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[摘要]将数量折扣引入到具有两件随机等价互补品的序贯二价拍卖中，研究了数量折扣对买者均衡报价策略的影响，建立了卖者如何确定最优的折扣比例的数学模型并得到了最优的折扣比例。研究表明：采用适当的折扣比例可以激发买者之间的激烈竞争，卖者的期望收益也可以得到提高，买者人数越多最优折扣比例越小。
[关键词]序贯拍卖；数量折扣；机制设计；二层规划
Research on quantity discount ratio in two-stage sequential auctions
Yang Liao
Abstract Quantity discount is introduced into sequential second-price auctions with two stochastically equivalent complementary objects. We study the impact of quantity discount on the buyers’ equilibrium bidding strategies， set up the mathematical model for the seller to choose the optimal discount ratio and obtain the optimal discount ratio. Our study shows that： adopting discount ratio induces intense competition among the bidders， adequate discount ratio can increase the seller’s ex ante expected revenue and optimal discount ratio decreases as the number of bidders increases.
Keywords Sequential auctions； quantity discount； mechanism design； bi-level programming
1、引言
拍卖是优化稀缺资源配置配置的一种有效方式，而连续举行几场拍卖来出售多件物品是一种常见的方式（McMillan，1994）。美国无线频谱拍卖激发了经济学家研究序贯拍卖的热潮，尤其是具有互补品的情形。
Milgrom与 Weber （1982）最先研究了具有多件物品与单物品需求买者的序贯拍卖问题。Weber （1983）指出，如果序贯拍卖中存有买者需要多件物品时，前一阶段的赢家在后一阶段的态度转变将造成后期的的非对称性问题。Katzman （1999）指出研究两阶段的序贯二价拍卖可以避开这一困境。近年来，一些文章研究了具有随机等价物品的序贯拍卖问题，如Tang S?rensen （2006），Leufkens and Peeters （2007）与 Leufkens等（2010），相同的是他们研究的都是具有两件随机等价的互补品的序贯拍卖问题。
研究如何提高卖者的期望收益属于机制设计问题，其研究思路是：首先任给一组分配规则与支付规则（机制），其次寻找满足个人理性（IR）与激励相容（IC）的机制，最后在满足IR与IC的机制中寻找一个最大化卖者期望收益的机制 （Krishna， 2009），这本质上也是一个二层规划问题。通过研究前人的工作，笔者发现即使选定了连续出售物品的方式，也可以采取折扣来增加卖者的预期收益。本文研究的对象是序贯二价拍卖，卖者连续举行两场第二价格拍卖来出售自己的物品，卖者承诺给予赢得两件物品的买者一定比例的数量折扣。因此，分配规则是既定的：每阶段将物品分配给报价最高的买者；支付规则有所不同。卖者可以预测到买者在两场拍卖中对于该折扣所做出的最优反应，然后最大化自己的期望收益则得到最优的折扣比例。本文研究思路是：首先得到了数量折扣下买者的均衡报价策略，再将根据买者的均衡报价函数求得卖者的事前期望收益，进而求得最优折扣比例。
2、模型
一个风险中性的卖者通过拍卖的方式出售两件物品，n个具有独立的私人价值的风险中性的买者竞争这两件物品。卖者通过连续进行两场第二价格密封拍卖来分配物品——每场拍卖的赢者支付该场拍卖中的次高报价。买者在第一场拍卖中不知道第二件物品对自己的价值，然而赢得第一件物品使第二件物品对买者的价值变为原价值的倍。若买者i只赢得一件物品，则第一件物品与第二件物品对i的价值分别为 v1i与v2i；若买者i赢得两件物品，则两件物品对i的价值为，其中r为协同因子，。买者i的类型满足：v1i，v2i独立地服从上的均匀分布。卖者在每场拍卖结束之后公布拍卖结果。卖者承诺：如果第一场拍卖的赢者在第二阶段再次获胜，卖者将会给予他一个固定比例的数量折扣1-k，其中。假设卖者在第一场拍卖开始之前公布折扣比例。
假设与分别表示买者在两场拍卖中的均衡报價策略。在第二场拍卖中，第一场拍卖中的赢者用上标W表示而第一场拍卖中的n-1个输者用上标L表示。为买者i在第一阶段的事前期望剩余，分别为买者i在第一阶段赢标与输标情形下在第二阶段的事前期望剩余，为买者i在两场拍卖中的事前期望剩余。
3、均衡报价战略
基于二层规划理论易知，卖者事前承诺的折扣会影响买者的报价行为。该节首先给出了买者在两阶段的均衡报价战略及事前期望收益，接着分析了采取数量折扣对买者报价战略的影响。基于序贯博弈的求解方法，首先利用逆向递归法来推导买者的均衡报价策略，在第二阶段，由于只有一件待售物品，由标准的拍卖理论可知：每个买者按自己对物品的真实估价进行报价是弱占优策略。值得一提的是，第二件物品对于第一场拍卖赢者的价值为既反映了物品之间的互补性，也反映了卖者所承诺的折扣比例；第一件物品对该场拍卖赢者的价值包含了两个部分：单件物品对买者的价值、赢得与失去第一件拍卖时第二场拍卖中的事前期望剩余之差（即）。于是，我们得： 命题1 在具有两件随机等价互补品的折扣比例为1-k的序贯二价拍卖中，当买者类型为时，他在两场拍卖中的均衡报价策略分别为
（1）
与
（2）
其中为k的非负的严格递减函数，其具体表达式为
（3）
命题2 在具有折扣比例1-k的序贯二价拍卖中，买者在第一场拍卖、第二场拍卖以及整场拍卖中的事前期望收益分别为：
（4）
其中与为c的增函数，为严格递减函数。
命题2说明了卖者承诺的数量折扣使得第一阶段的赢家在第二场拍卖中占据有利地位，而其对买者总体上说来是不利的。
4、卖者期望收益
卖者在给出折扣比例之前会准确预测到买者相应的均衡报价策略，理性的卖者会根据自己的预测计算自己的事前期望收益，并据此选择最优的折扣比例。
命题3在给定折扣比例1-k时，卖者的事前期望收益为：
（5）
因而，卖者在确定最优折扣比例之前面临下面规划问题：
（6）
该优化问题是一个非线性规划问题，其最优解与n相关，即卖者所选取的最优折扣比例只与买者人数有关。显然，卖者并不是给予越大的折扣比例就可以得到越高的期望收益。求解上述问题可以得到它的解具有以下性质：
命题4 卖者所选取的最优的折扣比例只与参加拍卖的买者人数相关，且。
命题4说明采用适当的折扣可增加卖者收益，买者人数越多最优折扣比例越小，特别是当买者人数足够多时，采取折扣必要不大。卖家承诺的折扣会引发买者之间的激烈竞价行为：第一场拍卖中所有买者都报出更高的价格，第一场拍卖的赢家在第二场拍卖报出更高的价格。如果两个不同的卖家获得两件物品，则两场拍卖中的赢家都支付了较高的价格，采用折扣就达到了卖者收益的目的。因此，虽然在序贯拍卖中采取数量折扣激发了买者之间的激烈竞争，但采用多大的折扣额度以实现卖者的期望收益最大化仍需要买者进行权衡。
记最优数量折扣下的卖者的事前期望收益，利用命题4可以得到
推论1 对于给定的是协同因子的增函数；对于给定的是买者人数的增函数。
证明由可知
于是存在使得，容易发现是 上的增函数。
5、结论
由于实施起来的方便性，序贯拍卖常常被人们用来出售多件物品，本文利用二层规划的思想研究了序贯二价拍卖中如何提高卖者期望收益的问题，具体的研究工作总结如下：
1）在序贯二价拍卖中引入数量折扣并得到了买者的均衡报价策略，分析了数量折扣对买者报价行为的影响；
2）基于买者的均衡报价战略求得给定数量折扣下的卖者的期望收益，建立了卖者的规划问题，即最优折扣比例的确定问题；
3）分析了最优的数量折扣所满足的性质及最优数量折扣下卖者期望收益与两件物品之间协同因子的关系；主要的结论是在具有随机等价物品的序贯二价拍卖中引入数量折扣可以激发卖者之间的更为激烈的竞争；采取适量的数量折扣则可以增加卖者的事前期望收益；而最优折扣比例仅仅取决于参加拍卖的买者人数并随买者人数的增加而减小。
在本文基础上，未来需要进一步放宽研究条件，考虑在具有m≥2件物品的序拍卖中的最优折扣比例、数量折扣对买者报价策略行为及卖者事前期望收益的影响。
参考文献
[1]Katzman B. A two stage sequential auction with multi-unit demands[J].Journal of Economic Theory， 1999， 86（1）：77-99.
[2]Krishna V. Auction theory[M]. 2009， California： Academic press.
[3]Leufkens K， Peeters R. Synergies are a reason to prefer ?rst-price auctions[J]. Economics letters， 2007， 97（1）： 64-69.
[4]Leufkens K， Peeters R， Vermeulen D.， Sequential auctions with synergies：The paradox of positive synergies[J]. Economics Letters， 2010， 109（3）：139-141.
[5]McMillan J. Selling spectrum rights[J].The Journal of Economic Perspectives，1994，8（3）：145-162.
作者简介
廖扬，男，1976年12月，硕士，讲师，河南财经政法大学，数学与信息科學学院。
[关键词]序贯拍卖；数量折扣；机制设计；二层规划
Research on quantity discount ratio in two-stage sequential auctions
Yang Liao
Abstract Quantity discount is introduced into sequential second-price auctions with two stochastically equivalent complementary objects. We study the impact of quantity discount on the buyers’ equilibrium bidding strategies， set up the mathematical model for the seller to choose the optimal discount ratio and obtain the optimal discount ratio. Our study shows that： adopting discount ratio induces intense competition among the bidders， adequate discount ratio can increase the seller’s ex ante expected revenue and optimal discount ratio decreases as the number of bidders increases.
Keywords Sequential auctions； quantity discount； mechanism design； bi-level programming
1、引言
拍卖是优化稀缺资源配置配置的一种有效方式，而连续举行几场拍卖来出售多件物品是一种常见的方式（McMillan，1994）。美国无线频谱拍卖激发了经济学家研究序贯拍卖的热潮，尤其是具有互补品的情形。
Milgrom与 Weber （1982）最先研究了具有多件物品与单物品需求买者的序贯拍卖问题。Weber （1983）指出，如果序贯拍卖中存有买者需要多件物品时，前一阶段的赢家在后一阶段的态度转变将造成后期的的非对称性问题。Katzman （1999）指出研究两阶段的序贯二价拍卖可以避开这一困境。近年来，一些文章研究了具有随机等价物品的序贯拍卖问题，如Tang S?rensen （2006），Leufkens and Peeters （2007）与 Leufkens等（2010），相同的是他们研究的都是具有两件随机等价的互补品的序贯拍卖问题。
研究如何提高卖者的期望收益属于机制设计问题，其研究思路是：首先任给一组分配规则与支付规则（机制），其次寻找满足个人理性（IR）与激励相容（IC）的机制，最后在满足IR与IC的机制中寻找一个最大化卖者期望收益的机制 （Krishna， 2009），这本质上也是一个二层规划问题。通过研究前人的工作，笔者发现即使选定了连续出售物品的方式，也可以采取折扣来增加卖者的预期收益。本文研究的对象是序贯二价拍卖，卖者连续举行两场第二价格拍卖来出售自己的物品，卖者承诺给予赢得两件物品的买者一定比例的数量折扣。因此，分配规则是既定的：每阶段将物品分配给报价最高的买者；支付规则有所不同。卖者可以预测到买者在两场拍卖中对于该折扣所做出的最优反应，然后最大化自己的期望收益则得到最优的折扣比例。本文研究思路是：首先得到了数量折扣下买者的均衡报价策略，再将根据买者的均衡报价函数求得卖者的事前期望收益，进而求得最优折扣比例。
2、模型
一个风险中性的卖者通过拍卖的方式出售两件物品，n个具有独立的私人价值的风险中性的买者竞争这两件物品。卖者通过连续进行两场第二价格密封拍卖来分配物品——每场拍卖的赢者支付该场拍卖中的次高报价。买者在第一场拍卖中不知道第二件物品对自己的价值，然而赢得第一件物品使第二件物品对买者的价值变为原价值的倍。若买者i只赢得一件物品，则第一件物品与第二件物品对i的价值分别为 v1i与v2i；若买者i赢得两件物品，则两件物品对i的价值为，其中r为协同因子，。买者i的类型满足：v1i，v2i独立地服从上的均匀分布。卖者在每场拍卖结束之后公布拍卖结果。卖者承诺：如果第一场拍卖的赢者在第二阶段再次获胜，卖者将会给予他一个固定比例的数量折扣1-k，其中。假设卖者在第一场拍卖开始之前公布折扣比例。
假设与分别表示买者在两场拍卖中的均衡报價策略。在第二场拍卖中，第一场拍卖中的赢者用上标W表示而第一场拍卖中的n-1个输者用上标L表示。为买者i在第一阶段的事前期望剩余，分别为买者i在第一阶段赢标与输标情形下在第二阶段的事前期望剩余，为买者i在两场拍卖中的事前期望剩余。
3、均衡报价战略
基于二层规划理论易知，卖者事前承诺的折扣会影响买者的报价行为。该节首先给出了买者在两阶段的均衡报价战略及事前期望收益，接着分析了采取数量折扣对买者报价战略的影响。基于序贯博弈的求解方法，首先利用逆向递归法来推导买者的均衡报价策略，在第二阶段，由于只有一件待售物品，由标准的拍卖理论可知：每个买者按自己对物品的真实估价进行报价是弱占优策略。值得一提的是，第二件物品对于第一场拍卖赢者的价值为既反映了物品之间的互补性，也反映了卖者所承诺的折扣比例；第一件物品对该场拍卖赢者的价值包含了两个部分：单件物品对买者的价值、赢得与失去第一件拍卖时第二场拍卖中的事前期望剩余之差（即）。于是，我们得： 命题1 在具有两件随机等价互补品的折扣比例为1-k的序贯二价拍卖中，当买者类型为时，他在两场拍卖中的均衡报价策略分别为
（1）
与
（2）
其中为k的非负的严格递减函数，其具体表达式为
（3）
命题2 在具有折扣比例1-k的序贯二价拍卖中，买者在第一场拍卖、第二场拍卖以及整场拍卖中的事前期望收益分别为：
（4）
其中与为c的增函数，为严格递减函数。
命题2说明了卖者承诺的数量折扣使得第一阶段的赢家在第二场拍卖中占据有利地位，而其对买者总体上说来是不利的。
4、卖者期望收益
卖者在给出折扣比例之前会准确预测到买者相应的均衡报价策略，理性的卖者会根据自己的预测计算自己的事前期望收益，并据此选择最优的折扣比例。
命题3在给定折扣比例1-k时，卖者的事前期望收益为：
（5）
因而，卖者在确定最优折扣比例之前面临下面规划问题：
（6）
该优化问题是一个非线性规划问题，其最优解与n相关，即卖者所选取的最优折扣比例只与买者人数有关。显然，卖者并不是给予越大的折扣比例就可以得到越高的期望收益。求解上述问题可以得到它的解具有以下性质：
命题4 卖者所选取的最优的折扣比例只与参加拍卖的买者人数相关，且。
命题4说明采用适当的折扣可增加卖者收益，买者人数越多最优折扣比例越小，特别是当买者人数足够多时，采取折扣必要不大。卖家承诺的折扣会引发买者之间的激烈竞价行为：第一场拍卖中所有买者都报出更高的价格，第一场拍卖的赢家在第二场拍卖报出更高的价格。如果两个不同的卖家获得两件物品，则两场拍卖中的赢家都支付了较高的价格，采用折扣就达到了卖者收益的目的。因此，虽然在序贯拍卖中采取数量折扣激发了买者之间的激烈竞争，但采用多大的折扣额度以实现卖者的期望收益最大化仍需要买者进行权衡。
记最优数量折扣下的卖者的事前期望收益，利用命题4可以得到
推论1 对于给定的是协同因子的增函数；对于给定的是买者人数的增函数。
证明由可知
于是存在使得，容易发现是 上的增函数。
5、结论
由于实施起来的方便性，序贯拍卖常常被人们用来出售多件物品，本文利用二层规划的思想研究了序贯二价拍卖中如何提高卖者期望收益的问题，具体的研究工作总结如下：
1）在序贯二价拍卖中引入数量折扣并得到了买者的均衡报价策略，分析了数量折扣对买者报价行为的影响；
2）基于买者的均衡报价战略求得给定数量折扣下的卖者的期望收益，建立了卖者的规划问题，即最优折扣比例的确定问题；
3）分析了最优的数量折扣所满足的性质及最优数量折扣下卖者期望收益与两件物品之间协同因子的关系；主要的结论是在具有随机等价物品的序贯二价拍卖中引入数量折扣可以激发卖者之间的更为激烈的竞争；采取适量的数量折扣则可以增加卖者的事前期望收益；而最优折扣比例仅仅取决于参加拍卖的买者人数并随买者人数的增加而减小。
在本文基础上，未来需要进一步放宽研究条件，考虑在具有m≥2件物品的序拍卖中的最优折扣比例、数量折扣对买者报价策略行为及卖者事前期望收益的影响。
参考文献
[1]Katzman B. A two stage sequential auction with multi-unit demands[J].Journal of Economic Theory， 1999， 86（1）：77-99.
[2]Krishna V. Auction theory[M]. 2009， California： Academic press.
[3]Leufkens K， Peeters R. Synergies are a reason to prefer ?rst-price auctions[J]. Economics letters， 2007， 97（1）： 64-69.
[4]Leufkens K， Peeters R， Vermeulen D.， Sequential auctions with synergies：The paradox of positive synergies[J]. Economics Letters， 2010， 109（3）：139-141.
[5]McMillan J. Selling spectrum rights[J].The Journal of Economic Perspectives，1994，8（3）：145-162.
作者简介
廖扬，男，1976年12月，硕士，讲师，河南财经政法大学，数学与信息科學学院。