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【摘要】数学探究教学模型的结构构成在于四个主要环节：发现（提出）问题的环节；发掘隐含信息的环节；学生通过整合所有信息形成数学知识认识的环节；对于探究活动过程前三个环节进行分析、抽象的环节。教师应通过利于启发学生进行探究的数学信息，分阶段帮助学生形成独立研究数学信息、产生数学知识的学习方法。
【关键词】数学探究；教学模型；结构与方法
【作者简介】张昆，中学高级教师，博士，供职于淮北师范大学数学科学学院、淮北市第一中学，研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、 数学史。寻求数学知识与获得数学真理的途径不止一条。在学校教育教学中，教师有计划、有目的地引导学生依靠自己的探究发现知识与真理的途径，具有更好的教育意义。探究的过程是通过调查研究信息的过程，将探究活动过程用于数学教学过程，有利于学生更为独立地擴展知识，促进新旧知识的联结，促使学生观念中的知识条理化与结构化。因此，探究是促进学习者自主学习入门的方法。在数学课堂教学过程中，当学生的学习活动很少需要教师指导，同时，学生又能提出或发现新的数学知识（包括数学事实、数学概念、数学技能与数学原理）时，一种数学课堂中理想的探究条件就出现了。本研究主要考察数学课堂教学探究模型的结构与方法。
一、数学探究教学模型的结构
从一般的发现知识与真理的意义上说，探究模型是一般性解决问题模型的一种特殊情况。一般性解决问题模型的构成具有五个步骤（环节）：其一，提出或发现一个一般性的问题；其二，利用学科语言与知识，把这个一般性的问题重新叙述为可解的形式；其三，琢磨出某种解决问题的方法；其四，试图使用这种琢磨出来的方法解决这个问题；其五，对解答及其方法加以评价与反思。数学探究教学模型与这种一般性解决问题的模型在形式上具有相似性。因此，把一般性解决问题模型应用于数学教学活动所形成的数学课堂教学活动的结构组织形式，其具体步骤可以分解为以下四个环节。
第一个环节，教师设置问题情境（生活的情境，或者数学知识结构中的认知冲突），使学生认识一个疑难问题，或者促使学生想要获得数学知识（事实、技能、概念与原理）。在数学课堂教学的这个阶段，比较好的教学设计是，教师通过渲染铺垫，激发学生对某些信息一探究竟的好奇心，通过辨认、观察、分析、综合与评价等活动，将这些信息数学化，从而依据学生的数学现实背景，提出一个恰当的问题。好的数学问题有利于探究者发现有用的数学概念、数学原理等，有利于探究者对困难问题的解答。为了找到有用的或有趣味的探究数学化信息的途径，依据最近发展区理论，某些信息有必要稍微超出学生已有的数学知识、经验与方法，并且稍微高出一般性课程的要求。如此，基于学生的现有数学现实，有价值的探究活动才能真正得以形成。
第二个环节，由于学生在某些信息情境中遇到某个难题，因此，他们会围绕这个难题收集用于研究各种情况的信息，发掘其中内含的隐蔽信息。这种收集信息的活动，可以由两种方式进行：其一，找出解决问题的活动方式，熟悉各种不同的解题技巧和一般的解题过程中新出现的解决方法，这促使解题者在解答某一类问题用明显的标准解法行不通时，将过去在解题活动中积累起来的解决问题方法加以组合或变化，建构适合这个具体的数学化信息的特殊方法；其二，通过分析收集到的数学化信息解决问题，通常需要找出原有信息隐含的信息，将新信息与原始问题的信息组织起来。解题者如果认识到各种信息的来源，善于收集、分析、评价、提炼、综合这些信息，他就可能成为一个成功的、有效率的问题解决者。在收集与组织信息时，问题解决者应该提出诸如此类的问题：这些信息在这个领域有哪些标准的关联？这些关联在哪里？还有哪些新信息的来源？这些信息来源的可靠性程度如何？这些信息来源是否暗示了其他信息来源？等等。
第三个环节，解题者把在第二个环节中发现的信息结构组建成某种形式的知识结果（有的可能需要检验与论证），并将其与解题者已经掌握了的数学知识重新组织，从而扩展解题者的现有知识。在这个阶段，解题者已经获得了一种发现，解决了一个问题或证明了一个定理。在关于指定信息的探究活动上，原理提出来了，信息中所隐含的数学关系或空间形式建立起来了，数学知识结构得以确定，结论推导出来了，于是，新情况产生了，数学知识也就得以扩展了。对于从事探究活动的解题者来说，这个阶段具有高度个性化的特点，而且在这个环节，个人的天赋才能（分析、综合、想象、评价等能力）显现出来了。解题者利用这个阶段重新组织和扩展现有知识，需要下面一些活动：发掘隐含信息，寻找关系，寻找典型，持有一个新的观点，对于超出自己所掌握的信息范围尝试不同的方法，重新组织信息，运用有效的推理形式，用一般解决问题的方法进行抽象、概括，寻求新的例子与反例，提出结论，证明所发现的结论的真实性，组织与交流自己的发现，等等。
第四个环节，在前三个环节的基础上，解题者需要分析与评价这三个探究环节自身。这个阶段是为了促使研究者更好地理解和改进探究方法，吸收有价值的探究经验，形成个性化的解决问题的技术结构。在这个阶段，认识从解决一个特定情况下的问题转移到考虑探究过程本身，对于优化探究者的认知结构意义重大。每个学科都有自己个性化探究活动的方法，各个学科的探索者都有一个目的，即改进他们所研究的学科范围内的现有探究方法，并且通过新的问题信息提出新的探究活动过程，获得新的探究方法，使它可以用于进一步发展这门学科知识的新领域。与探究的整个过程一样，分析与评价一个探究过程，就是提出问题和尝试解决问题，提出可以用于探究最后阶段的一些问题：提出问题时，有什么程序？概括的发现是如何引起的？典型的个案是如何出现的？什么样的信息或组织信息的程度导致了发现的不一致？收集信息时采用什么样的程序？解决问题时采用了什么样的逻辑推理形式？得出结论时采用了什么样的思维过程？这一过程是如何引起的？解决这个问题所使用的方法是否可以推广与应用于解决其他问题？等等。 总之，对数学信息的这四个探究环节所形成的技术结构的心理活动过程，可以刻画为：当学习者面临数学问题时，一般情况下，对于受教育者而言，相对来说问题所提供的信息杂乱无章，不是轻而易举就能理出头绪的。于是，要达到真正解决问题的目的，就必须经由意识机能的过滤、比较、辨别，从中选择一项或几项关联作为支点信息，并且依据这一支点信息，调用附着在观念上的、存储在记忆库中的众多知识框架中的某一知识框架，作为套用支点式信息的“凝聚核”，将其他诸多信息吸附到这个“凝聚核”的周围，意识机能再对其进行调整与排列，使外在于主体的信息构成一种不稳定的结构轮廓。意识机能又通过自己的监控系统，对基于自己的工作所选择的结构轮廓进行评价、判断，最终将外在问题提供的支点信息生成的结构轮廓，与主体选择作为“凝聚核”的记忆库知识框架的相关元素进行对比、试图匹配（如图1所示）[1]。
圖1数学思维活动框架图
二、数学探究教学模型的课堂教学方法
对于教育教学而言，数学学科具有两个一般性的教育目的：其一，启发学生通过探究数学化信息形成数学知识的活动（包括事实、技能、概念与原理），生成一般的数学探究过程；其二，启发学生形成数学探究活动的独特方法。数学探究教学模型的主要任务与目的是通过探究活动过程使学生形成探究方法，学会独立地进行探究活动。具体表现有：促进学生发展探究和加工数学知识的智力技能；促进学生发现数学化信息中的因果关系进而形成逻辑推理；促进学生发现导致数学概括的变量之间的关系；促进学生更好地理解数学的基础与学习的特性；促进学生鉴赏数学家的有价值的数学方法。
促进学生形成探究方法，也是使用探究方法学习数学的第一步，是介绍、解释与讨论上述探究过程的四个关键环节。教师要通过提出问题，启发与指导学生讨论关于探究过程中的四个环节的活动，也要引导学生自己提出一些其他问题，进行探究活动，把这些问题应用于探究过程的每个环节，从而使学生在面对数学化问题时偏向于选择探究的方法，将探究活动的这四个次第环节内化为自觉行为。
当启发学生在四个环节中的第一个环节开展探究活动时，教师应该鼓励学生以问题中的数学化信息为依据，寻找数学框架套用信息（如图1所示）的典型、构成与概括，奖励提出数学化假设和命题的学生，将好奇、推测与评价等活动作为数学课堂的学习特征。教师要注意依据某节课的课时教学知识特点，选择与决定提出的问题。这些问题是学生经过一定程度的努力可以独立解决的，如学生可以得到算法或者形成数学概念、原理等，从而生成具体的、特定的数学知识。教师给学生布置的作业，应当要求学生通过数学化信息分析算法、命题的发现与证明等，自行比较习题解答的不同方法，并且评价每种方法。提出问题与尝试解答问题应该是每节数学课的一个有机组成部分，教师对学生提出的问题应当加以评价并引导学生讨论。学生自然是好奇的，而数学则充满了引起好奇的事实、概念、原理与关系。如果学生在课堂上对于问题的回答比较草率、推延或者忽视，那么，学生对这节探究课就不能很好地接受，教师运用这种数学探究教学模型的效果就会大打折扣。教师必须通过尊重与赞扬学生提出的问题，为他们树立榜样，以利于通过数学探究教学模型的施教活动，提高课堂教学的有效性。
大多数学生在形成探究活动的第二个阶段需要得到教师的帮助，一些学生不太善于找出发现数学问题和运用收集数据的程序。学生缺乏这些技能的主要原因是：其一，在教师的观念中，启发学生发现（提出）数学问题并非一项重要的教学活动，课本与教师即使不是唯一的数学知识的来源，也会是主要的来源；其二，学生通过自行阅读收集相应资料的技能，在一些数学课堂教学中没有得到相应的发展，学生也不会主动寻找材料展开数学学习活动；其三，数学实验的技能在一般的数学课堂教学中没有被引导和发展。
因此，教师在进行课堂教学与课后辅导时，需要针对这些情况相应地帮助学生发展这些技能。如教师要针对具体数学知识的特点，设法创设问题情境，启发学生发现（提出）问题；渗透数学实验或数学思想，收集数学材料；给学生布置有关数学阅读与收集资料的作业，要求学生发现（提出）、评价问题，从提出问题与评价活动中进行抽象与概括。
在引导学生进行重新组织与扩展现有知识的第三个阶段，教师应要求学生独立地学习，重视个人的学习积极性。重新组织与扩展现有知识，对于学生来说是一个相对困难的活动，他们只有通过一般性解题方法的联系才能学会。在这个阶段，学生应该独立工作，或者分小组工作，教师不应该给学生过多的帮助。在课堂教学时，教师对重新组织和扩展数学知识是非常熟悉的。一些教师可能认为，作为社会成员，教师只有在他扮演的社会角色中才能表现自己、证明自己，做到自我实现，而这一切在讲课时才能得到最好的体现。这是一种普遍的心理现象，要克服这一点是很困难的。可以设想，教师在教学中要以“像学生一样的探索者”身份出现，明明知道答案，却要假装不知道；明明掌握了问题的绝妙解法，却要不动声色，在课堂上启发学生自己思考。这正如一个厨师，为他人做好了一桌美味佳肴，而自己却不能置身其中，无论如何总是一件非常为难的事。这是教师的一种人性弱点[2]。
于是，一方面，教师的这种人性弱点可能会模糊探究教学模型所要实现的主要目的，使学生在发现数学知识的某些关键环节不知不觉地被教师的教学活动干扰；另一方面，探究过程的这个阶段在教学活动中会进展缓慢，由于受到了课堂教学时间的限制，教师往往会将自己通过备课所得到的结论推导过程奉献给学生。这两方面都有可能阻碍数学课堂教学活动产生真正的探究过程，这是教师要特别注意的地方。因此，要真正地通过这个环节实现教学目标，教师就要免于直接或间接地告诉学生该如何发现具体的数学知识。一节数学课的教学目标并不是教师迅速地完成教学任务，而是在启发与指导学生通过探究发生数学知识认识活动时，让学生意识到探究活动本身是非常重要的，而学习知识内容本身只是支持探究活动开展的手段而已。 在引导学生分析与评价探究方法的第四个阶段，就学生掌握数学学习方法而言，这个阶段是探究活动过程中最为重要的一个阶段。探究者或学习者只有到了这个阶段才能提出这样的问题：通过探究活动，我学到了什么？学习者通过自己的探究方法发现相应的数学知识，就会更好地理解数学方法。教师与学生应该提出前面的那些问题，学生应该力所能及地尝试回答每一个问题。在探究活动的这个阶段，教师在课堂上可以起到更为积极的作用，向学生提出引导性的问题，帮助学生分析与评价他们自己所形成的探究方法，并且说明探究步骤的可靠性，从中促进学生生成探究活动的经验。
在一节探究性教学的数学课即将结束时，学生应该尝试回答这样的两个问题（未必需要经由教师提问）：通过这节课，我学到了什么数学知识内容？探究方法对我今后的数学学习有哪些启发？这样的及时巩固可以增强记忆与形成经验。
总之，相对于探究活动的四个阶段，教师通过课堂教学活动，启发学生探究，帮助学生掌握探究方法，也应分为相应的四个阶段。由于探究的各个阶段的侧重点不一样，基于各个阶段的不同特点的探究活动也不一样。第一个阶段重在培养学生发现（提出）问题的有效方法；第二个阶段重在鼓励学生基于给定的信息发掘隐含的信息的方法；第三个阶段重在启发学生综合与整理信息，生成数学知识的方法；第四个阶段重在引导学生分析与评价自己的探究方法。
三、数学探究教学模型的一个课例
在“单项式除以单项式”这节课中，教科书提示引导学生认识这个知识点的内容是：
思考：15a4b3x2÷3a2b3=？
接着，教材这样表述：
我们知道，计算15a4b3x2÷3a2b3，就是要求一个单项式，使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2。
因为（5a2x2）·（3a2b3）=15a4b3x2，
所以15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2。
分析所得到的式子，你能得到什么规律？
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式[3]。
教科书的编写者力图引导教师在课堂教学活动中通过探究教学模型进行教学。教科书这样呈现知识无可厚非，但是教师应该依据教科书的要求，在教学设计时对这段教学内容重新加以组织，进一步启发学生完成探究活动过程。如以下一节课中教学活动关键环节的实录（其中，省略号表示学生思维活动的中断）。
（教师板书——15a4b3x2÷3a2b3=？①）
生：……
师：这不仅是一道数学习题，而且更为重要的是，我们需要通过解决这道习题，產生单项式除以单项式的法则。遗憾的是，大家不能独立地解决这个问题。那么，同学们回想一下，哪些知识有利于这个问题的解决呢？
生1：单项式乘以单项式的法则。
生2：分数约分的法则。
生3：单项式的除法是单项式的乘法的逆运算。
师：很好！大家想到了几种方法。我们可以选择哪种方法呢？
（注：教师在课堂上观察学生的活动，学生各自的想法都可以得到相应的结果。）
师：请同学们各自回答自己的想法是如何实现的。
生1：对照单项式的乘法法则，可以得到相应的除法法则，结论经验证是正确的。
生2：把这个除式写成分式的形式，能非常好地进行约分加以处理。
生3：运用除法是乘法的逆运算，通过观察可以得到15a4b3x2÷3a2b3的商为5a2x2，然后反过来探求这个商是如何产生的，就可以得到单项式除以单项式的除法法则。
师：生1与生2采用的是类比的方法，生3采用的是观察的方法，这些都是偏于直觉的思维，带有猜想的性质（教材的提示就是采用这种方法）。可否将其转化成使用分析的方法发现单项式除以单项式的法则呢？
师：换一种说法。生3提供的利用乘法是除法的逆运算，就是要找一个单项式使它乘以①式中的除式3a2b3，得到被除式15a4b3x2，即（？）·3a2b3=15a4b3x2②。② 式中括号里究竟含有哪些元素呢？
生4：首先，括号里应该有一个系数；其次，可能有字母a，b与x……
师：很好！生4的猜想对于我们得出结论很有帮助，也就是，这些元素必须组成一个单项式。我们可以设这个单项式为kapbqxr，于是，kapbqxr·3a2b3=15a4b3x2，之后就可以利用单项式的乘法法则，确定待定的系数与指数。（具体过程略；教学的巩固、小结等环节略）
这个课例的教学内容虽然简单，但它较好地执行了数学探究教学模型的四个关键环节。学生从这种探究过程中获得相应的体验与经验，并且在不知不觉中形成了解决数学问题的方法（待定系数法、指数法），充分体现了探究教学模型的价值。
参考文献：
[1]张昆.论数学教学设计的心理取向[J].中学数学教学，2016（2）：510.
[2]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015（1）：3337.
[3]《新时代数学》编写组.义务教育课程标准实验教科书数学七年级（下册）[M].上海：上海科学技术出版社，2012.
【关键词】数学探究；教学模型；结构与方法
【作者简介】张昆，中学高级教师，博士，供职于淮北师范大学数学科学学院、淮北市第一中学，研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、 数学史。寻求数学知识与获得数学真理的途径不止一条。在学校教育教学中，教师有计划、有目的地引导学生依靠自己的探究发现知识与真理的途径，具有更好的教育意义。探究的过程是通过调查研究信息的过程，将探究活动过程用于数学教学过程，有利于学生更为独立地擴展知识，促进新旧知识的联结，促使学生观念中的知识条理化与结构化。因此，探究是促进学习者自主学习入门的方法。在数学课堂教学过程中，当学生的学习活动很少需要教师指导，同时，学生又能提出或发现新的数学知识（包括数学事实、数学概念、数学技能与数学原理）时，一种数学课堂中理想的探究条件就出现了。本研究主要考察数学课堂教学探究模型的结构与方法。
一、数学探究教学模型的结构
从一般的发现知识与真理的意义上说，探究模型是一般性解决问题模型的一种特殊情况。一般性解决问题模型的构成具有五个步骤（环节）：其一，提出或发现一个一般性的问题；其二，利用学科语言与知识，把这个一般性的问题重新叙述为可解的形式；其三，琢磨出某种解决问题的方法；其四，试图使用这种琢磨出来的方法解决这个问题；其五，对解答及其方法加以评价与反思。数学探究教学模型与这种一般性解决问题的模型在形式上具有相似性。因此，把一般性解决问题模型应用于数学教学活动所形成的数学课堂教学活动的结构组织形式，其具体步骤可以分解为以下四个环节。
第一个环节，教师设置问题情境（生活的情境，或者数学知识结构中的认知冲突），使学生认识一个疑难问题，或者促使学生想要获得数学知识（事实、技能、概念与原理）。在数学课堂教学的这个阶段，比较好的教学设计是，教师通过渲染铺垫，激发学生对某些信息一探究竟的好奇心，通过辨认、观察、分析、综合与评价等活动，将这些信息数学化，从而依据学生的数学现实背景，提出一个恰当的问题。好的数学问题有利于探究者发现有用的数学概念、数学原理等，有利于探究者对困难问题的解答。为了找到有用的或有趣味的探究数学化信息的途径，依据最近发展区理论，某些信息有必要稍微超出学生已有的数学知识、经验与方法，并且稍微高出一般性课程的要求。如此，基于学生的现有数学现实，有价值的探究活动才能真正得以形成。
第二个环节，由于学生在某些信息情境中遇到某个难题，因此，他们会围绕这个难题收集用于研究各种情况的信息，发掘其中内含的隐蔽信息。这种收集信息的活动，可以由两种方式进行：其一，找出解决问题的活动方式，熟悉各种不同的解题技巧和一般的解题过程中新出现的解决方法，这促使解题者在解答某一类问题用明显的标准解法行不通时，将过去在解题活动中积累起来的解决问题方法加以组合或变化，建构适合这个具体的数学化信息的特殊方法；其二，通过分析收集到的数学化信息解决问题，通常需要找出原有信息隐含的信息，将新信息与原始问题的信息组织起来。解题者如果认识到各种信息的来源，善于收集、分析、评价、提炼、综合这些信息，他就可能成为一个成功的、有效率的问题解决者。在收集与组织信息时，问题解决者应该提出诸如此类的问题：这些信息在这个领域有哪些标准的关联？这些关联在哪里？还有哪些新信息的来源？这些信息来源的可靠性程度如何？这些信息来源是否暗示了其他信息来源？等等。
第三个环节，解题者把在第二个环节中发现的信息结构组建成某种形式的知识结果（有的可能需要检验与论证），并将其与解题者已经掌握了的数学知识重新组织，从而扩展解题者的现有知识。在这个阶段，解题者已经获得了一种发现，解决了一个问题或证明了一个定理。在关于指定信息的探究活动上，原理提出来了，信息中所隐含的数学关系或空间形式建立起来了，数学知识结构得以确定，结论推导出来了，于是，新情况产生了，数学知识也就得以扩展了。对于从事探究活动的解题者来说，这个阶段具有高度个性化的特点，而且在这个环节，个人的天赋才能（分析、综合、想象、评价等能力）显现出来了。解题者利用这个阶段重新组织和扩展现有知识，需要下面一些活动：发掘隐含信息，寻找关系，寻找典型，持有一个新的观点，对于超出自己所掌握的信息范围尝试不同的方法，重新组织信息，运用有效的推理形式，用一般解决问题的方法进行抽象、概括，寻求新的例子与反例，提出结论，证明所发现的结论的真实性，组织与交流自己的发现，等等。
第四个环节，在前三个环节的基础上，解题者需要分析与评价这三个探究环节自身。这个阶段是为了促使研究者更好地理解和改进探究方法，吸收有价值的探究经验，形成个性化的解决问题的技术结构。在这个阶段，认识从解决一个特定情况下的问题转移到考虑探究过程本身，对于优化探究者的认知结构意义重大。每个学科都有自己个性化探究活动的方法，各个学科的探索者都有一个目的，即改进他们所研究的学科范围内的现有探究方法，并且通过新的问题信息提出新的探究活动过程，获得新的探究方法，使它可以用于进一步发展这门学科知识的新领域。与探究的整个过程一样，分析与评价一个探究过程，就是提出问题和尝试解决问题，提出可以用于探究最后阶段的一些问题：提出问题时，有什么程序？概括的发现是如何引起的？典型的个案是如何出现的？什么样的信息或组织信息的程度导致了发现的不一致？收集信息时采用什么样的程序？解决问题时采用了什么样的逻辑推理形式？得出结论时采用了什么样的思维过程？这一过程是如何引起的？解决这个问题所使用的方法是否可以推广与应用于解决其他问题？等等。 总之，对数学信息的这四个探究环节所形成的技术结构的心理活动过程，可以刻画为：当学习者面临数学问题时，一般情况下，对于受教育者而言，相对来说问题所提供的信息杂乱无章，不是轻而易举就能理出头绪的。于是，要达到真正解决问题的目的，就必须经由意识机能的过滤、比较、辨别，从中选择一项或几项关联作为支点信息，并且依据这一支点信息，调用附着在观念上的、存储在记忆库中的众多知识框架中的某一知识框架，作为套用支点式信息的“凝聚核”，将其他诸多信息吸附到这个“凝聚核”的周围，意识机能再对其进行调整与排列，使外在于主体的信息构成一种不稳定的结构轮廓。意识机能又通过自己的监控系统，对基于自己的工作所选择的结构轮廓进行评价、判断，最终将外在问题提供的支点信息生成的结构轮廓，与主体选择作为“凝聚核”的记忆库知识框架的相关元素进行对比、试图匹配（如图1所示）[1]。
圖1数学思维活动框架图
二、数学探究教学模型的课堂教学方法
对于教育教学而言，数学学科具有两个一般性的教育目的：其一，启发学生通过探究数学化信息形成数学知识的活动（包括事实、技能、概念与原理），生成一般的数学探究过程；其二，启发学生形成数学探究活动的独特方法。数学探究教学模型的主要任务与目的是通过探究活动过程使学生形成探究方法，学会独立地进行探究活动。具体表现有：促进学生发展探究和加工数学知识的智力技能；促进学生发现数学化信息中的因果关系进而形成逻辑推理；促进学生发现导致数学概括的变量之间的关系；促进学生更好地理解数学的基础与学习的特性；促进学生鉴赏数学家的有价值的数学方法。
促进学生形成探究方法，也是使用探究方法学习数学的第一步，是介绍、解释与讨论上述探究过程的四个关键环节。教师要通过提出问题，启发与指导学生讨论关于探究过程中的四个环节的活动，也要引导学生自己提出一些其他问题，进行探究活动，把这些问题应用于探究过程的每个环节，从而使学生在面对数学化问题时偏向于选择探究的方法，将探究活动的这四个次第环节内化为自觉行为。
当启发学生在四个环节中的第一个环节开展探究活动时，教师应该鼓励学生以问题中的数学化信息为依据，寻找数学框架套用信息（如图1所示）的典型、构成与概括，奖励提出数学化假设和命题的学生，将好奇、推测与评价等活动作为数学课堂的学习特征。教师要注意依据某节课的课时教学知识特点，选择与决定提出的问题。这些问题是学生经过一定程度的努力可以独立解决的，如学生可以得到算法或者形成数学概念、原理等，从而生成具体的、特定的数学知识。教师给学生布置的作业，应当要求学生通过数学化信息分析算法、命题的发现与证明等，自行比较习题解答的不同方法，并且评价每种方法。提出问题与尝试解答问题应该是每节数学课的一个有机组成部分，教师对学生提出的问题应当加以评价并引导学生讨论。学生自然是好奇的，而数学则充满了引起好奇的事实、概念、原理与关系。如果学生在课堂上对于问题的回答比较草率、推延或者忽视，那么，学生对这节探究课就不能很好地接受，教师运用这种数学探究教学模型的效果就会大打折扣。教师必须通过尊重与赞扬学生提出的问题，为他们树立榜样，以利于通过数学探究教学模型的施教活动，提高课堂教学的有效性。
大多数学生在形成探究活动的第二个阶段需要得到教师的帮助，一些学生不太善于找出发现数学问题和运用收集数据的程序。学生缺乏这些技能的主要原因是：其一，在教师的观念中，启发学生发现（提出）数学问题并非一项重要的教学活动，课本与教师即使不是唯一的数学知识的来源，也会是主要的来源；其二，学生通过自行阅读收集相应资料的技能，在一些数学课堂教学中没有得到相应的发展，学生也不会主动寻找材料展开数学学习活动；其三，数学实验的技能在一般的数学课堂教学中没有被引导和发展。
因此，教师在进行课堂教学与课后辅导时，需要针对这些情况相应地帮助学生发展这些技能。如教师要针对具体数学知识的特点，设法创设问题情境，启发学生发现（提出）问题；渗透数学实验或数学思想，收集数学材料；给学生布置有关数学阅读与收集资料的作业，要求学生发现（提出）、评价问题，从提出问题与评价活动中进行抽象与概括。
在引导学生进行重新组织与扩展现有知识的第三个阶段，教师应要求学生独立地学习，重视个人的学习积极性。重新组织与扩展现有知识，对于学生来说是一个相对困难的活动，他们只有通过一般性解题方法的联系才能学会。在这个阶段，学生应该独立工作，或者分小组工作，教师不应该给学生过多的帮助。在课堂教学时，教师对重新组织和扩展数学知识是非常熟悉的。一些教师可能认为，作为社会成员，教师只有在他扮演的社会角色中才能表现自己、证明自己，做到自我实现，而这一切在讲课时才能得到最好的体现。这是一种普遍的心理现象，要克服这一点是很困难的。可以设想，教师在教学中要以“像学生一样的探索者”身份出现，明明知道答案，却要假装不知道；明明掌握了问题的绝妙解法，却要不动声色，在课堂上启发学生自己思考。这正如一个厨师，为他人做好了一桌美味佳肴，而自己却不能置身其中，无论如何总是一件非常为难的事。这是教师的一种人性弱点[2]。
于是，一方面，教师的这种人性弱点可能会模糊探究教学模型所要实现的主要目的，使学生在发现数学知识的某些关键环节不知不觉地被教师的教学活动干扰；另一方面，探究过程的这个阶段在教学活动中会进展缓慢，由于受到了课堂教学时间的限制，教师往往会将自己通过备课所得到的结论推导过程奉献给学生。这两方面都有可能阻碍数学课堂教学活动产生真正的探究过程，这是教师要特别注意的地方。因此，要真正地通过这个环节实现教学目标，教师就要免于直接或间接地告诉学生该如何发现具体的数学知识。一节数学课的教学目标并不是教师迅速地完成教学任务，而是在启发与指导学生通过探究发生数学知识认识活动时，让学生意识到探究活动本身是非常重要的，而学习知识内容本身只是支持探究活动开展的手段而已。 在引导学生分析与评价探究方法的第四个阶段，就学生掌握数学学习方法而言，这个阶段是探究活动过程中最为重要的一个阶段。探究者或学习者只有到了这个阶段才能提出这样的问题：通过探究活动，我学到了什么？学习者通过自己的探究方法发现相应的数学知识，就会更好地理解数学方法。教师与学生应该提出前面的那些问题，学生应该力所能及地尝试回答每一个问题。在探究活动的这个阶段，教师在课堂上可以起到更为积极的作用，向学生提出引导性的问题，帮助学生分析与评价他们自己所形成的探究方法，并且说明探究步骤的可靠性，从中促进学生生成探究活动的经验。
在一节探究性教学的数学课即将结束时，学生应该尝试回答这样的两个问题（未必需要经由教师提问）：通过这节课，我学到了什么数学知识内容？探究方法对我今后的数学学习有哪些启发？这样的及时巩固可以增强记忆与形成经验。
总之，相对于探究活动的四个阶段，教师通过课堂教学活动，启发学生探究，帮助学生掌握探究方法，也应分为相应的四个阶段。由于探究的各个阶段的侧重点不一样，基于各个阶段的不同特点的探究活动也不一样。第一个阶段重在培养学生发现（提出）问题的有效方法；第二个阶段重在鼓励学生基于给定的信息发掘隐含的信息的方法；第三个阶段重在启发学生综合与整理信息，生成数学知识的方法；第四个阶段重在引导学生分析与评价自己的探究方法。
三、数学探究教学模型的一个课例
在“单项式除以单项式”这节课中，教科书提示引导学生认识这个知识点的内容是：
思考：15a4b3x2÷3a2b3=？
接着，教材这样表述：
我们知道，计算15a4b3x2÷3a2b3，就是要求一个单项式，使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2。
因为（5a2x2）·（3a2b3）=15a4b3x2，
所以15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2。
分析所得到的式子，你能得到什么规律？
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式[3]。
教科书的编写者力图引导教师在课堂教学活动中通过探究教学模型进行教学。教科书这样呈现知识无可厚非，但是教师应该依据教科书的要求，在教学设计时对这段教学内容重新加以组织，进一步启发学生完成探究活动过程。如以下一节课中教学活动关键环节的实录（其中，省略号表示学生思维活动的中断）。
（教师板书——15a4b3x2÷3a2b3=？①）
生：……
师：这不仅是一道数学习题，而且更为重要的是，我们需要通过解决这道习题，產生单项式除以单项式的法则。遗憾的是，大家不能独立地解决这个问题。那么，同学们回想一下，哪些知识有利于这个问题的解决呢？
生1：单项式乘以单项式的法则。
生2：分数约分的法则。
生3：单项式的除法是单项式的乘法的逆运算。
师：很好！大家想到了几种方法。我们可以选择哪种方法呢？
（注：教师在课堂上观察学生的活动，学生各自的想法都可以得到相应的结果。）
师：请同学们各自回答自己的想法是如何实现的。
生1：对照单项式的乘法法则，可以得到相应的除法法则，结论经验证是正确的。
生2：把这个除式写成分式的形式，能非常好地进行约分加以处理。
生3：运用除法是乘法的逆运算，通过观察可以得到15a4b3x2÷3a2b3的商为5a2x2，然后反过来探求这个商是如何产生的，就可以得到单项式除以单项式的除法法则。
师：生1与生2采用的是类比的方法，生3采用的是观察的方法，这些都是偏于直觉的思维，带有猜想的性质（教材的提示就是采用这种方法）。可否将其转化成使用分析的方法发现单项式除以单项式的法则呢？
师：换一种说法。生3提供的利用乘法是除法的逆运算，就是要找一个单项式使它乘以①式中的除式3a2b3，得到被除式15a4b3x2，即（？）·3a2b3=15a4b3x2②。② 式中括号里究竟含有哪些元素呢？
生4：首先，括号里应该有一个系数；其次，可能有字母a，b与x……
师：很好！生4的猜想对于我们得出结论很有帮助，也就是，这些元素必须组成一个单项式。我们可以设这个单项式为kapbqxr，于是，kapbqxr·3a2b3=15a4b3x2，之后就可以利用单项式的乘法法则，确定待定的系数与指数。（具体过程略；教学的巩固、小结等环节略）
这个课例的教学内容虽然简单，但它较好地执行了数学探究教学模型的四个关键环节。学生从这种探究过程中获得相应的体验与经验，并且在不知不觉中形成了解决数学问题的方法（待定系数法、指数法），充分体现了探究教学模型的价值。
参考文献：
[1]张昆.论数学教学设计的心理取向[J].中学数学教学，2016（2）：510.
[2]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015（1）：3337.
[3]《新时代数学》编写组.义务教育课程标准实验教科书数学七年级（下册）[M].上海：上海科学技术出版社，2012.