发现：（x 1）（x 3）（x 5）（x 7） 15=（x2 8x 7）（x2 8x 15） 15，从而转化为已解过的问题。
四、结束语
学生数学思想方法水平提高是学生创新能力发展的主要内容。因此，在数学教学中，必须加强数学思想方法的教学，提高学生的思维调控水平，从而培养他们的创新意识和创新能力。