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教学“游戏公平”,一般教学流程是先让学生列举游戏公平的规则,再用试验的方法来验证抛硬币正面朝上与反面朝上的等可能性。这样的教,学生不仅产生不了学习的愿望,而且往往因正面朝上占实验总数的数据(频率)与概率的不一致会带来困惑,令学生由清楚变成了糊涂。特级教师华应龙在教学“游戏公平” 时,先提出问题:“用抛瓶盖的方法做决定公平吗?”再通过实验作出推断和分析不公平的原因所在,进而激发学生寻找公平的策略,让课堂凸显了精彩。
[片段一]用频率估计概率,体现统计思想
(教师出示鸟巢图片)
师:请看大屏幕,这是哪儿?
生齐答:鸟巢。
师:举世瞩目的北京奥运会圆满地、无与伦比地结束了。去过北京,现场看奥运会的请举手。没有人,的确,就是北京当地的人也买不到奥运会门票。我有一位朋友,知道我当年是学校篮球队的队长,就专门帮我买了一张男子篮球决赛的门票。我儿子也是篮球迷。怎么办呢?饭桌上,我和儿子商量。我儿子看到桌子上有一个啤酒瓶盖,就说:“爸爸,我们就抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去,如果反面朝上就您去。”
(教师出示瓶盖正反面图片,并标注“正——儿子,反——爸爸”)
师:这个办法好不好?
生1:我认为是公平的,因为儿子去的机会是二分之一,爸爸去的机会也是二分之一。
师:二分之一,就是这个瓶盖抛起来的时候,可能是正面朝上,也可能是反面朝上,只有两种可能,并且抛一次的话,一定有一面朝上,所以是公平的。有没有不同的想法?
生2:我认为啤酒瓶盖的反面那一圈是折起来的,这一面的重量会比正面的重量大,所以爸爸胜的可能性比较大。
师:能用“可能性”这个词很好。同意这个观点的请举手。
(部分同学同意)
师:看来有两种意见了。用抛啤酒瓶盖的办法来决定谁去看比赛,究竟公平不公平,答案不一致。怎么办呢?
生3:做个试验呗。看一下到底有没有问题。
(接着,学生亲自经历实验的过程,收集实验数据,分析实验结果,并将所得结果与自己的猜测进行比较)
师:我们看看各大组得出的数据,能看出什么?
生4:反面赢的可能性一定大于正面。
众生:同意。
师:当试验次数比较少的时候,偶然性比较大。试验的次数多一些的时候,本来的面目就表现出来了,我们就看到了一个规律:啤酒瓶盖反面朝上的可能性大。为什么反面朝上的可能性大呢?请同学们思考。
……
[赏析] 学生的生活经验是学习的基础,这是毋庸置疑的,但其中一些错误的经验则有碍新知的构建。逐步消除学生错误的经验,使之建立正确的直观经验是我们教学的一个重要目标。抛瓶盖,虽然有两种可能(正面朝上与反面朝上),但两者不是等可能的,不符合古典概率的要求,学生往往依据已有经验产生两种判断——正面朝上与反面朝上可能性相等;正面朝上与反面朝上可能性不相等。这时华老师装出一副“为难”的样子:“答案不一致。怎么办呢?”学生很自然地想到了做一做试验,让事实来说话。通过试验,运用频率去估计可能性的大小,这不仅仅使试验变得很有必要,并且帮助学生消除了错误的经验。从另一角度分析,统计思想主要体现在把握数据的能力,养成会用数据“说事”,收集数据,整理数据,分析数据,从数据中提取信息,并利用这些信息说明问题,在这个过程中,形成对数据的敏感,养成会用数据“说事”的习惯。在华老师的课堂上,先让学生面对问题(用抛啤酒瓶盖的办法来决定谁去看比赛,究竟公平不公平?)产生试验的必要性,再由试验所得的小组数据进行推断,推断的结果有的组认为公平,有的组认为不公平,进而激发学生提出加大统计数据进行推断,学生在小组数据——推断和大组数据——推断的过程中,受到了统计思想的熏陶。
[片段二]凭数据进行推断,增强统计意识
(当课堂就掷骰子呈现许多公平的规则时,华老师话锋一转)
师:抛一次的话,还可以制定出很多公平的规则。但必须有个前提条件,那就是骰子必须是均匀的。如果让你来判断一个骰子是否均匀的,你有什么办法?
生1:做一做试验。
师:我还真给大家准备了两种骰子,一种骰子是均匀的,另一种骰子是不均匀的,但不知道哪份是均匀的,哪份是不均匀的。1、2、3组用一种骰子,4、5、6组用一种骰子。每个小组抛15次,记录下来分别是几点,然后我们简单统计一下,只统计“1”点出现几次,“6”点出现几次。
(学生分组试验)
生2:1、2、3组的骰子是均匀的,4、5、6组的骰子是不均匀的。
师:他的结论你们同意吗?28与33也不一样呀?
生3:差距比较小。
师:第二组呢?
生4:差距比较大。
师:我们就作出推断,4、5、6组的骰子,可能是不均匀的。想知道谜底吗?
(学生迫切地、兴奋地期待:“想!”)
师:1、2、3组的骰子和4、5、6组的骰子是一样的,都是我从商场买回来的同一种规格的骰子。(大部分学生脸上表现出困惑的神情)不过,4、5、6组的骰子,我在“6”点上加重了,哪一面朝上的可能性大?
生5:“1”点朝上的可能性大。
师:这说明我们的试验成功了!掌声祝贺自己。
[赏析]史宁中教授在《“数据分析观念”的内涵及教学建议》一文中指出:“需要指出的是,我们赞成做实验,赞成运用统计的思想来做实验。同样是掷硬币的问题,在统计上就会这样设计实验:先让学生多次掷硬币,计算出现正面的比例(频率),然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。如果这个可能性接近1/2的话,就推断这个硬币是均匀的,这是统计思想。”当课堂就掷骰子呈现许多公平的规则时,华老师话锋一转:“抛一次的话,还可以制定出很多公平的规则。但必须有个前提条件,那就是骰子必须是均匀的。如果让你来判断一个骰子是否均匀的,你有什么办法?”许多教师不理解这样设计的意图,为什么要“多此一举” 呢?这实际上是华老师有价值的教学尝试:运用数据进行推断,即前面史教授提出的“运用统计思想做实验”。这样的学习,使学生感悟到当所研究的问题所知不多时,可以通过实验所收集到的数据来为我们作出判断,这就是统计分析观念。这样的活动若多经历几次,则我们的学生就会逐渐意识到数据的价值和统计的魅力。
[片段三]分析试验数据结果,培养随机观念
师:刚才有同学问我,最后究竟谁去看篮球赛呢?你想知道吗?
生:(齐)想!
师:(出示课始:“正——儿子,反——爸爸”的图片)我儿子已经是复旦大学二年级学生了,他知道啤酒瓶盖反面朝上的可能性大的。想到这一点,我心里特别幸福:有这样的儿子真好!我把啤酒瓶盖给我爱人,请她抛一次……
(学生好奇地等待)
师:正面朝上!
(学生的表情,有的惊讶,有的兴奋,有的不解)
师:不是反面朝上的可能性大吗?为什么呢?
生1:妈妈做了手脚,把反面加重了。
生2:因为虽然反面朝上的可能性大,但正面朝上的可能性也不是没有,所以只是一次偶然。
生3:随机性。
[赏析] 随机思想是认识随机现象和统计规律的重要思想。我国著名概率学家陈希孺先生曾经说过这样一句话:习惯于从统计规律看问题的人,在思想上不拘执一端,他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律,也承认例外。这段话把数据随机性的意义和价值揭示得极为深刻。华老师这样设计不正是帮助学生体会随机吗?片段中,随机性的渗透,一切都是那么自然,教师没有过多的言语,学生在惊讶、兴奋和不解之中,自然地蹦出“只是一次偶然”和“随机性”的声音。这种学生通过数据的分析所道出的“随机性”,是学生的肺腑之言。这种“此处无声胜有声”的随机性渗透,反映出华老师对教材的深刻理解、深厚的文化底蕴和超常的教学智慧。
(浙江省衢州市衢江区教研室324000)
[片段一]用频率估计概率,体现统计思想
(教师出示鸟巢图片)
师:请看大屏幕,这是哪儿?
生齐答:鸟巢。
师:举世瞩目的北京奥运会圆满地、无与伦比地结束了。去过北京,现场看奥运会的请举手。没有人,的确,就是北京当地的人也买不到奥运会门票。我有一位朋友,知道我当年是学校篮球队的队长,就专门帮我买了一张男子篮球决赛的门票。我儿子也是篮球迷。怎么办呢?饭桌上,我和儿子商量。我儿子看到桌子上有一个啤酒瓶盖,就说:“爸爸,我们就抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去,如果反面朝上就您去。”
(教师出示瓶盖正反面图片,并标注“正——儿子,反——爸爸”)
师:这个办法好不好?
生1:我认为是公平的,因为儿子去的机会是二分之一,爸爸去的机会也是二分之一。
师:二分之一,就是这个瓶盖抛起来的时候,可能是正面朝上,也可能是反面朝上,只有两种可能,并且抛一次的话,一定有一面朝上,所以是公平的。有没有不同的想法?
生2:我认为啤酒瓶盖的反面那一圈是折起来的,这一面的重量会比正面的重量大,所以爸爸胜的可能性比较大。
师:能用“可能性”这个词很好。同意这个观点的请举手。
(部分同学同意)
师:看来有两种意见了。用抛啤酒瓶盖的办法来决定谁去看比赛,究竟公平不公平,答案不一致。怎么办呢?
生3:做个试验呗。看一下到底有没有问题。
(接着,学生亲自经历实验的过程,收集实验数据,分析实验结果,并将所得结果与自己的猜测进行比较)
师:我们看看各大组得出的数据,能看出什么?
生4:反面赢的可能性一定大于正面。
众生:同意。
师:当试验次数比较少的时候,偶然性比较大。试验的次数多一些的时候,本来的面目就表现出来了,我们就看到了一个规律:啤酒瓶盖反面朝上的可能性大。为什么反面朝上的可能性大呢?请同学们思考。
……
[赏析] 学生的生活经验是学习的基础,这是毋庸置疑的,但其中一些错误的经验则有碍新知的构建。逐步消除学生错误的经验,使之建立正确的直观经验是我们教学的一个重要目标。抛瓶盖,虽然有两种可能(正面朝上与反面朝上),但两者不是等可能的,不符合古典概率的要求,学生往往依据已有经验产生两种判断——正面朝上与反面朝上可能性相等;正面朝上与反面朝上可能性不相等。这时华老师装出一副“为难”的样子:“答案不一致。怎么办呢?”学生很自然地想到了做一做试验,让事实来说话。通过试验,运用频率去估计可能性的大小,这不仅仅使试验变得很有必要,并且帮助学生消除了错误的经验。从另一角度分析,统计思想主要体现在把握数据的能力,养成会用数据“说事”,收集数据,整理数据,分析数据,从数据中提取信息,并利用这些信息说明问题,在这个过程中,形成对数据的敏感,养成会用数据“说事”的习惯。在华老师的课堂上,先让学生面对问题(用抛啤酒瓶盖的办法来决定谁去看比赛,究竟公平不公平?)产生试验的必要性,再由试验所得的小组数据进行推断,推断的结果有的组认为公平,有的组认为不公平,进而激发学生提出加大统计数据进行推断,学生在小组数据——推断和大组数据——推断的过程中,受到了统计思想的熏陶。
[片段二]凭数据进行推断,增强统计意识
(当课堂就掷骰子呈现许多公平的规则时,华老师话锋一转)
师:抛一次的话,还可以制定出很多公平的规则。但必须有个前提条件,那就是骰子必须是均匀的。如果让你来判断一个骰子是否均匀的,你有什么办法?
生1:做一做试验。
师:我还真给大家准备了两种骰子,一种骰子是均匀的,另一种骰子是不均匀的,但不知道哪份是均匀的,哪份是不均匀的。1、2、3组用一种骰子,4、5、6组用一种骰子。每个小组抛15次,记录下来分别是几点,然后我们简单统计一下,只统计“1”点出现几次,“6”点出现几次。
(学生分组试验)
生2:1、2、3组的骰子是均匀的,4、5、6组的骰子是不均匀的。
师:他的结论你们同意吗?28与33也不一样呀?
生3:差距比较小。
师:第二组呢?
生4:差距比较大。
师:我们就作出推断,4、5、6组的骰子,可能是不均匀的。想知道谜底吗?
(学生迫切地、兴奋地期待:“想!”)
师:1、2、3组的骰子和4、5、6组的骰子是一样的,都是我从商场买回来的同一种规格的骰子。(大部分学生脸上表现出困惑的神情)不过,4、5、6组的骰子,我在“6”点上加重了,哪一面朝上的可能性大?
生5:“1”点朝上的可能性大。
师:这说明我们的试验成功了!掌声祝贺自己。
[赏析]史宁中教授在《“数据分析观念”的内涵及教学建议》一文中指出:“需要指出的是,我们赞成做实验,赞成运用统计的思想来做实验。同样是掷硬币的问题,在统计上就会这样设计实验:先让学生多次掷硬币,计算出现正面的比例(频率),然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。如果这个可能性接近1/2的话,就推断这个硬币是均匀的,这是统计思想。”当课堂就掷骰子呈现许多公平的规则时,华老师话锋一转:“抛一次的话,还可以制定出很多公平的规则。但必须有个前提条件,那就是骰子必须是均匀的。如果让你来判断一个骰子是否均匀的,你有什么办法?”许多教师不理解这样设计的意图,为什么要“多此一举” 呢?这实际上是华老师有价值的教学尝试:运用数据进行推断,即前面史教授提出的“运用统计思想做实验”。这样的学习,使学生感悟到当所研究的问题所知不多时,可以通过实验所收集到的数据来为我们作出判断,这就是统计分析观念。这样的活动若多经历几次,则我们的学生就会逐渐意识到数据的价值和统计的魅力。
[片段三]分析试验数据结果,培养随机观念
师:刚才有同学问我,最后究竟谁去看篮球赛呢?你想知道吗?
生:(齐)想!
师:(出示课始:“正——儿子,反——爸爸”的图片)我儿子已经是复旦大学二年级学生了,他知道啤酒瓶盖反面朝上的可能性大的。想到这一点,我心里特别幸福:有这样的儿子真好!我把啤酒瓶盖给我爱人,请她抛一次……
(学生好奇地等待)
师:正面朝上!
(学生的表情,有的惊讶,有的兴奋,有的不解)
师:不是反面朝上的可能性大吗?为什么呢?
生1:妈妈做了手脚,把反面加重了。
生2:因为虽然反面朝上的可能性大,但正面朝上的可能性也不是没有,所以只是一次偶然。
生3:随机性。
[赏析] 随机思想是认识随机现象和统计规律的重要思想。我国著名概率学家陈希孺先生曾经说过这样一句话:习惯于从统计规律看问题的人,在思想上不拘执一端,他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律,也承认例外。这段话把数据随机性的意义和价值揭示得极为深刻。华老师这样设计不正是帮助学生体会随机吗?片段中,随机性的渗透,一切都是那么自然,教师没有过多的言语,学生在惊讶、兴奋和不解之中,自然地蹦出“只是一次偶然”和“随机性”的声音。这种学生通过数据的分析所道出的“随机性”,是学生的肺腑之言。这种“此处无声胜有声”的随机性渗透,反映出华老师对教材的深刻理解、深厚的文化底蕴和超常的教学智慧。
(浙江省衢州市衢江区教研室324000)