论文部分内容阅读
在解几何题时，除常见的连接、延长、作平行线、作垂线等辅助线作法之外，还有一种作辅助线的思路，就是通过巧妙的几何变换，构造出全等或特殊图形。这种类型的辅助线我们通常称为构造性辅助线。下面介绍几种作构造性辅助线的方法，让同学们在解几何题时思路更开阔。
一、翻折构造
例1 在等腰直角[△ABC]的斜边AB上，取两点M和N，使∠MCN=45°，记AM=m，[MN=x]，[BN=n].则以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状是（ ）.
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.随x，m，n变化而变化
【分析】首先，要明确判断以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段集中到同一个三角形中；其次，用好∠MCN=45°这一已知条件，并及时联想到∠ACM ∠BCN=45°；最后，为将长为x，m，n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折，使点A与点P重合（如图1），这样可将长为m和x的两条线段集中在一个角中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x，m，n的三条线段就集中到了△PMN中.
解：∵∠ACM ∠BCN=45°，∠PCM ∠PCN=45°，∠ACM=∠PCM，
∴∠BCN=∠PCN，可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n，
∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°.
∴∠MPN=∠MPC ∠NPC=90°.
∴以x，m，n为边长的三角形的形状是直角三角形，故答案为B.
【小结】当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造.
二、旋转构造
例2 已知O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB，∠BOC和∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA，OB，OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数分别是多少？
【分析】首先，解决此题的关键依然是要将OA，OB和OC三条线段集中到同一个三角形中；其次，考虑到等边三角形的特点，若将△AOB绕A点逆时针旋转60°（如图2），此时，AB与AC重合，点O与点M重合，可得到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA，OB和OC就集中到了△COM中.故求OA，OB，OC三边所对的角即为求△COM的三个内角.
解：由∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x.
则有6x 5x 4x=360°，x=24°，∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°，
∵∠AOM=∠AMO=60°，
∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=96°-60°=36°；
∠OMC=∠AMC-∠AMO=144°-60°=84°；
∠OCM=180°-（∠MOC ∠OMC）=180°-36°-84°=60°.
∴以OA，OB，OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°，36°，84°.
【小结】旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合、旋转角度能构成特殊角等两个条件.
三、轴对称构造
例3 ∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边OA，OB上有点Q，R（均不与点O重合），则△PQR的周长的最小值是多少？
【分析】首先，要确定△PQR的周长的最小值，关键是确定Q，R的位置，而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值；其次，已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形（如图3）.
解：分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接MN，与OA，OB交于点Q′，R′，由轴对称性质可知PQ′=MQ′，同理PR′=NR′.
因为线段MN的长度等于MQ′ Q′R′ NR′，即MN的长度正好等于△PQ′R′的周长.
由两点之间线段最短这一定理，易得出△PQ′R′是点P与∠AOB两边上的Q，R两点构成的三角形中周长最小的三角形.所以问题中的Q，R与Q′，R′重合时△PQR的周长值最小，而其值正等于线段MN的长度.
连接OM，ON，由轴对称性质可知，OM=OP=ON=10，且∠MON=90°，
∴ MN=[102]，
∴△PQR的周长的最小值是[102].
【小结】一般来说，求几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称点，将折线段转化为直线段.
四、特殊构造
例4 在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求证：BD2=AB2 BC2.
【分析】首先，由所求证的关系为平方形式，联想到勾股定理，进而思考如何构造直角三角形求证.如图4，已知∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角形BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2 BC2转化为直角三角形ABE中的AB2 BE2.这样只需证明AE=BD即可.其次，由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形.易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD.
解：略.
【小结】当题设的条件中出现特殊角时，利用其再构造特殊图形如等边三角形、直角三角形、正方形等，这也是几何证明中常用的辅助线作法.
一、翻折构造
例1 在等腰直角[△ABC]的斜边AB上，取两点M和N，使∠MCN=45°，记AM=m，[MN=x]，[BN=n].则以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状是（ ）.
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.随x，m，n变化而变化
【分析】首先，要明确判断以[x]，[m]，[n]为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段集中到同一个三角形中；其次，用好∠MCN=45°这一已知条件，并及时联想到∠ACM ∠BCN=45°；最后，为将长为x，m，n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折，使点A与点P重合（如图1），这样可将长为m和x的两条线段集中在一个角中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x，m，n的三条线段就集中到了△PMN中.
解：∵∠ACM ∠BCN=45°，∠PCM ∠PCN=45°，∠ACM=∠PCM，
∴∠BCN=∠PCN，可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n，
∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°.
∴∠MPN=∠MPC ∠NPC=90°.
∴以x，m，n为边长的三角形的形状是直角三角形，故答案为B.
【小结】当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造.
二、旋转构造
例2 已知O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB，∠BOC和∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA，OB，OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数分别是多少？
【分析】首先，解决此题的关键依然是要将OA，OB和OC三条线段集中到同一个三角形中；其次，考虑到等边三角形的特点，若将△AOB绕A点逆时针旋转60°（如图2），此时，AB与AC重合，点O与点M重合，可得到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA，OB和OC就集中到了△COM中.故求OA，OB，OC三边所对的角即为求△COM的三个内角.
解：由∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x.
则有6x 5x 4x=360°，x=24°，∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°，
∵∠AOM=∠AMO=60°，
∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=96°-60°=36°；
∠OMC=∠AMC-∠AMO=144°-60°=84°；
∠OCM=180°-（∠MOC ∠OMC）=180°-36°-84°=60°.
∴以OA，OB，OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°，36°，84°.
【小结】旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合、旋转角度能构成特殊角等两个条件.
三、轴对称构造
例3 ∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边OA，OB上有点Q，R（均不与点O重合），则△PQR的周长的最小值是多少？
【分析】首先，要确定△PQR的周长的最小值，关键是确定Q，R的位置，而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值；其次，已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形（如图3）.
解：分别作P关于OA，OB的对称点M，N，连接MN，与OA，OB交于点Q′，R′，由轴对称性质可知PQ′=MQ′，同理PR′=NR′.
因为线段MN的长度等于MQ′ Q′R′ NR′，即MN的长度正好等于△PQ′R′的周长.
由两点之间线段最短这一定理，易得出△PQ′R′是点P与∠AOB两边上的Q，R两点构成的三角形中周长最小的三角形.所以问题中的Q，R与Q′，R′重合时△PQR的周长值最小，而其值正等于线段MN的长度.
连接OM，ON，由轴对称性质可知，OM=OP=ON=10，且∠MON=90°，
∴ MN=[102]，
∴△PQR的周长的最小值是[102].
【小结】一般来说，求几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称点，将折线段转化为直线段.
四、特殊构造
例4 在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求证：BD2=AB2 BC2.
【分析】首先，由所求证的关系为平方形式，联想到勾股定理，进而思考如何构造直角三角形求证.如图4，已知∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角形BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2 BC2转化为直角三角形ABE中的AB2 BE2.这样只需证明AE=BD即可.其次，由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形.易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD.
解：略.
【小结】当题设的条件中出现特殊角时，利用其再构造特殊图形如等边三角形、直角三角形、正方形等，这也是几何证明中常用的辅助线作法.