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中图分类号：G633.7
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：
方法一：研究对象转换法
通过转换研究对象，如果能找到某一恒力所做的功和某一变力所做的功相等，就可将求变力功的问题转化成求恒力功的问题。
例1.如图1，人拉着细绳通过定滑轮，使滑块沿水平面由A点前进S至B点，已知人的拉力为F（恒定），定滑轮至滑块的高度为h，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。若滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计，求：在滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
【解析】设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F大小等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。若直接求绳对物体拉力所做的功，要用到高等数学微积分的方法才能求出，显然已超出我们高中所要求的范围，但仔细分析发现，在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，而且人对绳的拉力F为恒力，这属于恒力做功问题，可根据W=FScosα来计算，所以，通过转换研究对象，只要求出人对绳做的功就可以求出绳的拉力对物体做的功。由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为ΔS=S1-S2= ， 则WT=WF=FΔS=Fh
方法二：平均力法
求变力做功可通过 求，但只有在变力F与位移S成线性关系时， =（F1+F2）/2才成立。用平均值求变力做功的关键是先判断变力F与位移S是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2。
例2. 如图2所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。
【解析】弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，弹力的初始值为F1=kx，终值为F2=0，故弹力的平均值为 ，则弹力所做的 .
方法三：图像法
某些求变力做功的问题，如果能够画出变力F与位移S的图像，则F-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中变力F做的功。运用F-S图像中的面积求变力做功的关键是先表示出变力F与位移S的函数关系，再画出F-S图像。
例3.用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？
【解析】铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像，如图3，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有S1=S2（面积） 即 kx12= k（x2+x1）（x2-x1）或 kx22=2× kx12 得 ，
所以第二次击钉子进入木板的深度为
方法四：用动能定理求解
动能定理的表述：合外力对物体所做的功等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中变力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。
例4.如图4所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点.小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，则力F所做的功为（ ）
A.FLcosθ B.FLθ C.FLsinθ D.mgL（1-cosθ）
【解析】很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对W=FLcosθ来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任何时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解： ，所以WF=-WG=mgL（1-cosθ），故D正确。
方法五：用机械能守恒定律求解
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5.如图5所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
【解析】对于弹簧和物体组成的系统而言，只有重力和弹簧的弹力做功，全过程中，机械能守恒。而弹力做的负功等于弹簧的弹性势能的增量。假设B为参考点，由机械能守恒定律可知EA=EB即E弹= J=125J
弹力做功为W弹=-ΔE弹=-E弹=-125J
总之求变力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法的问题，必可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解变力做功问题，需要掌握求解变力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：
方法一：研究对象转换法
通过转换研究对象，如果能找到某一恒力所做的功和某一变力所做的功相等，就可将求变力功的问题转化成求恒力功的问题。
例1.如图1，人拉着细绳通过定滑轮，使滑块沿水平面由A点前进S至B点，已知人的拉力为F（恒定），定滑轮至滑块的高度为h，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。若滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计，求：在滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
【解析】设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F大小等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。若直接求绳对物体拉力所做的功，要用到高等数学微积分的方法才能求出，显然已超出我们高中所要求的范围，但仔细分析发现，在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，而且人对绳的拉力F为恒力，这属于恒力做功问题，可根据W=FScosα来计算，所以，通过转换研究对象，只要求出人对绳做的功就可以求出绳的拉力对物体做的功。由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为ΔS=S1-S2= ， 则WT=WF=FΔS=Fh
方法二：平均力法
求变力做功可通过 求，但只有在变力F与位移S成线性关系时， =（F1+F2）/2才成立。用平均值求变力做功的关键是先判断变力F与位移S是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2。
例2. 如图2所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。
【解析】弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，弹力的初始值为F1=kx，终值为F2=0，故弹力的平均值为 ，则弹力所做的 .
方法三：图像法
某些求变力做功的问题，如果能够画出变力F与位移S的图像，则F-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中变力F做的功。运用F-S图像中的面积求变力做功的关键是先表示出变力F与位移S的函数关系，再画出F-S图像。
例3.用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？
【解析】铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像，如图3，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有S1=S2（面积） 即 kx12= k（x2+x1）（x2-x1）或 kx22=2× kx12 得 ，
所以第二次击钉子进入木板的深度为
方法四：用动能定理求解
动能定理的表述：合外力对物体所做的功等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中变力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。
例4.如图4所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点.小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，则力F所做的功为（ ）
A.FLcosθ B.FLθ C.FLsinθ D.mgL（1-cosθ）
【解析】很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对W=FLcosθ来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任何时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解： ，所以WF=-WG=mgL（1-cosθ），故D正确。
方法五：用机械能守恒定律求解
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5.如图5所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
【解析】对于弹簧和物体组成的系统而言，只有重力和弹簧的弹力做功，全过程中，机械能守恒。而弹力做的负功等于弹簧的弹性势能的增量。假设B为参考点，由机械能守恒定律可知EA=EB即E弹= J=125J
弹力做功为W弹=-ΔE弹=-E弹=-125J
总之求变力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法的问题，必可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解变力做功问题，需要掌握求解变力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。