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摘 要：样例学习是提高学生学习效率的有效学习方式之一，通过研习样例可以提高学习效率，有较好的迁移效果，而且还能减轻学生学习时的认知负荷。本文以“图形的相似”一章为例，设计了“样例——问题对”“不完整样例”“渐减提示法样例”，突出样例中的评论部分，促进学生的自我解释，通过样例学习突破相似难点。
关键词：样例学习；图形的相似；样例呈现
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）11-073-2
本文中的样例是指数学的问题、解答及评论的组合体，问题部分对要求学生解决的问题进行陈述，解答部分逐步描述问题解决的步骤，评论部分则解释采取每一步的理由或根据。样例不仅要起到样板或示范作用，更重要的是让学生从样例的评论或点拨中理解概念的内涵以及几何性质或推理的作用，进一步激发学生自主学习的兴趣。下面结合“图形的相似”，设计了三种样例呈现方式，谈谈几何教学中的样例学习。
一、“样例——问题”对
“样例——问题”对有两种组织方式：交互式和分块式。交互式即为样例1，练习1，…，样例6，练习6。分块式为样例1，…，样例6，练习1，…，练习6。实验研究表明，交互式是更为有效的问题呈现方式。
例1 若a=1cm，b=3cm，c=2cm，d=6cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
解：∵ab=13，cd=26=13（分别求出两条线段的比，注意线段的比的顺序）
∴ab=cd（判断两线段的比是否相等）∴a、b、c、d是成比例线段。
练习：若a=3cm，b=6cm，c=9cm，d=18cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
例2 若a=1cm，b=4cm，c=8cm，d=4cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
解：∵ab=14，cd=84=2，∴ab≠cd，∴a、b、c、d不是成比例线段。
练习：若a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
例3 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长。
解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴ab=cd，即32=6d，∴d=4。
练习：已知三条线段3cm，8cm，10cm，在后面再添个数，使它们组成成比例线段。
评论：当“a、b、c、d四条线段成比例”时，满足ab=cd，a、b、c、d四条线段是有顺序的，不能颠倒。根据成比例线段的概念，一是可以用来判断所给的四条线段是否成比例；二是已知三条线段可以求第四条线段的长度。
上面的3个样例，成比例线段的概念是在线段的比的基础上定义的，以例1到例4样例——问题对的形式，将这个概念的判断、概念的应用等都包含在内，达到对概念全面的了解和把握。
二、不完整样例
不完整样例是指删除了部分解题步骤的样例。所谓“关键步骤”是指学生在样例学习中难以独自直接理解和掌握的解题或运算步骤。在不完整样例中，如果删除了关键步骤，学生很难通过它的前后解题步骤和已有知识补写出该步骤。所谓“非关键步骤”是学生在样例学习中利用已有知识很容易理解和掌握的解题或运算步骤。在不完整样例中如果删除了非关键步骤，学生也能根据它的前后解题步骤和已有知识补写出该步骤。
在几何样例设计中，对不完整样例的设计，对删除的步骤要认真加以斟酌，删除非关键步骤可以帮助学生复习已经掌握的知识，提高学生对解题步骤的自我解释。删除关键步骤可以促使学生进行独立的思考，老师要根据学生的特点和教学的目的，确定不完整样例中的删除的步骤。
例4 在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么条件？
（1）∵∠B=∠B′， = ，
∴△ABC∽△A′B′C′（两角对应相等的两三角形相似）
（2）∵∠B=∠B′， = ，
∴△ABC∽△A′B′C′。（两角对应相等的两三角形相似）
（3）∵∠B=∠B′， = ，
∴△ABC∽△A′B′C′。（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
评论：根据相似三角形的判定条件，已知一角，要么找另一对角相等，要么找这个角的两边对应成比例。但是在运用“两边对应成比例且夹角相等”证明三角形相似时，必须是两边的夹角，在本题中，是∠B和∠B′的两边对应成比例。
三、样例的渐减提示法
刑强、莫雷通过研究认为，应该还存在比不完整样例或样例问题对更为有效的样例呈现途径。在样例学习时如果逐渐的、连续的把问题解决引入样例学习之中，直到最后只剩下问题让学习者解决，这样更有利于提高学习的效果，称这种组织样呈现的方式为渐减提示法。首先呈现完整樣例，然后，呈现的样例减少一步，接着逐渐减少步骤到最后剩下问题去解决。
相似三角形的性质中，相似三角形的面积比的问题是最常见的类型，在中考中频繁出现，难度也比较大，对学生来说是个学习的难点。由于相似三角形的面积比等于相似比的平方这个性质容易与一般三角形面积比混淆，在设计样例时选择了六个小问题，从基本问题逐步过渡到综合性较强的问题，满足不同层次的学生需求，各个样例中通过解释性语句，渐减提示呈现样例，同时对样例进行变式，让学生辨析性质的用法，根据自己的实际情况掌握性质。
例5 （1）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶1，则△ABC与△DEF的相似比为 。
解：相似三角形的面积比等于相似比的平方，则相似三角形的相似比就等于面积比的算术平方根，相似比为2∶1。
（2）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积比为 。 解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的相似比等于周长比为3∶1，
∴△ABC与△DEF的面积比为相似比的平方为 。
（3）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为 。
解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，
∴S△ADO∶SBCO=（ADBC）2=（ ）2= ，∴S△BOC= = 。
（4）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点E，S△ADE∶SADC=1∶3，那么S△ADE∶S△CBE= 。
解析：（△ADE与△ADC的面积之比如何转换成可以应用的条件？）
∵S△ADE∶S△ADC=1∶3，∴S△ADE∶S△EDC=1∶2。
（△ADE与△EDC是同高的两个三角形，将三角形的面积之比转换为底边之比）
∴AE∶CE=S△ADE∶S△EDC=1∶2。（下面请自己完成）
评论：第（4）小题的关键在于S△ADE∶S△ADC=1∶3条件的转换，而△ADE与△EDC是两个同高的三角形，面积比等于底边之比。“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”应用的前提是“相似三角形”，在运用时要分清条件，特别注意等高同底时两个三角形的面积比与底边比的关系。
（5）如图3，在□ABCD中，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且AE∶EC=1∶2，
则△AEF的面积：四边形BCEF的面积= 。
解析：四边形BCEF的面积可以通过△ABC减去△AEF的面积来求解，而△ABC的面积等于△ACD的面积，请你根据提示完成。
（6）如图4，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2，则梯形的面积为 。
（你能完成这个问题吗？试试看）
评论：本题的6个题问题都是“相似三角形面积之比等于相似比的平方”这一性质的应用，使用时要注意“相似三角形”这个大前提，要注意與“同高的两个三角形的面积比等于底边之比”的区别，正确运用性质解决问题。
样例的呈现方式是多样化的，教师在备课时应该对例题做必要的修改或再加工，然后在课上以“样例——问题对”、“不完整样例”或者“渐减式的样例”等呈现方式针对不同的问题做出选择。与此同时，教师在设计例题时要注重基础题，注意例题之间的联系，将例题尽可能地串联，并可变化问题的条件或结论，做到一题多变，一题多解。此外，教师在课堂上也要注意多种信息的整合，减轻学生的认知负荷，以达到良好的教学效果。
[参考文献]
[1]许志毅，王英豪.样例学习的理论与实施[J].现代教育科学，2009（03）.
[2]邵光华.数学样例学习的理论和实证研究[D].上海：华东师范大学，2003.
[3]波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1984.
[4]乔爽，林洪新.样例学习的认知负荷理论[J].辽宁教育行政学报，2009，26（1）.
关键词：样例学习；图形的相似；样例呈现
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）11-073-2
本文中的样例是指数学的问题、解答及评论的组合体，问题部分对要求学生解决的问题进行陈述，解答部分逐步描述问题解决的步骤，评论部分则解释采取每一步的理由或根据。样例不仅要起到样板或示范作用，更重要的是让学生从样例的评论或点拨中理解概念的内涵以及几何性质或推理的作用，进一步激发学生自主学习的兴趣。下面结合“图形的相似”，设计了三种样例呈现方式，谈谈几何教学中的样例学习。
一、“样例——问题”对
“样例——问题”对有两种组织方式：交互式和分块式。交互式即为样例1，练习1，…，样例6，练习6。分块式为样例1，…，样例6，练习1，…，练习6。实验研究表明，交互式是更为有效的问题呈现方式。
例1 若a=1cm，b=3cm，c=2cm，d=6cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
解：∵ab=13，cd=26=13（分别求出两条线段的比，注意线段的比的顺序）
∴ab=cd（判断两线段的比是否相等）∴a、b、c、d是成比例线段。
练习：若a=3cm，b=6cm，c=9cm，d=18cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
例2 若a=1cm，b=4cm，c=8cm，d=4cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
解：∵ab=14，cd=84=2，∴ab≠cd，∴a、b、c、d不是成比例线段。
练习：若a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，则a、b、c、d是成比例线段吗？
例3 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长。
解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴ab=cd，即32=6d，∴d=4。
练习：已知三条线段3cm，8cm，10cm，在后面再添个数，使它们组成成比例线段。
评论：当“a、b、c、d四条线段成比例”时，满足ab=cd，a、b、c、d四条线段是有顺序的，不能颠倒。根据成比例线段的概念，一是可以用来判断所给的四条线段是否成比例；二是已知三条线段可以求第四条线段的长度。
上面的3个样例，成比例线段的概念是在线段的比的基础上定义的，以例1到例4样例——问题对的形式，将这个概念的判断、概念的应用等都包含在内，达到对概念全面的了解和把握。
二、不完整样例
不完整样例是指删除了部分解题步骤的样例。所谓“关键步骤”是指学生在样例学习中难以独自直接理解和掌握的解题或运算步骤。在不完整样例中，如果删除了关键步骤，学生很难通过它的前后解题步骤和已有知识补写出该步骤。所谓“非关键步骤”是学生在样例学习中利用已有知识很容易理解和掌握的解题或运算步骤。在不完整样例中如果删除了非关键步骤，学生也能根据它的前后解题步骤和已有知识补写出该步骤。
在几何样例设计中，对不完整样例的设计，对删除的步骤要认真加以斟酌，删除非关键步骤可以帮助学生复习已经掌握的知识，提高学生对解题步骤的自我解释。删除关键步骤可以促使学生进行独立的思考，老师要根据学生的特点和教学的目的，确定不完整样例中的删除的步骤。
例4 在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么条件？
（1）∵∠B=∠B′， = ，
∴△ABC∽△A′B′C′（两角对应相等的两三角形相似）
（2）∵∠B=∠B′， = ，
∴△ABC∽△A′B′C′。（两角对应相等的两三角形相似）
（3）∵∠B=∠B′， = ，
∴△ABC∽△A′B′C′。（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
评论：根据相似三角形的判定条件，已知一角，要么找另一对角相等，要么找这个角的两边对应成比例。但是在运用“两边对应成比例且夹角相等”证明三角形相似时，必须是两边的夹角，在本题中，是∠B和∠B′的两边对应成比例。
三、样例的渐减提示法
刑强、莫雷通过研究认为，应该还存在比不完整样例或样例问题对更为有效的样例呈现途径。在样例学习时如果逐渐的、连续的把问题解决引入样例学习之中，直到最后只剩下问题让学习者解决，这样更有利于提高学习的效果，称这种组织样呈现的方式为渐减提示法。首先呈现完整樣例，然后，呈现的样例减少一步，接着逐渐减少步骤到最后剩下问题去解决。
相似三角形的性质中，相似三角形的面积比的问题是最常见的类型，在中考中频繁出现，难度也比较大，对学生来说是个学习的难点。由于相似三角形的面积比等于相似比的平方这个性质容易与一般三角形面积比混淆，在设计样例时选择了六个小问题，从基本问题逐步过渡到综合性较强的问题，满足不同层次的学生需求，各个样例中通过解释性语句，渐减提示呈现样例，同时对样例进行变式，让学生辨析性质的用法，根据自己的实际情况掌握性质。
例5 （1）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶1，则△ABC与△DEF的相似比为 。
解：相似三角形的面积比等于相似比的平方，则相似三角形的相似比就等于面积比的算术平方根，相似比为2∶1。
（2）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积比为 。 解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的相似比等于周长比为3∶1，
∴△ABC与△DEF的面积比为相似比的平方为 。
（3）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为 。
解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，
∴S△ADO∶SBCO=（ADBC）2=（ ）2= ，∴S△BOC= = 。
（4）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点E，S△ADE∶SADC=1∶3，那么S△ADE∶S△CBE= 。
解析：（△ADE与△ADC的面积之比如何转换成可以应用的条件？）
∵S△ADE∶S△ADC=1∶3，∴S△ADE∶S△EDC=1∶2。
（△ADE与△EDC是同高的两个三角形，将三角形的面积之比转换为底边之比）
∴AE∶CE=S△ADE∶S△EDC=1∶2。（下面请自己完成）
评论：第（4）小题的关键在于S△ADE∶S△ADC=1∶3条件的转换，而△ADE与△EDC是两个同高的三角形，面积比等于底边之比。“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”应用的前提是“相似三角形”，在运用时要分清条件，特别注意等高同底时两个三角形的面积比与底边比的关系。
（5）如图3，在□ABCD中，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且AE∶EC=1∶2，
则△AEF的面积：四边形BCEF的面积= 。
解析：四边形BCEF的面积可以通过△ABC减去△AEF的面积来求解，而△ABC的面积等于△ACD的面积，请你根据提示完成。
（6）如图4，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2，则梯形的面积为 。
（你能完成这个问题吗？试试看）
评论：本题的6个题问题都是“相似三角形面积之比等于相似比的平方”这一性质的应用，使用时要注意“相似三角形”这个大前提，要注意與“同高的两个三角形的面积比等于底边之比”的区别，正确运用性质解决问题。
样例的呈现方式是多样化的，教师在备课时应该对例题做必要的修改或再加工，然后在课上以“样例——问题对”、“不完整样例”或者“渐减式的样例”等呈现方式针对不同的问题做出选择。与此同时，教师在设计例题时要注重基础题，注意例题之间的联系，将例题尽可能地串联，并可变化问题的条件或结论，做到一题多变，一题多解。此外，教师在课堂上也要注意多种信息的整合，减轻学生的认知负荷，以达到良好的教学效果。
[参考文献]
[1]许志毅，王英豪.样例学习的理论与实施[J].现代教育科学，2009（03）.
[2]邵光华.数学样例学习的理论和实证研究[D].上海：华东师范大学，2003.
[3]波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1984.
[4]乔爽，林洪新.样例学习的认知负荷理论[J].辽宁教育行政学报，2009，26（1）.