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用样本估计总体是统计的基本思想,通过对样本的分析了解总体是统计的基本方法.然而有些同学对统计量的意义理解不透,常会走进误区,现就同学们易错的地方举例说明.
一、对加权平均数的“权”理解不透
例1 一超市备有某种绿色蔬菜100千克,上午按每千克1.2元的价格售出50千克,中午按每千克1元的价格售出30千克,下午按每千克0.8元的价格将剩下的蔬菜全部售完,试求这批蔬菜售出的平均价格是多少?
错解:这批蔬菜售出的平均价格为x==1 (元/千克).
错因分析:由于在3个不同时间段售出的蔬菜的重量不同,而且各个时间段售出蔬菜的单价也不同,所以这批蔬菜售出的平均价格不能简单的用3个时间售出蔬菜价格的算术平均数表示,而应该用加权平均数来计算.
正解: x==1 .06(元/千克).即这批蔬菜售出的平均价格为1.06元/千克.
点拨:很多同学容易混淆平均数和加权平均数,避免陷入这一误区的方法是理解平均数和加权平均数的概念,认真分析题意,选择合适的统计量.
二、对中位数的“中”理解不透
例2爱心小组的9位同学为灾区捐款,捐款金额分别为10,17,11,20,15,17,18,10,20(单位/元),试求这组数据的中位数.
错解:中位数是15.
错因分析:出错的原因是未将这一组数按序排列就直接找出处于这组数据中间位置的数.
正解:将这组数据按从小到大顺序排列为10,10,11,15,17,17,18,20,20,这组数据共有9个数,处于最中间位置的数是17,所以这组数据的中位数是17元.
点拨:将这组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)就是这组数据的中位数.注意,中位数不一定是数据中的数.
三、对极差、方差的“差”理解不透
例3 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,在相同条件下他们分别射靶5次,甲命中的环数为9,8,9,9,10;乙命中的环数为7,10,9,10,9.如果甲、乙中只能有1人入选,你认为入选者该是谁?为什么?
错解:入选的应该是甲.
根据题意得,x甲==9;x乙==9.甲、乙两人的平均数相等,而甲的极差是2,乙的极差是3,所以入选的应该是甲.
错因分析:想要确定哪位选手入选,需要判断哪位选手的射击成绩平均数大且较稳定,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差,它只能反映这组数据的变化范围,而方差才是用来衡量一组数据波动大小的统计量.
正解:入选的应该是甲.
根据题意得,x甲==9;x乙==9. s2甲=[(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(10-9)2]=;s2乙=[(7-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(9-9)2]=.
因为甲、乙的平均数相等,甲的方差小于乙的方差,即甲的射击成绩比乙的稳定,所以入选的应该是甲.
点拨:方差是一组数据波动大小(即离散程度)的重要量度.一般而言,一组数据的方差越小,这组数据就越稳定;而在一组数据中极差大的并不一定方差也大.
四、对众数的“众”理解不透
例4在今年的慈善一日捐活动中,某中学八年级(2)班50名学生自发组织献爱心捐款活动.班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图,如图1所示.试根据图1提供的信息,确定捐款金额的众数.
错解:众数为20.
错因分析:误以为捐款30元的人数最多为20人,众数就是20.把出现次数最多的数据的次数误以为是众数,这是对众数中的“众”字理解错误的表现.
正解:从图1中可以看出,捐款30元的人数最多, 所以捐款金额的众数是30元.
例5 某商场试销一种新款衬衫,一周内销售情况如表1所示:
表1
则上述数据的统计量中,对商场经理来说最有意义的是().
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
错解:A.
错因分析:商场经理比较关心的是哪种型号最畅销,从而确定各种型号衬衫的进货量,也就是说,经理最关心卖出的新款衬衫的型号(厘米)组成的一组数据的众数,而不是平均数.
正解:B.
点拨:在确定众数时,易把出现次数最多的数据的次数错认为是众数.应注意众数是出现次数最多的数据,而不是出现的次数;一组数据的众数有时不止一个,当出现次数最多的数据是n个时,则这组数据的众数就有n个.
五、对分类讨论的“类”理解不透
例6 已知数据:10、10、x、8的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.
错解:当x=8时,这组数据的中位数是9,平均数也是9,所以这组数据的中位数为9.
错因分析:这组数据的平均数为=.因为该组数据只有4个,所以中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列后处于最中间两个数的平均数,由于不知道x的具体值,所以要分情况讨论.
正解:(1)当x≤8时,该组数据从小到大排列应为x、8、10、10,这时中位数为9,则=9,解得x=8,所以此时中位数为9;
(2)当8 (3)当x≥10时,该组数据从小到大排列应为8、10、10、x,这时中位数为10,则=10,解得x =
12,所以此时中位数为10.
综上所述,这组数据的中位数为9或10.
点拨:当问题可能出现多种情况时,要对可能出现的各种情况进行分类讨论,做到不遗漏,不重复,才能得到完整的答案.
一、对加权平均数的“权”理解不透
例1 一超市备有某种绿色蔬菜100千克,上午按每千克1.2元的价格售出50千克,中午按每千克1元的价格售出30千克,下午按每千克0.8元的价格将剩下的蔬菜全部售完,试求这批蔬菜售出的平均价格是多少?
错解:这批蔬菜售出的平均价格为x==1 (元/千克).
错因分析:由于在3个不同时间段售出的蔬菜的重量不同,而且各个时间段售出蔬菜的单价也不同,所以这批蔬菜售出的平均价格不能简单的用3个时间售出蔬菜价格的算术平均数表示,而应该用加权平均数来计算.
正解: x==1 .06(元/千克).即这批蔬菜售出的平均价格为1.06元/千克.
点拨:很多同学容易混淆平均数和加权平均数,避免陷入这一误区的方法是理解平均数和加权平均数的概念,认真分析题意,选择合适的统计量.
二、对中位数的“中”理解不透
例2爱心小组的9位同学为灾区捐款,捐款金额分别为10,17,11,20,15,17,18,10,20(单位/元),试求这组数据的中位数.
错解:中位数是15.
错因分析:出错的原因是未将这一组数按序排列就直接找出处于这组数据中间位置的数.
正解:将这组数据按从小到大顺序排列为10,10,11,15,17,17,18,20,20,这组数据共有9个数,处于最中间位置的数是17,所以这组数据的中位数是17元.
点拨:将这组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)就是这组数据的中位数.注意,中位数不一定是数据中的数.
三、对极差、方差的“差”理解不透
例3 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,在相同条件下他们分别射靶5次,甲命中的环数为9,8,9,9,10;乙命中的环数为7,10,9,10,9.如果甲、乙中只能有1人入选,你认为入选者该是谁?为什么?
错解:入选的应该是甲.
根据题意得,x甲==9;x乙==9.甲、乙两人的平均数相等,而甲的极差是2,乙的极差是3,所以入选的应该是甲.
错因分析:想要确定哪位选手入选,需要判断哪位选手的射击成绩平均数大且较稳定,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差,它只能反映这组数据的变化范围,而方差才是用来衡量一组数据波动大小的统计量.
正解:入选的应该是甲.
根据题意得,x甲==9;x乙==9. s2甲=[(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(10-9)2]=;s2乙=[(7-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(9-9)2]=.
因为甲、乙的平均数相等,甲的方差小于乙的方差,即甲的射击成绩比乙的稳定,所以入选的应该是甲.
点拨:方差是一组数据波动大小(即离散程度)的重要量度.一般而言,一组数据的方差越小,这组数据就越稳定;而在一组数据中极差大的并不一定方差也大.
四、对众数的“众”理解不透
例4在今年的慈善一日捐活动中,某中学八年级(2)班50名学生自发组织献爱心捐款活动.班长将捐款情况进行了统计,并绘制成了统计图,如图1所示.试根据图1提供的信息,确定捐款金额的众数.
错解:众数为20.
错因分析:误以为捐款30元的人数最多为20人,众数就是20.把出现次数最多的数据的次数误以为是众数,这是对众数中的“众”字理解错误的表现.
正解:从图1中可以看出,捐款30元的人数最多, 所以捐款金额的众数是30元.
例5 某商场试销一种新款衬衫,一周内销售情况如表1所示:
表1
则上述数据的统计量中,对商场经理来说最有意义的是().
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
错解:A.
错因分析:商场经理比较关心的是哪种型号最畅销,从而确定各种型号衬衫的进货量,也就是说,经理最关心卖出的新款衬衫的型号(厘米)组成的一组数据的众数,而不是平均数.
正解:B.
点拨:在确定众数时,易把出现次数最多的数据的次数错认为是众数.应注意众数是出现次数最多的数据,而不是出现的次数;一组数据的众数有时不止一个,当出现次数最多的数据是n个时,则这组数据的众数就有n个.
五、对分类讨论的“类”理解不透
例6 已知数据:10、10、x、8的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.
错解:当x=8时,这组数据的中位数是9,平均数也是9,所以这组数据的中位数为9.
错因分析:这组数据的平均数为=.因为该组数据只有4个,所以中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列后处于最中间两个数的平均数,由于不知道x的具体值,所以要分情况讨论.
正解:(1)当x≤8时,该组数据从小到大排列应为x、8、10、10,这时中位数为9,则=9,解得x=8,所以此时中位数为9;
(2)当8
12,所以此时中位数为10.
综上所述,这组数据的中位数为9或10.
点拨:当问题可能出现多种情况时,要对可能出现的各种情况进行分类讨论,做到不遗漏,不重复,才能得到完整的答案.