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一、“难忘课堂”课例描述
（一）创设情境，导入新课
[多媒体演示：北京奥运会主体育馆美丽的流线造型、夜间灯光闪烁]
师：现实世界中，到处都有美妙的曲线。气势恢宏的奥运主会场：完美的流线造型，华丽的线型灯光给世人留下难忘的记忆。大家能否举一些我们学过的曲线的例子？
生：二次函数、反比例函数.
师：还有最简单的图像——直线，同学们回忆一下：我们如何研究这些函数的图像及其性质的？
生：课堂一片静寂，全班同学都沉浸在回顾、思索中。此时，教师需要适时引导。
师：我们是将这些曲线放置在直角坐标系中，借助数形结合的思想方法来研究的。（学生有所顿悟）老师进而简单介绍解析几何有关内容和研究方法：用纯几何的方法研究抛物线、双曲线一类曲线是一件非常困难的事情，对于其他复杂的曲线研究更是如此。因此借助于坐标系，用坐标表示点，运用代数计算的方法研究曲线，无疑是一个崭新的思路，这种研究曲线的方法——称为解析法，用这种方法研究的几何又称解析几何。随着计算机的发展，复杂的运算已不再可怕，因而解析法有了更广阔的应用空间。从今天开始，我们就来学习用解析法研究曲线。让我们先从最简单的直线开始。
（二）观察感悟，启发引导
师：同学们小时候都玩过跷跷板，它为什么会上下运动呢？（动画演示跷跷板）
生：过一个点有无数条直线。
师：如何才能确定一条直线呢？
生：经过两点可以确定一条直线。
此时教师画出过一点的两条相交直线，它们的倾斜程度不同。接着问道：还可以由什么条件确定一条直线。受到启发学生很快发现：一点沿着确定的方向就可以画出一条直线。
师：我们曾经学过的一个刻画倾斜程度的量是什么？引导学生回忆，初中所学知识“坡度”的概念，看看我们熟悉的楼梯台阶、山坡等，回顾：坡度=[高度宽度]。
[多媒体演示两种不同倾斜程度楼梯，帮助学生回忆坡度的概念，以便迁移到新知中来]
师：如果任意给出两条直线，你能判断出他们的倾斜程度吗？如何准确地刻画直线的倾斜程度？类比坡度的求法，自然引出直线的斜率的概念：
（三）示例应用，扎实训练
例1，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率。
生：设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
k1=[-1-2-2-3]=[35]，k2=[-2-24-3]=-4，k3=[2-2-3-3]=0
师：从例1中看到当斜率分别为正数、负数和零时，直线的位置有何特点？小组交流讨论.
变式练习：（1）仿照例1自编两题，使斜率分别为正数和负数。
（2）若我们把Q1（-2，-1）改为Q1（a，-1），直线l1的斜率又会是多少呢？
第一个问题，生1：斜率为正的点Q1（1，1），Q2（3，3）；斜率为负的点Q1（1，1），Q3（3，-3）；
生2：斜率为正的点Q1（0，0），Q2（2，2）；斜率为负的点Q1（0，0），Q3（2，-2）；
同学们很快发现第二同学选取原点（0，0）时，答案简单、快捷.
第二个问题，生3：直线PQ1的斜率=[-1-2a-3]，有学生表现出不同见解，该生立刻补充道：此时a≠3，当a=3时，直线PQ1的斜率不存在。同学们会心地笑了。
例2，经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）[34]；（2）-[45]。
[先让学生独立思考，明确两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置即可画出直线]
例3，求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线。
生：要证A、B、C三点共线只要证它们的斜率相等。即kAB=[2-50-1]=3=kAC=[8-52-1]=3。
师反问道：由三点所确定的斜率相等，就一定证明它们共线吗？
生：还必须过同一点A，才行。
变式：已知三点A（1，-1），B（3，3），C（5，a）在一条直线上，求实数a的值。
生：由所学斜率公式知：kAB=[3 13-1]=kAC=[a 15-1]=2，可得a=7。
二、“难忘课堂”的操作要义
“难忘课堂”是优质、高效的课堂。叶澜教授认为高效课堂应该做到“四实”，即平实、真实、丰实、扎实。所谓平实，是指在教学中要讲求实在。实实在在地设计教学，实实在在地落实教学目标，实实在在地完成教学任务，而不是为了炫耀教师水平而追求奇、特、巧等。难忘课堂必须是、也应该是按照“四实”的要求组织实施的。本节课的课堂教学对学生而言，之所以达到难忘效果是因为学生不仅学习了直线的斜率的新知识，而且亲身经历了学习过程，让自己在自编问题、探索求解、同学合作和师生和谐互动中获得更多的帮助与成功体验。对教师来说，其难忘原因是通过课堂教学，在成就学生发展的同时，充分感受教师的价值和教育的力量，也促进了自己专业能力的不断提升，还收获了课堂当中生成的许多精彩的瞬间，让教师的教学过程充满激情和想象。
（一）制定正确而恰当的教学设计——“难忘课堂”的前提
我们追求课堂教学的难忘效果，首先是建立我们在教学价值取向上的正确性，即教学目标等的设计是否有效。以前的教学设计过于关注学科知识，而新课改要求我们从知识形态走向对生命意义的关注。所以，我们的思路不要局限于通过学习学生应掌握哪些知识，更要考虑通过什么样的活动方式，让学生自主投入到学习中来，经历知识生成过程，体验探究的乐趣，体会学习的价值。基于此，在制定课堂教学设计时，应由“关注知识”转向“关注学生”。所以，我们应从学生出发制定科学合理的教学设计。本课中，从刻画楼梯的坡度类比迁移到直线的斜率，从三个例题的选取到各自的变式拓展设计都很好地体现这种设计理念。 （二）创设生动而和谐的学习情境——“难忘课堂”的关键
1.创设贴近学生生活的情境
数学教育专家张奠宙认为：贴近学生生活的实例才是好的课堂教学素材。“难忘课堂”其实就是生活中的课堂。学生熟悉的情境使学生感到知识来源于生活，贴近生活，从而体会学习的作用，激发学习的动力。如本节课的引入，北京奥运会主体育馆美丽的流线造型、闪烁的线型灯光一下子激起学生的好奇，学生们被美丽的动态画面吸引，惊奇地叫了起来，学习热情高涨起来。
2.创设和谐师生关系的情境
孔子云：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。现代教育心理学研究指出，学生的学习过程应该成为学生一种愉悦的情绪生活和积极的情感体验。学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。在课堂中教师更多地扮演组织者、引导者、合作者的角色，当学生遇到困难时——鼓励、启迪；当学生发生争议时——倾听、提醒；当学生探究出现错误时——纠正、调整；当学生获得成功时——赞赏、激励。为学生创设一个和谐、民主的师生关系情境，这样的课堂才是高效的、难忘的课堂。
3.创设能产生认和冲突的情境
情境的创设是为了更好地学习知识，在对情境的认识中，使学生全面分析情境内容，充分发表自己的想法、看法，让学生潜意识中的理解都充分展现，在学生、老师的质疑、探索中主动建构自己的知识。如例1的变式（2）中：若我们把Q1（-2，-1）改为Q1（a，-1）直线l1的斜率又会是多少呢？学生开始直接套用斜率公式，发现问题（分母可能为零）时，才领悟到此时需要分类讨论，才会联想到数学中一般字母含参问题的处理方法。
4.创设具有挑战性的情境
苏联著名教育家赞科夫提出的五大教学原则之一：以高难度进行教学的原则。他说：“儿童的智力也像肌肉一样，如果不给以适当负担，加以锻炼，它就会萎缩、退化。”他以心理学家维果茨基的“最近发展区”理论为依据，强调教学要充分利用儿童智力上的潜在发展空间，适当超前进行。提出实行有难度的教学，目的在于以一定难度的内容，充分调动和发挥学生的精神力量，促其更快发展。
在课堂教学中，教师的问题情境应当具有挑战性和一定难度，如魔术师的地毯，这一问题情境一下子吸引了学生的注意力，许多同学苦思不得其解，当学生不能独立解决，需要同学互助或老师的点拨、引导才能解决时，问题情境达到了让学生挑战自我，锻炼思维的目的，这样的课堂学生才会持久难忘。
（三）开展丰富而开放的思维训练——“难忘课堂”的主线
“难忘课堂”需要有效的训练展示学生灵动的思维，放飞学生想象的翅膀，激发学生思维的潜能。根据学生的学段特点以及发展需要，开展丰富而开放的思维活动，能让学生在课堂中充分张扬个性，展示自我，从而真正实现课堂高效、难忘的目的。
1.机智把握课堂预设与生成
苏霍姆林斯基说过：“教学的技巧并不在于能预见课的所有细节，在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生中不知不觉地做出相应的变动。”因此，教师在课堂教学中不能机械地执行预设教案，教师要充分运用自己的智慧，根据师生、生生互动的情况，顺着学生的思路，适时调整教学思路、教学进程或教学方法，让学生在获得知识的同时，获得丰富的情感体验。
2.充分关注学生主体性与差异性
首先，要求教师有“对象”意识。教学不是唱独脚戏，离开“学”，就无所谓“教”，因此，教师必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想。其次，要求教师必须养成正确的学生观，充分认识，发挥学生的主体性，这样，才能充分激发课堂的生命活力，才能还课堂以智慧，还教育以生命的真谛。第三，教师要因材施教，课堂教学关注学生的差异性，在教学中要对学生提出差异性要求，设计差异性作业，进行差异性辅导，实施差异性评价，这些是“难忘课堂”教学对教师提出的“面向全体，以人为本”的基本要求。实践证明，通过实施差异教学，能激发每个学生学习数学的积极性，促进每个学生都得到充分发展，从而提高全体学生的数学素质。
（四）设计灵活而多样的课堂练习——“难忘课堂”的保证
课堂练习是学生课堂独立活动中的一项重要活动，它一方面能使学生将刚刚理解的知识加以应用，在应用中加深对新知识的理解；另一方面，能即时暴露学生对新知识理解应用上的不足，以使师生双方及时订正、改正错误和不足。总之，练习与反馈是“难忘课堂”教学的重要环节，是提高“难忘课堂”教学质量的重要保证。
1.设计有层次和整体性相结合的练习
练习设计的好坏，直接体现在练习的层次性中.根据学生的学习过程，按照循序渐进的原则，精心设计练习层次，这既为学生能力转化的客观规律所致，又是学生认知规律的反映。在认真研读教材和学生实际水平的基础之上，认真选用练习，做到不唯书，要唯实。比如：本课中，三个例题及变式的选用富有层次性，随着应用的深入，对学生能力的培养成效越高。
2.设计思考性和开放性相结合的练习
兴趣对学生的学习可以起到定向、保持和强化的作用。学生对所学知识一旦产生了浓厚的兴趣，就可以在课堂练习中主动地、轻松地、持久地、集中地投入到练习中来，这有助于学生知识能力的提高。个人的练习，可以促进学生独立思考；小组练习，要以培养学生合作精神，增强探究知识的能力为宗旨；全班练习交流，可以让学生集思广益，拓宽学生思路，提高学生思维能力。所以，我们的练习设计要能激发学生的学习兴趣，体现知识的趣味性，让学生在愉快的环境中完成学习任务。
（责任编辑：张华伟）
（一）创设情境，导入新课
[多媒体演示：北京奥运会主体育馆美丽的流线造型、夜间灯光闪烁]
师：现实世界中，到处都有美妙的曲线。气势恢宏的奥运主会场：完美的流线造型，华丽的线型灯光给世人留下难忘的记忆。大家能否举一些我们学过的曲线的例子？
生：二次函数、反比例函数.
师：还有最简单的图像——直线，同学们回忆一下：我们如何研究这些函数的图像及其性质的？
生：课堂一片静寂，全班同学都沉浸在回顾、思索中。此时，教师需要适时引导。
师：我们是将这些曲线放置在直角坐标系中，借助数形结合的思想方法来研究的。（学生有所顿悟）老师进而简单介绍解析几何有关内容和研究方法：用纯几何的方法研究抛物线、双曲线一类曲线是一件非常困难的事情，对于其他复杂的曲线研究更是如此。因此借助于坐标系，用坐标表示点，运用代数计算的方法研究曲线，无疑是一个崭新的思路，这种研究曲线的方法——称为解析法，用这种方法研究的几何又称解析几何。随着计算机的发展，复杂的运算已不再可怕，因而解析法有了更广阔的应用空间。从今天开始，我们就来学习用解析法研究曲线。让我们先从最简单的直线开始。
（二）观察感悟，启发引导
师：同学们小时候都玩过跷跷板，它为什么会上下运动呢？（动画演示跷跷板）
生：过一个点有无数条直线。
师：如何才能确定一条直线呢？
生：经过两点可以确定一条直线。
此时教师画出过一点的两条相交直线，它们的倾斜程度不同。接着问道：还可以由什么条件确定一条直线。受到启发学生很快发现：一点沿着确定的方向就可以画出一条直线。
师：我们曾经学过的一个刻画倾斜程度的量是什么？引导学生回忆，初中所学知识“坡度”的概念，看看我们熟悉的楼梯台阶、山坡等，回顾：坡度=[高度宽度]。
[多媒体演示两种不同倾斜程度楼梯，帮助学生回忆坡度的概念，以便迁移到新知中来]
师：如果任意给出两条直线，你能判断出他们的倾斜程度吗？如何准确地刻画直线的倾斜程度？类比坡度的求法，自然引出直线的斜率的概念：
（三）示例应用，扎实训练
例1，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率。
生：设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
k1=[-1-2-2-3]=[35]，k2=[-2-24-3]=-4，k3=[2-2-3-3]=0
师：从例1中看到当斜率分别为正数、负数和零时，直线的位置有何特点？小组交流讨论.
变式练习：（1）仿照例1自编两题，使斜率分别为正数和负数。
（2）若我们把Q1（-2，-1）改为Q1（a，-1），直线l1的斜率又会是多少呢？
第一个问题，生1：斜率为正的点Q1（1，1），Q2（3，3）；斜率为负的点Q1（1，1），Q3（3，-3）；
生2：斜率为正的点Q1（0，0），Q2（2，2）；斜率为负的点Q1（0，0），Q3（2，-2）；
同学们很快发现第二同学选取原点（0，0）时，答案简单、快捷.
第二个问题，生3：直线PQ1的斜率=[-1-2a-3]，有学生表现出不同见解，该生立刻补充道：此时a≠3，当a=3时，直线PQ1的斜率不存在。同学们会心地笑了。
例2，经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）[34]；（2）-[45]。
[先让学生独立思考，明确两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置即可画出直线]
例3，求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线。
生：要证A、B、C三点共线只要证它们的斜率相等。即kAB=[2-50-1]=3=kAC=[8-52-1]=3。
师反问道：由三点所确定的斜率相等，就一定证明它们共线吗？
生：还必须过同一点A，才行。
变式：已知三点A（1，-1），B（3，3），C（5，a）在一条直线上，求实数a的值。
生：由所学斜率公式知：kAB=[3 13-1]=kAC=[a 15-1]=2，可得a=7。
二、“难忘课堂”的操作要义
“难忘课堂”是优质、高效的课堂。叶澜教授认为高效课堂应该做到“四实”，即平实、真实、丰实、扎实。所谓平实，是指在教学中要讲求实在。实实在在地设计教学，实实在在地落实教学目标，实实在在地完成教学任务，而不是为了炫耀教师水平而追求奇、特、巧等。难忘课堂必须是、也应该是按照“四实”的要求组织实施的。本节课的课堂教学对学生而言，之所以达到难忘效果是因为学生不仅学习了直线的斜率的新知识，而且亲身经历了学习过程，让自己在自编问题、探索求解、同学合作和师生和谐互动中获得更多的帮助与成功体验。对教师来说，其难忘原因是通过课堂教学，在成就学生发展的同时，充分感受教师的价值和教育的力量，也促进了自己专业能力的不断提升，还收获了课堂当中生成的许多精彩的瞬间，让教师的教学过程充满激情和想象。
（一）制定正确而恰当的教学设计——“难忘课堂”的前提
我们追求课堂教学的难忘效果，首先是建立我们在教学价值取向上的正确性，即教学目标等的设计是否有效。以前的教学设计过于关注学科知识，而新课改要求我们从知识形态走向对生命意义的关注。所以，我们的思路不要局限于通过学习学生应掌握哪些知识，更要考虑通过什么样的活动方式，让学生自主投入到学习中来，经历知识生成过程，体验探究的乐趣，体会学习的价值。基于此，在制定课堂教学设计时，应由“关注知识”转向“关注学生”。所以，我们应从学生出发制定科学合理的教学设计。本课中，从刻画楼梯的坡度类比迁移到直线的斜率，从三个例题的选取到各自的变式拓展设计都很好地体现这种设计理念。 （二）创设生动而和谐的学习情境——“难忘课堂”的关键
1.创设贴近学生生活的情境
数学教育专家张奠宙认为：贴近学生生活的实例才是好的课堂教学素材。“难忘课堂”其实就是生活中的课堂。学生熟悉的情境使学生感到知识来源于生活，贴近生活，从而体会学习的作用，激发学习的动力。如本节课的引入，北京奥运会主体育馆美丽的流线造型、闪烁的线型灯光一下子激起学生的好奇，学生们被美丽的动态画面吸引，惊奇地叫了起来，学习热情高涨起来。
2.创设和谐师生关系的情境
孔子云：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。现代教育心理学研究指出，学生的学习过程应该成为学生一种愉悦的情绪生活和积极的情感体验。学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。在课堂中教师更多地扮演组织者、引导者、合作者的角色，当学生遇到困难时——鼓励、启迪；当学生发生争议时——倾听、提醒；当学生探究出现错误时——纠正、调整；当学生获得成功时——赞赏、激励。为学生创设一个和谐、民主的师生关系情境，这样的课堂才是高效的、难忘的课堂。
3.创设能产生认和冲突的情境
情境的创设是为了更好地学习知识，在对情境的认识中，使学生全面分析情境内容，充分发表自己的想法、看法，让学生潜意识中的理解都充分展现，在学生、老师的质疑、探索中主动建构自己的知识。如例1的变式（2）中：若我们把Q1（-2，-1）改为Q1（a，-1）直线l1的斜率又会是多少呢？学生开始直接套用斜率公式，发现问题（分母可能为零）时，才领悟到此时需要分类讨论，才会联想到数学中一般字母含参问题的处理方法。
4.创设具有挑战性的情境
苏联著名教育家赞科夫提出的五大教学原则之一：以高难度进行教学的原则。他说：“儿童的智力也像肌肉一样，如果不给以适当负担，加以锻炼，它就会萎缩、退化。”他以心理学家维果茨基的“最近发展区”理论为依据，强调教学要充分利用儿童智力上的潜在发展空间，适当超前进行。提出实行有难度的教学，目的在于以一定难度的内容，充分调动和发挥学生的精神力量，促其更快发展。
在课堂教学中，教师的问题情境应当具有挑战性和一定难度，如魔术师的地毯，这一问题情境一下子吸引了学生的注意力，许多同学苦思不得其解，当学生不能独立解决，需要同学互助或老师的点拨、引导才能解决时，问题情境达到了让学生挑战自我，锻炼思维的目的，这样的课堂学生才会持久难忘。
（三）开展丰富而开放的思维训练——“难忘课堂”的主线
“难忘课堂”需要有效的训练展示学生灵动的思维，放飞学生想象的翅膀，激发学生思维的潜能。根据学生的学段特点以及发展需要，开展丰富而开放的思维活动，能让学生在课堂中充分张扬个性，展示自我，从而真正实现课堂高效、难忘的目的。
1.机智把握课堂预设与生成
苏霍姆林斯基说过：“教学的技巧并不在于能预见课的所有细节，在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生中不知不觉地做出相应的变动。”因此，教师在课堂教学中不能机械地执行预设教案，教师要充分运用自己的智慧，根据师生、生生互动的情况，顺着学生的思路，适时调整教学思路、教学进程或教学方法，让学生在获得知识的同时，获得丰富的情感体验。
2.充分关注学生主体性与差异性
首先，要求教师有“对象”意识。教学不是唱独脚戏，离开“学”，就无所谓“教”，因此，教师必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想。其次，要求教师必须养成正确的学生观，充分认识，发挥学生的主体性，这样，才能充分激发课堂的生命活力，才能还课堂以智慧，还教育以生命的真谛。第三，教师要因材施教，课堂教学关注学生的差异性，在教学中要对学生提出差异性要求，设计差异性作业，进行差异性辅导，实施差异性评价，这些是“难忘课堂”教学对教师提出的“面向全体，以人为本”的基本要求。实践证明，通过实施差异教学，能激发每个学生学习数学的积极性，促进每个学生都得到充分发展，从而提高全体学生的数学素质。
（四）设计灵活而多样的课堂练习——“难忘课堂”的保证
课堂练习是学生课堂独立活动中的一项重要活动，它一方面能使学生将刚刚理解的知识加以应用，在应用中加深对新知识的理解；另一方面，能即时暴露学生对新知识理解应用上的不足，以使师生双方及时订正、改正错误和不足。总之，练习与反馈是“难忘课堂”教学的重要环节，是提高“难忘课堂”教学质量的重要保证。
1.设计有层次和整体性相结合的练习
练习设计的好坏，直接体现在练习的层次性中.根据学生的学习过程，按照循序渐进的原则，精心设计练习层次，这既为学生能力转化的客观规律所致，又是学生认知规律的反映。在认真研读教材和学生实际水平的基础之上，认真选用练习，做到不唯书，要唯实。比如：本课中，三个例题及变式的选用富有层次性，随着应用的深入，对学生能力的培养成效越高。
2.设计思考性和开放性相结合的练习
兴趣对学生的学习可以起到定向、保持和强化的作用。学生对所学知识一旦产生了浓厚的兴趣，就可以在课堂练习中主动地、轻松地、持久地、集中地投入到练习中来，这有助于学生知识能力的提高。个人的练习，可以促进学生独立思考；小组练习，要以培养学生合作精神，增强探究知识的能力为宗旨；全班练习交流，可以让学生集思广益，拓宽学生思路，提高学生思维能力。所以，我们的练习设计要能激发学生的学习兴趣，体现知识的趣味性，让学生在愉快的环境中完成学习任务。
（责任编辑：张华伟）