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摘 要：中学是学生抽象思维形成的重要阶段，也是培养学生深度学习行为的关键时期。文章从中学数学学科的角度阐述了抽象思维的形成与深度学习行为之间的内在联系，并结合具体的教学案例进行深度剖析，旨在阐明深度学习行为对提升思维品质的重要性以及培养学生深度学习观思维层面的具体策略。
关键词：抽象思维;深度学习;培养策略
新的课程标準中，提出数学的六大核心素养，包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。数学抽象在数学核心素养中的地位举足轻重，而学生抽象思维能力的提升，可在教师引领下，通过深度学习来实现。在深度学习中，学生体验学习过程，掌握核心知识，把握学科的本质及思想方法，从而形成数学抽象素养。
一、抽象思维与深度学习关系综述
因学生抽象思维发展的年龄特点，小学阶段很多的数学概念原理亦未铺开陈述，教学往往只能在浅层次开展，学生无法进一步触及知识的内核，深度学习行为无法得到进一步的延展。
从小学跃升中学后，其中最重要的思维过渡莫过于“从‘具体的数字运算’抽象出‘用字母代替数’”。毫不夸张地说，“用字母表示数”是培养数学抽象的“引擎”，它开启了神奇的中学数学之旅。
例如：相反数概念，小学时只要求会求一个具体数字的相反数，但到了中学，则上升为“a的相反数是-a”，“若a+b=0，则a、b互为相反数，反之亦然”。这里数字被抽象后，通过学生的体验、学习，为后面绝对值和二次根式的学习打开了广阔的思维空间;又如：小学学过的“速算口诀”：对于“23×27，34×36，42×48…”这样的一类算式，根据算式的特点，只要符合“两位数乘法，若十位相同（头相同），个位相加得10（尾互补）”，那么速算的口诀就是：得数后两位数字是“尾×尾”，得数前两位数字是“头×（头+1）”。如：23×27=421，71×79=5609等，学生觉得很神奇！但未能领会当中所蕴含的运算机制和涉及的运算原理。到了中学，教师就可以抓住这个关键点教学，利用代数式的运算变形来清晰地揭示这个速算口诀背后的原理：
，学生通过把这一类算式抽象化成代数式，再从一般化的推导过程感受运算背后涉及的原理，接着尝试把它推广到其他运算情形，在过程中学生的抽象思维推动了学生的深度学习行为，让学生的数学学习具有连贯性和延续性。
对于概念“工作总量为单位1”。我们知道大部分时候工作总量不会影响工作问题的求解，但是学生总有疑惑，这个“单位1”从何而来。到了中学我们知道这个“单位1”是一个无关参数，是题目中的无关条件，但并不是工作问题中的无关量。小学阶段学生还未形成“含参”的抽象思维，所以关于这样一个量的讨论仅存在于应用环节。在中学，学生的代数思维已经初见雏形，那么对这样“参数”的探讨就不容轻视，解决抽象的“含参问题”，可以深化学生的模型思想。以后遇到这样例题时，学生就能从容应对：“某商店进口一批苹果，进价为5元/千克，销售中估计有8%的苹果正常损耗。问：老板把苹果卖到每千克多少元，才能避免亏本？”很显然，模型思想就是属于抽象思维的层面，遇到实际生活情境时，学生能建立合适的数学模型来解决问题，无疑对提高学生的应用能力有很大的帮助，学生在应用知识的过程中，不断自主学习，深化自我学习数学的范畴。
从上述案例可以看出，中学阶段数学学习是对小学的一种补充和提升。小学因为学生抽象思维水平有限而未发生的深度学习行为，在中学都可以也应该得以实施。伴随着抽象思维的不断形成，学生的深度学习观也在不断地强化和发展。当然，随着学生深度学习行为的发生，学生的抽象思维也会得到正向的强化，二者相辅相成。
二、抽象思维能力伴随学生的深度学习行为得以提升
如前所述，小学阶段数学大部分是以算术解法为主，伴随着用字母表示数这种抽象思维的出现，老师慢慢地引导学生在数学学习中融入代数式的运算，进而提高抽象思维能力。另一方面，这时的学生已具备一定的具象思维能力，对图形有了较为直观的感知，但如何透过图形间的内在关联性进行高度概括，形成一般性结论，则要通过深度学习去感悟、探索、提炼。
如初一年常见的“数线段”问题，教师可以利用这一模型，引导学生通过深度学习，锻炼学生的抽象思维能力。
问题：一条线段上有A、B、C、D四个点，则共有几条线段？
学生一般解题步骤：根据题意画出图形——不重复遗漏数出所有线段——得出结论。
这样的学习，属于较浅层次的学习，学生只是体会了分类的经验和方法。而笔者利用这个难得的机会，让学生进行一次深度学习的探索之旅，结果获得了前所未有的成功。笔者经历的情境大致如下：
1.师问：一条线段有几个端点？（2个，学生100%会回答，兴致高昂）
2.师问：一条线段上有A、B两点时，共有几条线段？（1条，学生100%会回答，兴致高昂）
3.师问：一条线段上有A、B、C三点时，共有几条线段？（3条，学生齐刷刷埋头数了起来，并很快得到了答案。这是学生正常解题的必由之路）
4.师点拨：难道就这样一直数下去吗？有没有更好地方法？既然一条线段有两个端点，反之，两个点之间就有一条线段，如：两点A与B，以A开头时，点B与之组成线段AB，以B开头时，点A与之组成线段BA，而AB与BA同属一条线段，故一条线段上有A、B两点时，共有条线段，同理，若线段上有A、B、C三点时，以A开头的线段是AB、AC，以B开头的线段是BC、BA，以C开头的线段是CA、CB，故一条线段上有A、B、C三点时，共有条线段……大家重点思考：线段是怎么来的（由每两个点的一条线段），线段的条数（注意重复）。
5.学生自主学习：当线段上有A、B、C、D四个点时，线段条数是
6.师“趁热打铁”，问：当线段上有100个点时，共有几条线段？这时，70%的学生已经可以用这个式子来计算了。 7.问题的目的是让学生抽象出数学内在的规律，故笔者还让学生提炼出：当一条线段上有n个点时，共有线段条。
为巩固深度学习成果，实现能力的迁移，笔者让学生又研究“数射线组成角”、“数对顶角对数”、“数多边形对角线条数”等模型，通过类比、归纳、总结出具有共性的规律特征。最后，还设计了该模型的两个实际问题，以期达到举一反三的目的：
（1）从厦门到A地有一条长途汽车往返路线，中途要经过B，C，D三个站点，
请问共有几种票价？要准备几种车票？
（2）某班级共有40名学生，元旦集会时，要求每个同学之间要互相握手一次，则全班共有几次握手？
像这种有针对性的深度学习，只要教师指导恰当，往往能够激发学生的学习动力，使他们由简单情形入手，以较为轻松的方式沉浸入“深度学习”状态，使数学抽象思维的培养“水到渠成”，让学生充满获得感和成就感。
三、抽象思维能提升学生深度学习的品质
抽象思维的形成可以帮助学生多角度地看待数学问题，在激发学生深度学习的同时，也确保了学生深度学习的品质。一方面，学生在把有实际背景的问题转化成纯数学问题的过程中，需要调动他所学过的大量知识，这个联想、套用、修正的回忆过程，就是知识运用的过程。学生的知识得到巩固，能自发自主地运用知识，学习品质自然有保证。另一方面，抽象思维的不同层次，也代表了问题解决的不同角度。学生充分调动这些思维的前提是要能准确地掌握这些思维的层次，有序有向的思考，是保证学生自主学习、深度学习效率的关键。
（一）静态几何到动态几何
在“几何初步”的学习中，有一个结论叫做“点动成线、线动成面，面动成体”。课本通过大量实例，让学生从直观的感知到抽象的概括，但是对于这个结论的应用，课本并没有更深入的阐述。笔者认为有必要对这个抽象化结论做进一步的“实体还原”，以利于学生掌握。例如：对“角”概念的理解。显然，“角”的静态定义容易理解但有局限，“角”的动态定义可以很好地为以后的“三角函数”奠定基础。那么在“角”的动态定义中，就可以再次提到“线动成面”，当“角”对应成“面”，很多知识的误区就不会产生。例如学生一直把“平角”当作是一条直线，可能不理解“角的内外部”这样的概念，错把“角”当作只有“边和顶点”。理解静态几何到动态几何的抽象过程，为后续“平移、轴对称、旋转”的图形变化学习打下良好的抽象思维基础。所以，抽象思维在运用过程中的具体化和细节化，确保学生可以科学进行后续的学习行为，而不胡乱套用数学知识，或进行不严谨的推理和猜想。
（二）代数式到函数
初一学习了代数式，但这仅是抽象的第一个层面。后续学习完函数，学生有了新的抽象深度。以多项式“”为例，当完完全全去除情境时，学生只把它抽象地认知为一个可以进行加减乘除运算的多项式，但我们依然可以“实体还原”，设计一定的情境，如：“长方形的一边长为x+1，另一边比它大1，问长方形面积的最大值为多少”，学生就认识到它可能是个函数问题，以后再遇到“”这样的式子，就能自觉地联想到变化过程，思维的品质得到较大的提高，看待问题的视角也变得多样，有深度。当然，代数层面的抽象也可以提升学生函数层面学习的深度，比如能主动地把“”分解成“”，那么在二次函数问题中，学生就能更快找到函数图象与x轴的交点。
（三）等式到方程
等式层面，因为从小学开始就已经接触，学生容易接受。方程则上升为“含有未知数的等式”，尽管方程也是等式的一种，但它因为有了未知数，变得更加抽象更加“扑朔迷离”了，这就要求我们在教学时，要引导学生深度学习，努力探究数学的本真。如，笔者教学时遇到的一个例题：
已知x，y，z满足，，求x，y的值
等式层面：
由已知，得，整理得.
方程层面：，∴x，y是方程的两个根，即，从而z=0，x=y=3
等式层面的解法虽然简单，但是视野不够新颖，方程层面的解法虽然抽象难以理解，但解法独具一格别开生面，让学生产生了认知的快感，以后在深度学习过程中再遇到类似情境时，学生就敢大胆尝试，这样，思维的延展性和可塑性就会得到提高。
法国数学家笛卡尔有一句经典名言：“我思，故我在。”在数学抽象思维这个“思”的形成过程中，深度学习如影随形，两者相辅相成，相得益彰，造就了“我在”的奇妙的数学世界！
参考文献
[1] 楊海平.中学生数学抽象思维的培养[J].中学课程辅导（教师通讯），2018（21）：32.
[2] 王刚.关注学生思维品质促进数学深度学习[J].数学教学通讯，2020（35）：41-42.
[3] 顾颖.中学深度学习的基本特征探究[J].数学教学通讯，2020（14）：29-31.
作者简介：林明强（1974.10），男，福建厦门，汉族，厦门大学附属科技中学一级教师，本科，研究方向：中学数学教学。
关键词：抽象思维;深度学习;培养策略
新的课程标準中，提出数学的六大核心素养，包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。数学抽象在数学核心素养中的地位举足轻重，而学生抽象思维能力的提升，可在教师引领下，通过深度学习来实现。在深度学习中，学生体验学习过程，掌握核心知识，把握学科的本质及思想方法，从而形成数学抽象素养。
一、抽象思维与深度学习关系综述
因学生抽象思维发展的年龄特点，小学阶段很多的数学概念原理亦未铺开陈述，教学往往只能在浅层次开展，学生无法进一步触及知识的内核，深度学习行为无法得到进一步的延展。
从小学跃升中学后，其中最重要的思维过渡莫过于“从‘具体的数字运算’抽象出‘用字母代替数’”。毫不夸张地说，“用字母表示数”是培养数学抽象的“引擎”，它开启了神奇的中学数学之旅。
例如：相反数概念，小学时只要求会求一个具体数字的相反数，但到了中学，则上升为“a的相反数是-a”，“若a+b=0，则a、b互为相反数，反之亦然”。这里数字被抽象后，通过学生的体验、学习，为后面绝对值和二次根式的学习打开了广阔的思维空间;又如：小学学过的“速算口诀”：对于“23×27，34×36，42×48…”这样的一类算式，根据算式的特点，只要符合“两位数乘法，若十位相同（头相同），个位相加得10（尾互补）”，那么速算的口诀就是：得数后两位数字是“尾×尾”，得数前两位数字是“头×（头+1）”。如：23×27=421，71×79=5609等，学生觉得很神奇！但未能领会当中所蕴含的运算机制和涉及的运算原理。到了中学，教师就可以抓住这个关键点教学，利用代数式的运算变形来清晰地揭示这个速算口诀背后的原理：
，学生通过把这一类算式抽象化成代数式，再从一般化的推导过程感受运算背后涉及的原理，接着尝试把它推广到其他运算情形，在过程中学生的抽象思维推动了学生的深度学习行为，让学生的数学学习具有连贯性和延续性。
对于概念“工作总量为单位1”。我们知道大部分时候工作总量不会影响工作问题的求解，但是学生总有疑惑，这个“单位1”从何而来。到了中学我们知道这个“单位1”是一个无关参数，是题目中的无关条件，但并不是工作问题中的无关量。小学阶段学生还未形成“含参”的抽象思维，所以关于这样一个量的讨论仅存在于应用环节。在中学，学生的代数思维已经初见雏形，那么对这样“参数”的探讨就不容轻视，解决抽象的“含参问题”，可以深化学生的模型思想。以后遇到这样例题时，学生就能从容应对：“某商店进口一批苹果，进价为5元/千克，销售中估计有8%的苹果正常损耗。问：老板把苹果卖到每千克多少元，才能避免亏本？”很显然，模型思想就是属于抽象思维的层面，遇到实际生活情境时，学生能建立合适的数学模型来解决问题，无疑对提高学生的应用能力有很大的帮助，学生在应用知识的过程中，不断自主学习，深化自我学习数学的范畴。
从上述案例可以看出，中学阶段数学学习是对小学的一种补充和提升。小学因为学生抽象思维水平有限而未发生的深度学习行为，在中学都可以也应该得以实施。伴随着抽象思维的不断形成，学生的深度学习观也在不断地强化和发展。当然，随着学生深度学习行为的发生，学生的抽象思维也会得到正向的强化，二者相辅相成。
二、抽象思维能力伴随学生的深度学习行为得以提升
如前所述，小学阶段数学大部分是以算术解法为主，伴随着用字母表示数这种抽象思维的出现，老师慢慢地引导学生在数学学习中融入代数式的运算，进而提高抽象思维能力。另一方面，这时的学生已具备一定的具象思维能力，对图形有了较为直观的感知，但如何透过图形间的内在关联性进行高度概括，形成一般性结论，则要通过深度学习去感悟、探索、提炼。
如初一年常见的“数线段”问题，教师可以利用这一模型，引导学生通过深度学习，锻炼学生的抽象思维能力。
问题：一条线段上有A、B、C、D四个点，则共有几条线段？
学生一般解题步骤：根据题意画出图形——不重复遗漏数出所有线段——得出结论。
这样的学习，属于较浅层次的学习，学生只是体会了分类的经验和方法。而笔者利用这个难得的机会，让学生进行一次深度学习的探索之旅，结果获得了前所未有的成功。笔者经历的情境大致如下：
1.师问：一条线段有几个端点？（2个，学生100%会回答，兴致高昂）
2.师问：一条线段上有A、B两点时，共有几条线段？（1条，学生100%会回答，兴致高昂）
3.师问：一条线段上有A、B、C三点时，共有几条线段？（3条，学生齐刷刷埋头数了起来，并很快得到了答案。这是学生正常解题的必由之路）
4.师点拨：难道就这样一直数下去吗？有没有更好地方法？既然一条线段有两个端点，反之，两个点之间就有一条线段，如：两点A与B，以A开头时，点B与之组成线段AB，以B开头时，点A与之组成线段BA，而AB与BA同属一条线段，故一条线段上有A、B两点时，共有条线段，同理，若线段上有A、B、C三点时，以A开头的线段是AB、AC，以B开头的线段是BC、BA，以C开头的线段是CA、CB，故一条线段上有A、B、C三点时，共有条线段……大家重点思考：线段是怎么来的（由每两个点的一条线段），线段的条数（注意重复）。
5.学生自主学习：当线段上有A、B、C、D四个点时，线段条数是
6.师“趁热打铁”，问：当线段上有100个点时，共有几条线段？这时，70%的学生已经可以用这个式子来计算了。 7.问题的目的是让学生抽象出数学内在的规律，故笔者还让学生提炼出：当一条线段上有n个点时，共有线段条。
为巩固深度学习成果，实现能力的迁移，笔者让学生又研究“数射线组成角”、“数对顶角对数”、“数多边形对角线条数”等模型，通过类比、归纳、总结出具有共性的规律特征。最后，还设计了该模型的两个实际问题，以期达到举一反三的目的：
（1）从厦门到A地有一条长途汽车往返路线，中途要经过B，C，D三个站点，
请问共有几种票价？要准备几种车票？
（2）某班级共有40名学生，元旦集会时，要求每个同学之间要互相握手一次，则全班共有几次握手？
像这种有针对性的深度学习，只要教师指导恰当，往往能够激发学生的学习动力，使他们由简单情形入手，以较为轻松的方式沉浸入“深度学习”状态，使数学抽象思维的培养“水到渠成”，让学生充满获得感和成就感。
三、抽象思维能提升学生深度学习的品质
抽象思维的形成可以帮助学生多角度地看待数学问题，在激发学生深度学习的同时，也确保了学生深度学习的品质。一方面，学生在把有实际背景的问题转化成纯数学问题的过程中，需要调动他所学过的大量知识，这个联想、套用、修正的回忆过程，就是知识运用的过程。学生的知识得到巩固，能自发自主地运用知识，学习品质自然有保证。另一方面，抽象思维的不同层次，也代表了问题解决的不同角度。学生充分调动这些思维的前提是要能准确地掌握这些思维的层次，有序有向的思考，是保证学生自主学习、深度学习效率的关键。
（一）静态几何到动态几何
在“几何初步”的学习中，有一个结论叫做“点动成线、线动成面，面动成体”。课本通过大量实例，让学生从直观的感知到抽象的概括，但是对于这个结论的应用，课本并没有更深入的阐述。笔者认为有必要对这个抽象化结论做进一步的“实体还原”，以利于学生掌握。例如：对“角”概念的理解。显然，“角”的静态定义容易理解但有局限，“角”的动态定义可以很好地为以后的“三角函数”奠定基础。那么在“角”的动态定义中，就可以再次提到“线动成面”，当“角”对应成“面”，很多知识的误区就不会产生。例如学生一直把“平角”当作是一条直线，可能不理解“角的内外部”这样的概念，错把“角”当作只有“边和顶点”。理解静态几何到动态几何的抽象过程，为后续“平移、轴对称、旋转”的图形变化学习打下良好的抽象思维基础。所以，抽象思维在运用过程中的具体化和细节化，确保学生可以科学进行后续的学习行为，而不胡乱套用数学知识，或进行不严谨的推理和猜想。
（二）代数式到函数
初一学习了代数式，但这仅是抽象的第一个层面。后续学习完函数，学生有了新的抽象深度。以多项式“”为例，当完完全全去除情境时，学生只把它抽象地认知为一个可以进行加减乘除运算的多项式，但我们依然可以“实体还原”，设计一定的情境，如：“长方形的一边长为x+1，另一边比它大1，问长方形面积的最大值为多少”，学生就认识到它可能是个函数问题，以后再遇到“”这样的式子，就能自觉地联想到变化过程，思维的品质得到较大的提高，看待问题的视角也变得多样，有深度。当然，代数层面的抽象也可以提升学生函数层面学习的深度，比如能主动地把“”分解成“”，那么在二次函数问题中，学生就能更快找到函数图象与x轴的交点。
（三）等式到方程
等式层面，因为从小学开始就已经接触，学生容易接受。方程则上升为“含有未知数的等式”，尽管方程也是等式的一种，但它因为有了未知数，变得更加抽象更加“扑朔迷离”了，这就要求我们在教学时，要引导学生深度学习，努力探究数学的本真。如，笔者教学时遇到的一个例题：
已知x，y，z满足，，求x，y的值
等式层面：
由已知，得，整理得.
方程层面：，∴x，y是方程的两个根，即，从而z=0，x=y=3
等式层面的解法虽然简单，但是视野不够新颖，方程层面的解法虽然抽象难以理解，但解法独具一格别开生面，让学生产生了认知的快感，以后在深度学习过程中再遇到类似情境时，学生就敢大胆尝试，这样，思维的延展性和可塑性就会得到提高。
法国数学家笛卡尔有一句经典名言：“我思，故我在。”在数学抽象思维这个“思”的形成过程中，深度学习如影随形，两者相辅相成，相得益彰，造就了“我在”的奇妙的数学世界！
参考文献
[1] 楊海平.中学生数学抽象思维的培养[J].中学课程辅导（教师通讯），2018（21）：32.
[2] 王刚.关注学生思维品质促进数学深度学习[J].数学教学通讯，2020（35）：41-42.
[3] 顾颖.中学深度学习的基本特征探究[J].数学教学通讯，2020（14）：29-31.
作者简介：林明强（1974.10），男，福建厦门，汉族，厦门大学附属科技中学一级教师，本科，研究方向：中学数学教学。