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【摘要】代数是数学学习的重要内容，而函数是代数的核心知识，也是代数的难点.教材编写应当遵循学生认知规律，关注学生个性差异，提倡多样化的学习方式，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间，为教师营造教学创新的环境，为师生互动式教学提供民主的氛围和丰富的资源.而要达到这一目的，教材编写应遵循螺旋上升的原则.通过螺旋上升的教材编排形式，函数概念的影子从小学、初中、高中越来越清晰.
【关键词】函数概念；呈现方式；螺旋式上升
M·克莱茵说过，一般受教育者在课堂上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.函数是中学数学的核心内容，也是高中数学的一条主线.因此，函数的学习必须强调连续性与整体性，必须多次接触，反复体会，螺旋式上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活运用.在当前的基础教育新课程中，“螺旋式上升”的课程设计和教材编排得到普遍认同.《数学课程标准》中明确提出“重要的数学概念与数学思想方法宜体现‘螺旋式上升’的原则”.本文就人教版数学小学、初中、高中在函数这一知识体系的呈现上如何体现“螺旋式上升”的.
1.小学——函数是对应
小学阶段在认识数的过程中，我们经常会遇到这样的问题： =5，这是我们接触到函数的最早模型，方框中可以填写1、4；2、3，但每组数必须对应.到了五年级，我们在“量一量找规律”这一节，探究弹簧伸长长度和拉力大小有什么关系，“函数”概念逐渐体现，并且学生们开始接触可以将一组一组对应的数通过表格、折线图表示.在这一阶段，没有函数的概念，仅仅有一些对应的数的概念.但这些对应的数他们不陌生，在已有的认知结构中，他们知道照片上的人和他的名字是一种对应；商店中文具与价钱也是一种对应，这些都是对应的现实模型.史宁中教授认为，整个基础教育阶段的数学教育，应当从课程设计的角度统筹考虑.我们应当清楚每个年龄段的学生适于学习什么，怎样学.如果把小学分为两个学段，第一学段不要过多地学习数学，因为那时的孩子还不能很好地理解数学所表达的意义；第二阶段不要过多地涉及逻辑，因为学生还没有建立起足够的可以理解逻辑的概念.所以，在这个阶段我们没有提出函数的概念.
2.初中——函数是变量
认知心理学认为影响学习最重要的一个因素就是学习者已经知道的是什么.开始接触函数概念之前，学生所学的大多数是静态的代数内容：代数式与方程.函数作为新的学习内容，认知结构中找不到有关观念与之联系.所以教材在提出函数概念之前先举出4个例子：①汽车匀速行驶过程中，行驶路程s随行驶时间t的变化；②电影票房收入y随售出电影票的张数x的变化；③圆的面积s椭圆半径r的变化；④周长固定，矩形一边长y随另一边长x的变化.通过分析这些例子的共同属性引入常量和变量.在此基础上，引入“函数”与“自变量”的概念，即“设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数”.在这一阶段，学生对函数认知的螺旋式上升体现在：①实现了静态向过程的转变.函数概念的学习，使学生产生应用单个“变量”刻画“变化过程”的意识，学会借助作为“变化过程”的函数，进行在静止与运动、离散与连续之间思维方式的变化，这是认知能力的飞跃.②实现由算式向函数的转变.初中函数概念比较宏观，是动态的定义，但在初中阶段研究的对象却不都是“运动”的，而是我们用“运动”的观点去看待，这是思维方式的巨大改变.πr2也是变量，因此，每个代数式都是这个字母的函数.这样，从函数学习的观点重新认识代数式，找出了代数式与函数的区别与联系.从而，既训练了学生思维的活跃性，也促进了思维结构的迅速改组.并且，在学习“函数与图像”后，明确算式只是函数的一种表示，表格、图像都可表示函数，求方程的根可以看作是求已知函数的值为零时自变量的值，逐步让学生认识到可将很多问题统一到函数范畴，用函数表征变量之间的关系.
3.高中——函数是关系
根据初中生的认知能力，初中教材只是让学生初步了解函数概念，只要求学生知道两个变量对应，而没有揭示函数中的两个变量应按怎样的法则进行对应这一实质.到了高中，从集合、对应关系的观点出发定义函数，突出“对应关系”.即设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记y=f（x），x∈A.这种定义，是对初中函数定义进行的抽象化，精确化，是一种微观表现形式.在这一阶段，学生对函数认知的螺旋式上升体现在：①实现函数宏观到微观的转变.初中函数概念刻画了函数外部特征，认为“函数是变量”.然而，对函数的进一步研究，需要在宏观的基础上，微观的研究.所以用“对应关系”来理解函数是很有必要的.这一转变，使学生对函数的认知得到进一步提升.②实现函数“具体化”到“形式化”的转变.从变量到函数的抽象符号表示过程来看，学生可能产生理解障碍，思维受阻.为了突破抽象的函数语言带来的思维障碍，教材在函数的性质与应用的学习中，让学生通过多种训练方式，引导学生学习“形式化”的表征，认识到“形式化”函数语言的本质.
所以，学生对函数概念的理解，需要一个循序渐进、螺旋式上升的过程.提高学生对函数的理解能力、应用能力的关键，是要引导学生经历认识变量、突出关系、区别函数与算式、掌握“对应”、把握“形式化”描述、形成函数对象等螺旋式上升的认知过程.
【关键词】函数概念；呈现方式；螺旋式上升
M·克莱茵说过，一般受教育者在课堂上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.函数是中学数学的核心内容，也是高中数学的一条主线.因此，函数的学习必须强调连续性与整体性，必须多次接触，反复体会，螺旋式上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活运用.在当前的基础教育新课程中，“螺旋式上升”的课程设计和教材编排得到普遍认同.《数学课程标准》中明确提出“重要的数学概念与数学思想方法宜体现‘螺旋式上升’的原则”.本文就人教版数学小学、初中、高中在函数这一知识体系的呈现上如何体现“螺旋式上升”的.
1.小学——函数是对应
小学阶段在认识数的过程中，我们经常会遇到这样的问题： =5，这是我们接触到函数的最早模型，方框中可以填写1、4；2、3，但每组数必须对应.到了五年级，我们在“量一量找规律”这一节，探究弹簧伸长长度和拉力大小有什么关系，“函数”概念逐渐体现，并且学生们开始接触可以将一组一组对应的数通过表格、折线图表示.在这一阶段，没有函数的概念，仅仅有一些对应的数的概念.但这些对应的数他们不陌生，在已有的认知结构中，他们知道照片上的人和他的名字是一种对应；商店中文具与价钱也是一种对应，这些都是对应的现实模型.史宁中教授认为，整个基础教育阶段的数学教育，应当从课程设计的角度统筹考虑.我们应当清楚每个年龄段的学生适于学习什么，怎样学.如果把小学分为两个学段，第一学段不要过多地学习数学，因为那时的孩子还不能很好地理解数学所表达的意义；第二阶段不要过多地涉及逻辑，因为学生还没有建立起足够的可以理解逻辑的概念.所以，在这个阶段我们没有提出函数的概念.
2.初中——函数是变量
认知心理学认为影响学习最重要的一个因素就是学习者已经知道的是什么.开始接触函数概念之前，学生所学的大多数是静态的代数内容：代数式与方程.函数作为新的学习内容，认知结构中找不到有关观念与之联系.所以教材在提出函数概念之前先举出4个例子：①汽车匀速行驶过程中，行驶路程s随行驶时间t的变化；②电影票房收入y随售出电影票的张数x的变化；③圆的面积s椭圆半径r的变化；④周长固定，矩形一边长y随另一边长x的变化.通过分析这些例子的共同属性引入常量和变量.在此基础上，引入“函数”与“自变量”的概念，即“设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数”.在这一阶段，学生对函数认知的螺旋式上升体现在：①实现了静态向过程的转变.函数概念的学习，使学生产生应用单个“变量”刻画“变化过程”的意识，学会借助作为“变化过程”的函数，进行在静止与运动、离散与连续之间思维方式的变化，这是认知能力的飞跃.②实现由算式向函数的转变.初中函数概念比较宏观，是动态的定义，但在初中阶段研究的对象却不都是“运动”的，而是我们用“运动”的观点去看待，这是思维方式的巨大改变.πr2也是变量，因此，每个代数式都是这个字母的函数.这样，从函数学习的观点重新认识代数式，找出了代数式与函数的区别与联系.从而，既训练了学生思维的活跃性，也促进了思维结构的迅速改组.并且，在学习“函数与图像”后，明确算式只是函数的一种表示，表格、图像都可表示函数，求方程的根可以看作是求已知函数的值为零时自变量的值，逐步让学生认识到可将很多问题统一到函数范畴，用函数表征变量之间的关系.
3.高中——函数是关系
根据初中生的认知能力，初中教材只是让学生初步了解函数概念，只要求学生知道两个变量对应，而没有揭示函数中的两个变量应按怎样的法则进行对应这一实质.到了高中，从集合、对应关系的观点出发定义函数，突出“对应关系”.即设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记y=f（x），x∈A.这种定义，是对初中函数定义进行的抽象化，精确化，是一种微观表现形式.在这一阶段，学生对函数认知的螺旋式上升体现在：①实现函数宏观到微观的转变.初中函数概念刻画了函数外部特征，认为“函数是变量”.然而，对函数的进一步研究，需要在宏观的基础上，微观的研究.所以用“对应关系”来理解函数是很有必要的.这一转变，使学生对函数的认知得到进一步提升.②实现函数“具体化”到“形式化”的转变.从变量到函数的抽象符号表示过程来看，学生可能产生理解障碍，思维受阻.为了突破抽象的函数语言带来的思维障碍，教材在函数的性质与应用的学习中，让学生通过多种训练方式，引导学生学习“形式化”的表征，认识到“形式化”函数语言的本质.
所以，学生对函数概念的理解，需要一个循序渐进、螺旋式上升的过程.提高学生对函数的理解能力、应用能力的关键，是要引导学生经历认识变量、突出关系、区别函数与算式、掌握“对应”、把握“形式化”描述、形成函数对象等螺旋式上升的认知过程.