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摘 要：数学思想在数学教学中的重要性是不言而喻的，但是在现实的高中数学教学中数学思想却难以生根，客观上是因为学生的数学学习更多的还在于数学知识的构建与数学习题的解答，而主观上则是因为数学教师很少有数学思想教学的意识. 要让数学思想在学生的数学学习中生根，关键在于教师要能奠定数学思想生根的基础，要能寻找数学思想生根的土壤，要能输送数学思想生根的营养. 本文以数学学习中常见的化归思想为例，逐一分析了数学思想生根的途径.
关键词：高中数学；数学思想；生根
虽然教师都明白数学思想比数学解题方法更重要，但是在实际教学中却常常难以将数学思想从解题方法中提取出来，实施有针对性的数学思想的教学. 实际教学中出现的情形往往是：教师只是在感性层面上认识数学思想，没有深刻理解，比如在讲解公式、定理时，只是让学生了解公式的定义，没有让学生掌握公式的成因、来源；再者，在讲解习题时过于注重“模板化”的解题方式，学生只知道解题方法，实际上对于解题方法的实质不够了解，数学学习陷入一成不变的僵局. 因此，数学思想要想真正成为高中数学教学中的一种常态，还是需要数学教师做出不懈的努力. 笔者试以化归思想为例，谈谈笔者的思考与做法.
[?] 认识化归思想特点，奠定思想生根的基础
化归思想对于高中数学同行来说并不陌生，在义务教育阶段的数学学习中已经多次遇到过化归思想，但在学生的数学学习意识中，这一思想显得有些模糊. 这里先来认识其两个特点.
其一，层次性. 运用化归思想，能够调用其他学科的知识，解决数学方面的问题，这就是化归思想的层次性.
例如：现有600名学生参加夏令营，将600名学生按照001，002，…，600的数字编号，运用系统抽样得到一个样本，容量为50，随机抽得号码为003. 这600名学生，编号001—300在1号营区，301—495在2号营区，496—600在3号营区，那么三个营区分别抽中了多少人？从题目条件得知，本题涉及概率统计知识，选取样本的方法是系统随机抽样，总体为600，样本数量为50，因此间隔为12，第一个抽取到的号码为003，可知号码分别是003，015，027，…虽然知道规律，我们可以运用穷举的方法，但是在考场上显然行不通. 由条件可知，这实际上是一个等差数列，公差为12，首项为3，可以求出其通项公式为a=12n-9，根据营区学生编号确定取值范围，可知三个营区抽到的人数分别为25、17和8人. 因此，运用化归思想，我们运用等差数列知识解决了概率统计问题.
其二，多向性. 在解题过程中，可以运用化归思想转化题目结论或条件，还可以转化题目外部和内部结构来解决问题.
例如：两实数x，y满足条件4≤≤9，3≤xy2≤8，求的最大值. 对于这道题，一般难以直接利用条件解决问题，因此必须将条件转化为和问题相关的形式，根据题目条件，可得=·
≤81，综合上述条件可得×16≤≤×81，即2≤≤27，故最大值为27.
认识到这两个特点，化归思想在课堂上生根便满足了前提条件. 其实，化归既是数学解题的思想，也是数学知识建构的思想，是一种基本的思维策略，甚至可以说是人的本能. 当人们面临着一个复杂的问题时，必然试图将其化归成简单的问题，数学是人类认知世界最精确的语言，化归思想在数学学习与研究中的应用更是广泛. 因此，以化归思想作为本文的研究核心，其实也是符合认知发展的基本规律的. 更重要的是，化归思想的形成过程中又广泛运用到其他的数学方法，因此其可以起到牵一发而动全身的作用.
[?] 理清化归思想脉络，寻找思想生根的土壤
思想其实并不是一个有形的存在，其总是伴随着具体问题解决中的方法而存在的，可以说，数学方法是数学思想生根的土壤. 一般认为，化归思想赖以生根的是数学问题解决中的这样一些方法：
一是换元法. 这是高中数学中非常常见也极为重要的一种数学方法，对于比较复杂的不等式、函数和方程等，我们可以用其他参数替换其中的某些参数，将复杂的式子变简单，从而得到答案. 例如：如果2sinα cosα=-，求tanα.
运用换元法，我们假设y=sinα，x=cosα，由题可得2y x=-，根据三角函数的知识，可知x2 y2=1，两式联立：
求得tanα的值为2.
二是转换法. 顾名思义，转化法就是将待解决问题转化为难度较小的问题，简单来说，就是“化繁为简”. 高中数学中化繁为简的常用思路就是利用已有的数学关系对较难的问题进行解构，从而将复杂问题转换为简单问题.
例如：a，b，c∈R*，试证明 ≥.
证明过程中，可首先由a，b，c∈R*得出a b>0，b c>0，a c>0；然后借助于柯西不等式进行转换，得到[（a b） （b c） （a c）]
数学思想与数学方法的关系是十分密切的，更多的时候数学思想只是影响着学生数学学习行为或教师数学教学行为的一种内在的、不易表现出来的思考，而数学方法却可以在数学知识的构建与数学问题的解决中明确体现出来，这就使得数学方法在数学思想与数学学习行为之间形成了一个良好的联系. 教师在数学教学中引导学生通过数学方法达到对数学思想的理解，这是数学思想在学生的数学学习中生根的一个重要途径. 在日常数学教学中，教师重视得更多的往往是数学方法，但忽视了数学方法的根源其实是数学思想，如果说数学方法能够让学生体验到数学学习的表面精彩的话，那数学思想则是精彩背后的精彩.
[?] 重视化归思想运用，输送思想生根的营养
数学思想的运用往往蕴涵在具体的问题解决之后，在运用的过程中如果能够结合传统的教学理念与新的教学方式，那数学思想就可以汲取到生根的营养.
如在“直线与平面平行的判定”一节的讲解中，可以运用化归思想实施教学： 教师（在黑板上展示图形，如图1）：同学们来看一下这道题，正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C1和直线AD的位置关系是什么？请证明或说明理由.
学生：直线AD与平面A1C1没有公共点，所以直线AD与平面A1C1应该是平行关系.
教师：为什么说平面A1C1和直线AD没有公共点呢？
学生：因为直线AD与平面A1C1中的A1D1是平行关系.
教师：这个想法好，能够巧妙地将直线和平面位置问题化成直线和直线之间的位置关系，这其实就是我们数学中常用的化归思想. 那么，同学们能够解决这个问题吗？
出示问题：a，b为直线，α为平面，如果b?α，a?α. 试判断：如果a和b平行，那么a∥α的结论是否成立. （在学生自主思考之后教师再讲授）
教师：如何证明上面的结论呢？我们先来看一下这道题的意思：α是一个平面，a，b为两条直线，其中b?α，a?α，同时直线a与b是平行关系，要证明的是：a∥α.
根据题意先画出图（可以追问学生有没有想到画图），如图2. 这里我们可以利用反证法完成证明：如图，假设a与α不平行，那α和a必相交. 设相交于点A，过A作直线c，使b∥c. 由题意可知，A必定不在直线b上（因为a∥b）. 因为a∥b，且b∥c，所以a∥c，而这与基于假设得出的推论矛盾（a和c是相交关系），故a∥α. 而这就是我们今天要学习的平面和直线判定定理.
板书：直线和平面判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那该直线与平面平行.
教师：我们已经了解了直线和平面判定定理的主要内容. 同学们需要知道的是，一个定理的出现，往往意味着在实际问题解决中可以借助其使得问题变得更为简单. 因此，数学就有多了一个化归工具. 下面，请同学们尝试解答这道题目.
出示例题：如图3，空间四边形ABCD，边AD，AB的中点分别为F和E，证明：EF∥平面BCD. （学生先独立思考，然后小组讨论）
学生展示：连接点B，D，则有AF=DF，AE=BE，因此EF∥BD，又知EF?平面BDC，BD?平面BDC，因此EF∥平面BDC.
分析上述教学过程可以看出，这堂课分为了几个环节：设置情境、给出定理并证明，最后给出题目让学生自主探究，而这些正是新的教学方式. 同时，这一教学过程中重点清晰、突出，教师首先表明了教学重点，即直线和平面平行判定定理，学生潜意识里就会重视这部分内容，而这些正是传统数学教学的优点. 在此基础上，教师通过例题将学生引入到定理的证明中，并运用化归思想，将文字问题转化为图形问题，最终总结出定理并让学生在具体问题中运用，从而增强学生对定理的理解和记忆. 由此，化归思想在学生的思维中便真正生根了！
关键词：高中数学；数学思想；生根
虽然教师都明白数学思想比数学解题方法更重要，但是在实际教学中却常常难以将数学思想从解题方法中提取出来，实施有针对性的数学思想的教学. 实际教学中出现的情形往往是：教师只是在感性层面上认识数学思想，没有深刻理解，比如在讲解公式、定理时，只是让学生了解公式的定义，没有让学生掌握公式的成因、来源；再者，在讲解习题时过于注重“模板化”的解题方式，学生只知道解题方法，实际上对于解题方法的实质不够了解，数学学习陷入一成不变的僵局. 因此，数学思想要想真正成为高中数学教学中的一种常态，还是需要数学教师做出不懈的努力. 笔者试以化归思想为例，谈谈笔者的思考与做法.
[?] 认识化归思想特点，奠定思想生根的基础
化归思想对于高中数学同行来说并不陌生，在义务教育阶段的数学学习中已经多次遇到过化归思想，但在学生的数学学习意识中，这一思想显得有些模糊. 这里先来认识其两个特点.
其一，层次性. 运用化归思想，能够调用其他学科的知识，解决数学方面的问题，这就是化归思想的层次性.
例如：现有600名学生参加夏令营，将600名学生按照001，002，…，600的数字编号，运用系统抽样得到一个样本，容量为50，随机抽得号码为003. 这600名学生，编号001—300在1号营区，301—495在2号营区，496—600在3号营区，那么三个营区分别抽中了多少人？从题目条件得知，本题涉及概率统计知识，选取样本的方法是系统随机抽样，总体为600，样本数量为50，因此间隔为12，第一个抽取到的号码为003，可知号码分别是003，015，027，…虽然知道规律，我们可以运用穷举的方法，但是在考场上显然行不通. 由条件可知，这实际上是一个等差数列，公差为12，首项为3，可以求出其通项公式为a=12n-9，根据营区学生编号确定取值范围，可知三个营区抽到的人数分别为25、17和8人. 因此，运用化归思想，我们运用等差数列知识解决了概率统计问题.
其二，多向性. 在解题过程中，可以运用化归思想转化题目结论或条件，还可以转化题目外部和内部结构来解决问题.
例如：两实数x，y满足条件4≤≤9，3≤xy2≤8，求的最大值. 对于这道题，一般难以直接利用条件解决问题，因此必须将条件转化为和问题相关的形式，根据题目条件，可得=·
≤81，综合上述条件可得×16≤≤×81，即2≤≤27，故最大值为27.
认识到这两个特点，化归思想在课堂上生根便满足了前提条件. 其实，化归既是数学解题的思想，也是数学知识建构的思想，是一种基本的思维策略，甚至可以说是人的本能. 当人们面临着一个复杂的问题时，必然试图将其化归成简单的问题，数学是人类认知世界最精确的语言，化归思想在数学学习与研究中的应用更是广泛. 因此，以化归思想作为本文的研究核心，其实也是符合认知发展的基本规律的. 更重要的是，化归思想的形成过程中又广泛运用到其他的数学方法，因此其可以起到牵一发而动全身的作用.
[?] 理清化归思想脉络，寻找思想生根的土壤
思想其实并不是一个有形的存在，其总是伴随着具体问题解决中的方法而存在的，可以说，数学方法是数学思想生根的土壤. 一般认为，化归思想赖以生根的是数学问题解决中的这样一些方法：
一是换元法. 这是高中数学中非常常见也极为重要的一种数学方法，对于比较复杂的不等式、函数和方程等，我们可以用其他参数替换其中的某些参数，将复杂的式子变简单，从而得到答案. 例如：如果2sinα cosα=-，求tanα.
运用换元法，我们假设y=sinα，x=cosα，由题可得2y x=-，根据三角函数的知识，可知x2 y2=1，两式联立：
求得tanα的值为2.
二是转换法. 顾名思义，转化法就是将待解决问题转化为难度较小的问题，简单来说，就是“化繁为简”. 高中数学中化繁为简的常用思路就是利用已有的数学关系对较难的问题进行解构，从而将复杂问题转换为简单问题.
例如：a，b，c∈R*，试证明 ≥.
证明过程中，可首先由a，b，c∈R*得出a b>0，b c>0，a c>0；然后借助于柯西不等式进行转换，得到[（a b） （b c） （a c）]
数学思想与数学方法的关系是十分密切的，更多的时候数学思想只是影响着学生数学学习行为或教师数学教学行为的一种内在的、不易表现出来的思考，而数学方法却可以在数学知识的构建与数学问题的解决中明确体现出来，这就使得数学方法在数学思想与数学学习行为之间形成了一个良好的联系. 教师在数学教学中引导学生通过数学方法达到对数学思想的理解，这是数学思想在学生的数学学习中生根的一个重要途径. 在日常数学教学中，教师重视得更多的往往是数学方法，但忽视了数学方法的根源其实是数学思想，如果说数学方法能够让学生体验到数学学习的表面精彩的话，那数学思想则是精彩背后的精彩.
[?] 重视化归思想运用，输送思想生根的营养
数学思想的运用往往蕴涵在具体的问题解决之后，在运用的过程中如果能够结合传统的教学理念与新的教学方式，那数学思想就可以汲取到生根的营养.
如在“直线与平面平行的判定”一节的讲解中，可以运用化归思想实施教学： 教师（在黑板上展示图形，如图1）：同学们来看一下这道题，正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C1和直线AD的位置关系是什么？请证明或说明理由.
学生：直线AD与平面A1C1没有公共点，所以直线AD与平面A1C1应该是平行关系.
教师：为什么说平面A1C1和直线AD没有公共点呢？
学生：因为直线AD与平面A1C1中的A1D1是平行关系.
教师：这个想法好，能够巧妙地将直线和平面位置问题化成直线和直线之间的位置关系，这其实就是我们数学中常用的化归思想. 那么，同学们能够解决这个问题吗？
出示问题：a，b为直线，α为平面，如果b?α，a?α. 试判断：如果a和b平行，那么a∥α的结论是否成立. （在学生自主思考之后教师再讲授）
教师：如何证明上面的结论呢？我们先来看一下这道题的意思：α是一个平面，a，b为两条直线，其中b?α，a?α，同时直线a与b是平行关系，要证明的是：a∥α.
根据题意先画出图（可以追问学生有没有想到画图），如图2. 这里我们可以利用反证法完成证明：如图，假设a与α不平行，那α和a必相交. 设相交于点A，过A作直线c，使b∥c. 由题意可知，A必定不在直线b上（因为a∥b）. 因为a∥b，且b∥c，所以a∥c，而这与基于假设得出的推论矛盾（a和c是相交关系），故a∥α. 而这就是我们今天要学习的平面和直线判定定理.
板书：直线和平面判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那该直线与平面平行.
教师：我们已经了解了直线和平面判定定理的主要内容. 同学们需要知道的是，一个定理的出现，往往意味着在实际问题解决中可以借助其使得问题变得更为简单. 因此，数学就有多了一个化归工具. 下面，请同学们尝试解答这道题目.
出示例题：如图3，空间四边形ABCD，边AD，AB的中点分别为F和E，证明：EF∥平面BCD. （学生先独立思考，然后小组讨论）
学生展示：连接点B，D，则有AF=DF，AE=BE，因此EF∥BD，又知EF?平面BDC，BD?平面BDC，因此EF∥平面BDC.
分析上述教学过程可以看出，这堂课分为了几个环节：设置情境、给出定理并证明，最后给出题目让学生自主探究，而这些正是新的教学方式. 同时，这一教学过程中重点清晰、突出，教师首先表明了教学重点，即直线和平面平行判定定理，学生潜意识里就会重视这部分内容，而这些正是传统数学教学的优点. 在此基础上，教师通过例题将学生引入到定理的证明中，并运用化归思想，将文字问题转化为图形问题，最终总结出定理并让学生在具体问题中运用，从而增强学生对定理的理解和记忆. 由此，化归思想在学生的思维中便真正生根了！