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二次函数是初中代数的重要内容之一，为了帮助同学们深刻理解并掌握这部分知识，本文对几种容易产生错误的情况作简单分析并列举，以供借鉴.
一、 忽视分类讨论思想致错
例1 已知关于x的函数y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+的图像与x轴总有交点，求a的取值范围.
【错解】∵图像与x轴总有交点，∴（a+1）2
-4（a2+3a+2）×≥0，∴a≤-1，∵a2+3a+2≠0，∴a≠-1且a≠-2，∴a<-1且a≠-2.
【剖析】题中未指明该函数是一次函数还是二次函数，大多数同学在解题中，因思维定势，想当然地认为该函数一定是二次函数，且与x轴有交点，忽视了分类讨论，造成漏解，导致错误.
【正解】当a=-2时，函数为y=-x+，它是一次函数，与x轴也有交点. 所以此题a的取值范围应是a<-1.
二、 概念不清致错
例2 当m为何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是关于x的二次函数？
【错解】由m2-2m-1=2，解之得m1=-1，m2=3. 所以当m=-1或m=3时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是二次函数.
【剖析】上述解法为概念错误导致. 函数y=ax2+bx+c为二次函数的条件是二次项系数a≠0. 错解中，当m=-1时，m2+m=0，此时函数为y=-4x+1，不是二次函数，应当舍去.
【正解】由m2-2m-1=2，得m1=-1，m2=3. 又因为m2+m≠0，即m≠0且m≠-1，所以当m=3时，函数是二次函数.
三、 考虑不周致错
例3 已知抛物线y=x2-2mx+m2+m+2与x轴交点为（a，0），（b，0），求（a-1）2+（b-1）2的最小值.
【错解】∵（a-1）2+（b-1）2=[（a+b）2-2ab]-2（a+b）+2=2m2-6m-2=2（m-1.5）2-6.5，故当m=1.5时，所求最小值为-6.5.
【剖析】上述错解疏忽了抛物线与x轴有交点的条件. 当抛物线与x轴有交点时，其解析式所对应的判别式b2-4ac≥0. 事实上，当m=1.5时，b2-4ac<0. 所以上述所得最小值是错误的.
【正解】由题意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2. （a-1）2+（b-1）2=2（m-1.5）2
-6.5. 故m-1.5取最小值时其值最小. 所以当m=-2时，得（a-1）2+（b-1）2的最小值为18.
四、 忽视已知条件致错
例4 如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图像与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，则b的值为（ ）.
A. -5 B. 4或-4
C. 4 D. -4
【错解】由S△ABC=3，BC=2，得A（0，3），即c=3. 由BC2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-b）2
-4c=b2-12，得b2-12=4，所以b=±4. 选B.
【剖析】错解没有考虑到抛物线的对称轴在y轴的右侧，即x=-只能与x轴正半轴相交的事实，所以->0，所以b<0.
【正解】正确答案应选D.
五、 对平移抛物线认识模糊致错
例5 已知抛物线y=ax2-1向上平移3个单位，再向右平移2个单位后经过点（3，7），求此时所得抛物线的解析式.
【错解一】抛物线y=ax2-1向上平移3个单位，再向右平移2个单位，解析式变为y=a（x+3）2-1+2，当x=3、y=7时，可求得a=. 故平移后抛物线解析式为y=（x+3）2+1.
【错解二】平移后解析式变为y=a（x+2）2-1+3，当x=3、y=7时，可求得a=. 故平移后抛物线解析式为y=（x+2）2+2.
【剖析】上述两种解法均错在对平移抛物线的认识错误. 错解一因为上下平移与左右平移不分. 错解二因为没弄清抛物线平移的规律. 抛物线y=ax2-1的顶点坐标为（0，-1），向上平移3个单位后变为（0，2），再向右平移2个单位后变为（2，2），这是平移后的抛物线的顶点坐标.
【正解】因为经过上述平移，抛物线的顶点将移到点（2，2）处，所以设平移后抛物线的解析式为y=a（x-2）2+2，当x=3、y=7时，可求得a=5. 所以，最后抛物线解析式为y=5（x-2）2+2.
六、 不注意自变量的取值范围致错
例6 矩形ABCD的两边长AB=18 cm，AD=4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也立即停止. 设运动时间为x（s），△PBQ的面积为y（cm2），求△PBQ的面积的最大值.
【错解】因为S△PBQ=PB·BQ，且PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，所以y=（18-2x）x，即y=-x2+9x. 所以y=-x
-2+. 所以当x=时，y最大值=，即△PBQ的最大面积是 cm2.
【剖析】错解只考虑二次函数的性质，忽视了自变量的取值范围. 当顶点横坐标在自变量的取值范围内时，顶点的纵坐标是最值， 当顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，根据函数增减性，最值应在自变量的端点.
【正解】同“错解”所求的二次函数y=-x2+9x，所以y=-x
-2+. 因为当0 （作者单位：江苏省丰县初级中学）
一、 忽视分类讨论思想致错
例1 已知关于x的函数y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+的图像与x轴总有交点，求a的取值范围.
【错解】∵图像与x轴总有交点，∴（a+1）2
-4（a2+3a+2）×≥0，∴a≤-1，∵a2+3a+2≠0，∴a≠-1且a≠-2，∴a<-1且a≠-2.
【剖析】题中未指明该函数是一次函数还是二次函数，大多数同学在解题中，因思维定势，想当然地认为该函数一定是二次函数，且与x轴有交点，忽视了分类讨论，造成漏解，导致错误.
【正解】当a=-2时，函数为y=-x+，它是一次函数，与x轴也有交点. 所以此题a的取值范围应是a<-1.
二、 概念不清致错
例2 当m为何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是关于x的二次函数？
【错解】由m2-2m-1=2，解之得m1=-1，m2=3. 所以当m=-1或m=3时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是二次函数.
【剖析】上述解法为概念错误导致. 函数y=ax2+bx+c为二次函数的条件是二次项系数a≠0. 错解中，当m=-1时，m2+m=0，此时函数为y=-4x+1，不是二次函数，应当舍去.
【正解】由m2-2m-1=2，得m1=-1，m2=3. 又因为m2+m≠0，即m≠0且m≠-1，所以当m=3时，函数是二次函数.
三、 考虑不周致错
例3 已知抛物线y=x2-2mx+m2+m+2与x轴交点为（a，0），（b，0），求（a-1）2+（b-1）2的最小值.
【错解】∵（a-1）2+（b-1）2=[（a+b）2-2ab]-2（a+b）+2=2m2-6m-2=2（m-1.5）2-6.5，故当m=1.5时，所求最小值为-6.5.
【剖析】上述错解疏忽了抛物线与x轴有交点的条件. 当抛物线与x轴有交点时，其解析式所对应的判别式b2-4ac≥0. 事实上，当m=1.5时，b2-4ac<0. 所以上述所得最小值是错误的.
【正解】由题意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2. （a-1）2+（b-1）2=2（m-1.5）2
-6.5. 故m-1.5取最小值时其值最小. 所以当m=-2时，得（a-1）2+（b-1）2的最小值为18.
四、 忽视已知条件致错
例4 如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图像与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，则b的值为（ ）.
A. -5 B. 4或-4
C. 4 D. -4
【错解】由S△ABC=3，BC=2，得A（0，3），即c=3. 由BC2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-b）2
-4c=b2-12，得b2-12=4，所以b=±4. 选B.
【剖析】错解没有考虑到抛物线的对称轴在y轴的右侧，即x=-只能与x轴正半轴相交的事实，所以->0，所以b<0.
【正解】正确答案应选D.
五、 对平移抛物线认识模糊致错
例5 已知抛物线y=ax2-1向上平移3个单位，再向右平移2个单位后经过点（3，7），求此时所得抛物线的解析式.
【错解一】抛物线y=ax2-1向上平移3个单位，再向右平移2个单位，解析式变为y=a（x+3）2-1+2，当x=3、y=7时，可求得a=. 故平移后抛物线解析式为y=（x+3）2+1.
【错解二】平移后解析式变为y=a（x+2）2-1+3，当x=3、y=7时，可求得a=. 故平移后抛物线解析式为y=（x+2）2+2.
【剖析】上述两种解法均错在对平移抛物线的认识错误. 错解一因为上下平移与左右平移不分. 错解二因为没弄清抛物线平移的规律. 抛物线y=ax2-1的顶点坐标为（0，-1），向上平移3个单位后变为（0，2），再向右平移2个单位后变为（2，2），这是平移后的抛物线的顶点坐标.
【正解】因为经过上述平移，抛物线的顶点将移到点（2，2）处，所以设平移后抛物线的解析式为y=a（x-2）2+2，当x=3、y=7时，可求得a=5. 所以，最后抛物线解析式为y=5（x-2）2+2.
六、 不注意自变量的取值范围致错
例6 矩形ABCD的两边长AB=18 cm，AD=4 cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也立即停止. 设运动时间为x（s），△PBQ的面积为y（cm2），求△PBQ的面积的最大值.
【错解】因为S△PBQ=PB·BQ，且PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，所以y=（18-2x）x，即y=-x2+9x. 所以y=-x
-2+. 所以当x=时，y最大值=，即△PBQ的最大面积是 cm2.
【剖析】错解只考虑二次函数的性质，忽视了自变量的取值范围. 当顶点横坐标在自变量的取值范围内时，顶点的纵坐标是最值， 当顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，根据函数增减性，最值应在自变量的端点.
【正解】同“错解”所求的二次函数y=-x2+9x，所以y=-x
-2+. 因为当0