论文部分内容阅读
摘 要：数学探究题是从给定的题设条件中探究其相应的结论，或从给定的问题中探究其相应的必备条件、解题途径等题型。这种探究题的鲜明特点是：问题本身具有一定的开放性，且其求解的过程中带有较强的探索性。
关键词：高中数学；探究题型
数学探索题分为条件探究型、结论探究型、规律探究型等。它是考查能力的好题型，因而成为历年高考命题的热点内容。
一、条件探究型
例1：已知■≤a≤1，若函数f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）。
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）判断函数g（a）在区间■，1上的单调性，并求出g（a）的最小值 。
解析：（1）∵■≤a≤1，∴f（x）的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=■∈[1，3]，∴f（x）有最小值N（a）=1-■；
当2≤■≤3时，a∈■，■，f（x）有最大值M（a）=f（1）=a-1;
当1≤■<2时，a∈(■，1]，f（x）有最大值M（a）=f（3）=9a-5
∴g（a）=a-2+■（■≤a≤■），9a-6+■（■ （2）设■≤a10，
∴g（a1）>g（a2），∴g（a）在■，■上是减函数。
设■ ∴g（a1） 提示：本题需要探索是该函数为单调函数的条件，属于条件探索型问题，本题求解也可以用导数来解决。
二、结论探究型
例2：（１）设A为动椭圆的中心，BD为过焦点F的弦，M为BD的中点，连接AM并延长交椭圆于点C。求证：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是■为定值且值为■（其中a为椭圆的半长轴）；
（2）命题（1）的结论能推广到双曲线吗？为什么？
解析：（１）不妨设椭圆方程为■+■=1（a>b>0），F（c，,0）为右焦点，B(x1，y1)，D（x2，y2），,M(x0,y0)，弦BD的方程为x=my+c
联立两方程■+■=1与x=my+c，得（m2b2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，
于是有y0=■=-■，x■=my■+c=■，由椭圆的第二定义，得|BD|=■[2·■-(x1+x2)]=2a-■，于是■=2-■。
首先，若四边形ABCD为平行四边形，则点C的坐标为（2x0，2y0），将其代入椭圆方程并化简得4c2=m2b2+a2，由此可得■=■。
其次，若■=■，则4c2=m2b2+a2 ，于是有x0=■=■，y0=-■=-■，从而，■+■=■=1，也就是点（2x0，2y0）在椭圆上，且M平分AC，故ABCD为平行四边形。
（2）命题（1）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD不可能为平行四边形。
提示：关于命题（1）的结论在双曲线中是否成立，这是需要探索的问题。当然，我们也可以考虑圆、抛物线中的情形。
三、规律探究型
例3：对数列a■，规定△a■为数列a■的一阶差分数列，其中△an=an+1-an(n∈N)，对正整数k，规定△■a■为a■的k阶差分数列，其中△■a■=△■a■-△■a■=△（△■an）。
（1）已知数列a■的通项公式a■=n2+n（n∈N*），试判断△a■是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列a■首项a1=1，且满足△■a■-△a■+a■=-2■（n∈N），求数列a■的通项公式。
（3）对（2）中数列a■，是否存在等差数列b■，使得b■C■■+b■C■■+…… +b■C■■=a■对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列 b■的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解析：（1）△an=an+1-an=（n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2，∴a■是首项为4，公差为2的等差数列。
（2）△■a■-△a■+a■=-2■，即△a■-△a■-△a■+a■=-2■，即△a■-a■=2■，∴a■=2a■+2n，∵a1=1，∴a2=4=2× 21，a3=12=3×22，a4=32=4×23 ，
猜想：an=n·2n-1
证明：ⅰ）当n=1时，a1=1=1×20 ；
ⅱ）假设n=k时，ak=k×2k。当n=k+1时，ak+1=2ak+2k=k·2k+2k=（k+1）·2（k+1）-1结论也成立。∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an=n·2n-1。
（3）b■C■■+b■C■■+… +b■C■■=a■，即b■C■■+b■C■■+… +b■C■■=n·2n-1，
∵１C■■+２C■■+…+ｎC■■＝ｎ（C■■＋C■■+C■■+… +C■■）＝n·2n-1，∴存在等差数列b■，ｂｎ＝ｎ，使得b■C■■+b■C■■+……+b■C■■＝ａｎ对一切自然数 n∈N都成立。
提示：关于ｋ阶差分数列是高等数学里的一个概念，所以，本题是一道难度比较大的选拔性的试题，其解题方法虽在课内，而解题的智能却在课外。
关键词：高中数学；探究题型
数学探索题分为条件探究型、结论探究型、规律探究型等。它是考查能力的好题型，因而成为历年高考命题的热点内容。
一、条件探究型
例1：已知■≤a≤1，若函数f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）。
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）判断函数g（a）在区间■，1上的单调性，并求出g（a）的最小值 。
解析：（1）∵■≤a≤1，∴f（x）的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x=■∈[1，3]，∴f（x）有最小值N（a）=1-■；
当2≤■≤3时，a∈■，■，f（x）有最大值M（a）=f（1）=a-1;
当1≤■<2时，a∈(■，1]，f（x）有最大值M（a）=f（3）=9a-5
∴g（a）=a-2+■（■≤a≤■），9a-6+■（■
∴g（a1）>g（a2），∴g（a）在■，■上是减函数。
设■
二、结论探究型
例2：（１）设A为动椭圆的中心，BD为过焦点F的弦，M为BD的中点，连接AM并延长交椭圆于点C。求证：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是■为定值且值为■（其中a为椭圆的半长轴）；
（2）命题（1）的结论能推广到双曲线吗？为什么？
解析：（１）不妨设椭圆方程为■+■=1（a>b>0），F（c，,0）为右焦点，B(x1，y1)，D（x2，y2），,M(x0,y0)，弦BD的方程为x=my+c
联立两方程■+■=1与x=my+c，得（m2b2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，
于是有y0=■=-■，x■=my■+c=■，由椭圆的第二定义，得|BD|=■[2·■-(x1+x2)]=2a-■，于是■=2-■。
首先，若四边形ABCD为平行四边形，则点C的坐标为（2x0，2y0），将其代入椭圆方程并化简得4c2=m2b2+a2，由此可得■=■。
其次，若■=■，则4c2=m2b2+a2 ，于是有x0=■=■，y0=-■=-■，从而，■+■=■=1，也就是点（2x0，2y0）在椭圆上，且M平分AC，故ABCD为平行四边形。
（2）命题（1）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD不可能为平行四边形。
提示：关于命题（1）的结论在双曲线中是否成立，这是需要探索的问题。当然，我们也可以考虑圆、抛物线中的情形。
三、规律探究型
例3：对数列a■，规定△a■为数列a■的一阶差分数列，其中△an=an+1-an(n∈N)，对正整数k，规定△■a■为a■的k阶差分数列，其中△■a■=△■a■-△■a■=△（△■an）。
（1）已知数列a■的通项公式a■=n2+n（n∈N*），试判断△a■是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列a■首项a1=1，且满足△■a■-△a■+a■=-2■（n∈N），求数列a■的通项公式。
（3）对（2）中数列a■，是否存在等差数列b■，使得b■C■■+b■C■■+…… +b■C■■=a■对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列 b■的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解析：（1）△an=an+1-an=（n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2，∴a■是首项为4，公差为2的等差数列。
（2）△■a■-△a■+a■=-2■，即△a■-△a■-△a■+a■=-2■，即△a■-a■=2■，∴a■=2a■+2n，∵a1=1，∴a2=4=2× 21，a3=12=3×22，a4=32=4×23 ，
猜想：an=n·2n-1
证明：ⅰ）当n=1时，a1=1=1×20 ；
ⅱ）假设n=k时，ak=k×2k。当n=k+1时，ak+1=2ak+2k=k·2k+2k=（k+1）·2（k+1）-1结论也成立。∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an=n·2n-1。
（3）b■C■■+b■C■■+… +b■C■■=a■，即b■C■■+b■C■■+… +b■C■■=n·2n-1，
∵１C■■+２C■■+…+ｎC■■＝ｎ（C■■＋C■■+C■■+… +C■■）＝n·2n-1，∴存在等差数列b■，ｂｎ＝ｎ，使得b■C■■+b■C■■+……+b■C■■＝ａｎ对一切自然数 n∈N都成立。
提示：关于ｋ阶差分数列是高等数学里的一个概念，所以，本题是一道难度比较大的选拔性的试题，其解题方法虽在课内，而解题的智能却在课外。