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摘 要
借助于三种不同的纸片进行拼图活动，让学生经历操作、探究、解决问题的过程，探索拼图与整式的乘法运算、因式分解之间的内在联系，先由“形”得到一些关于“数”的结论，然后借助图形反映出部分“数”的几何意义，学生在动手“做”中知识得到延伸，积累有效的基本数学活动经验。
关键词
拼图 整式乘法 因式分解
【案例回放】
实验课前准备：4人一组，剪刀，A型纸片（边长为a的正方形），B型纸片（边长为b的正方形），C型纸片（长为a、宽为b的长方形）各若干张（如图1）。
活动一：选取1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼成一个正方形。
学生很快通过拼图得出图2，且看出拼图得到完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，并解释，从整体看，所拼出的正方形的边长是a+b，因此它的面积是（a+b）2；从局部看，组成这个正方形的每个部分的面积分别是a2，ab，ab和b2。
活动一效果很好，学生反应很迅速，于是，就紧跟着展示活动二。
活动二：分别选取适当数量的A型、B型、C型三种纸片，拼出一个边长分别为a+2b、a+b的长方形。
学生4人一个小组动手操作、开始拼，很快，学生给出了多种拼法，教师选取其中的一组上台汇报，学生在黑板上画下了图3。这时，教师结合图形3，适时的抛出了问题：
①图3中有什么隐藏的等式？
②能结合图3解释你所得到的等式吗？
这时一个学生举起手来，立马让他来说。
生1：老师，a+2b表示长方形的长，a+b表示长方形的宽，（a+2b）（a+b）是这个长方形的面积，我发现a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）反映的是因式分解，反之（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2反映的是整式运算。
生2：等式中的a2+3ab+2b2表示需要1个面积为a2的纸片即A型纸片，需要3个面积为ab的纸片即C型纸片，需要2个面积为b2的纸片即B型纸片。
生2还没说完，下面的学生就开始议论了。
生3：需要不同类型的纸片的片数和等式前面的数字有关系。
这时，教师追问：什么关系呢？
生2立马补充道：不同类型的纸片的片数对应的就是这个二次三项式的系数。
学生一下子总结出来了，很是出乎教师的意料，让教师很是惊讶。其他学生听了生2所说的，数了数纸片，看了看代数式各项的系数，很是赞同，原来通过拼长方形可以帮助我们进行整式的乘法运算，还可以帮我们进行多项式的因式分解，学生顿时有了兴趣。教师立马追问让学生一起来验证，选取若干张纸片，先尝试拼成一个长方形，再思考能否得到反映整式乘法运算或者是因式分解的等式？
生4：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2。
生5：（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2。
生6：2b（a+b）=2ab+2b2。
生7：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2。
不同的小组拼出不同的图形，但是得出了同样的结论，找出了不同纸片的选择数量与系数之间的关系，找到了形成图形的一般方法。
活动三：请你尝试选择三种纸片，将它们拼成一个长方形，并且使得所拼长方形的面积分别为3a2+4ab+b2和a2+4ab+b2，你得到怎样的结果？为什么？
学生4人一个小组，立马动手开始尝试，小组配合默契，3a2+4ab+b2这个等式，根据刚才分析的系数，也就是说需要3张A型纸片、1张B型纸片、4张C型纸片拼成一个长为3a+b，宽为a+b的长方形（如图4），能因式分解为（3a+b）（a+b）。
但对于a2+4ab+b2学生开始有些慌了，小组内的意见也开始不统一起来，有些学生认为能拼，可不知道怎么拼，有些学生认为不能拼成长方形，一场辩论就这样不知不觉开始了。
生8：能拼，可我不知道怎么拼。
生9：a2+4ab+b2不能拼成长方形，我们知道完全平方公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，中间的项是2ab，可以拼成一个边长为a+b的正方形，而这里是4ab，多了2ab，因此不能拼成长方形，也不能因式分解。
师：是的，a2+4ab+b2不能拼成长方形，如果把a2+4ab+b2改為a2+2ab+b2可以拼，除此之外，想要拼成长方形，更改其他项的系数可以吗？
生10：a2+4ab+b2改为3a2+4ab+b2可以拼成一个长为3a+b，宽为a+b的长方形。
生11：a2+4ab+b2改为a2+4ab+3b2可以拼成一个长为a+3b，宽为a+b的长方形。
师：小组合作任意写出一个关于a、b的二次三项式，再用若干块所提供的纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个多项式表示，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，思考写出的关于a、b的二次三项式都能表示一个长方形的面积吗？你们认为具备什么条件的二次多项式可以表示一个长方形的面积？
生12：只要能因式分解的二次多项式就可以表示一个长方形的面积；如果一个二次多项式能表示一个长方形的面积那么它就一定能分解成长方形的长与宽的积。
【案例反思】
1.如何把握拼图中数形结合？
这个实验课是为苏科版义务教育教科书《数学》七年级下册“9.5多项式的因式分解”而设计的。在这个教学片段中设计了三个活动，首先，活动一利用三个不同类型的纸片拼图，再现完全平方公式的情境，感受“数”“形”的基本联系。
其次，活动二通过已知边长拼长方形，在学生小组合作，反复尝试的过程中，逐步感受到不同的纸片的选择数量与系数之间的关系，初步形成拼图的一般方法，并理解图形与所得等式之间的联系，完成由“形”到“数”的过程，突显特征。
然后，活动三通过已知面积拼长方形，对由实验观察到的现象进行分析讨论，获得能拼出长方形的规律性的认识，感悟数量关系与图形性质的相互转化，完成由“数”到“形”的过程，提炼方法。
2.如何把握学生独立思考与合作交流的关系？
这个实验课中，学生不断的小组合作通过拼图完成活动，学生独立思考的时间略显不足。如在活动二中，生2快速的总结出不同纸片的选择数量与系数之间的关系，教师又急于完成教学流程，过早地总结归纳。虽然整节课堂气氛活跃，结构流畅，学生积极主动的小组合作探究，但它存在着一定的遗憾：一部分学生没有充分思考的时间，缺乏独立的自我思考，只能被动地跟着其他同学、老师的思路走，从而出现替代思维现象。长此以往，这一部分的学生渐渐学习动力不足，主动探索思考的兴趣也会逐渐下降。
3.如何把握数学实验课学生自主实验探究与教师引导的关系？
在这个实验课中，面对不同的二次三项式，教师引导比较明显，学生基本按照教师的设计路线走，如学生在写关于a、b的二次三项式时，没有一位学生写出含“-”号的多项式，说明学生还处于模仿的初级阶段，没有跳出教师设计框架，思维发散程度还不够，不敢大胆地尝试，缺少一些让人兴奋的发现和感悟。
教师引导下的自主探究是一种常见的教学形态，过多或过早的“引导”势必变为教师教授的教学形式，学生失去了自主探索的机会，而放任自流的自主探索，盲目性较大，也不利于探索任务的实现。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，数学实验课重在学生实践，学生在实验活动中，自主参与、全过程参与，学生积极动脑、动手、动口。教师教学时应着眼于学生的能力的发展与培养，引导学生积极参与，通过自主探索、动手实践、合作交流等学习方式确保学生的思维得到激活，智慧得到启迪。
（作者为南京市六合区横梁初级中学教师）
借助于三种不同的纸片进行拼图活动，让学生经历操作、探究、解决问题的过程，探索拼图与整式的乘法运算、因式分解之间的内在联系，先由“形”得到一些关于“数”的结论，然后借助图形反映出部分“数”的几何意义，学生在动手“做”中知识得到延伸，积累有效的基本数学活动经验。
关键词
拼图 整式乘法 因式分解
【案例回放】
实验课前准备：4人一组，剪刀，A型纸片（边长为a的正方形），B型纸片（边长为b的正方形），C型纸片（长为a、宽为b的长方形）各若干张（如图1）。
活动一：选取1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼成一个正方形。
学生很快通过拼图得出图2，且看出拼图得到完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，并解释，从整体看，所拼出的正方形的边长是a+b，因此它的面积是（a+b）2；从局部看，组成这个正方形的每个部分的面积分别是a2，ab，ab和b2。
活动一效果很好，学生反应很迅速，于是，就紧跟着展示活动二。
活动二：分别选取适当数量的A型、B型、C型三种纸片，拼出一个边长分别为a+2b、a+b的长方形。
学生4人一个小组动手操作、开始拼，很快，学生给出了多种拼法，教师选取其中的一组上台汇报，学生在黑板上画下了图3。这时，教师结合图形3，适时的抛出了问题：
①图3中有什么隐藏的等式？
②能结合图3解释你所得到的等式吗？
这时一个学生举起手来，立马让他来说。
生1：老师，a+2b表示长方形的长，a+b表示长方形的宽，（a+2b）（a+b）是这个长方形的面积，我发现a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）反映的是因式分解，反之（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2反映的是整式运算。
生2：等式中的a2+3ab+2b2表示需要1个面积为a2的纸片即A型纸片，需要3个面积为ab的纸片即C型纸片，需要2个面积为b2的纸片即B型纸片。
生2还没说完，下面的学生就开始议论了。
生3：需要不同类型的纸片的片数和等式前面的数字有关系。
这时，教师追问：什么关系呢？
生2立马补充道：不同类型的纸片的片数对应的就是这个二次三项式的系数。
学生一下子总结出来了，很是出乎教师的意料，让教师很是惊讶。其他学生听了生2所说的，数了数纸片，看了看代数式各项的系数，很是赞同，原来通过拼长方形可以帮助我们进行整式的乘法运算，还可以帮我们进行多项式的因式分解，学生顿时有了兴趣。教师立马追问让学生一起来验证，选取若干张纸片，先尝试拼成一个长方形，再思考能否得到反映整式乘法运算或者是因式分解的等式？
生4：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2。
生5：（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2。
生6：2b（a+b）=2ab+2b2。
生7：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2。
不同的小组拼出不同的图形，但是得出了同样的结论，找出了不同纸片的选择数量与系数之间的关系，找到了形成图形的一般方法。
活动三：请你尝试选择三种纸片，将它们拼成一个长方形，并且使得所拼长方形的面积分别为3a2+4ab+b2和a2+4ab+b2，你得到怎样的结果？为什么？
学生4人一个小组，立马动手开始尝试，小组配合默契，3a2+4ab+b2这个等式，根据刚才分析的系数，也就是说需要3张A型纸片、1张B型纸片、4张C型纸片拼成一个长为3a+b，宽为a+b的长方形（如图4），能因式分解为（3a+b）（a+b）。
但对于a2+4ab+b2学生开始有些慌了，小组内的意见也开始不统一起来，有些学生认为能拼，可不知道怎么拼，有些学生认为不能拼成长方形，一场辩论就这样不知不觉开始了。
生8：能拼，可我不知道怎么拼。
生9：a2+4ab+b2不能拼成长方形，我们知道完全平方公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，中间的项是2ab，可以拼成一个边长为a+b的正方形，而这里是4ab，多了2ab，因此不能拼成长方形，也不能因式分解。
师：是的，a2+4ab+b2不能拼成长方形，如果把a2+4ab+b2改為a2+2ab+b2可以拼，除此之外，想要拼成长方形，更改其他项的系数可以吗？
生10：a2+4ab+b2改为3a2+4ab+b2可以拼成一个长为3a+b，宽为a+b的长方形。
生11：a2+4ab+b2改为a2+4ab+3b2可以拼成一个长为a+3b，宽为a+b的长方形。
师：小组合作任意写出一个关于a、b的二次三项式，再用若干块所提供的纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个多项式表示，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，思考写出的关于a、b的二次三项式都能表示一个长方形的面积吗？你们认为具备什么条件的二次多项式可以表示一个长方形的面积？
生12：只要能因式分解的二次多项式就可以表示一个长方形的面积；如果一个二次多项式能表示一个长方形的面积那么它就一定能分解成长方形的长与宽的积。
【案例反思】
1.如何把握拼图中数形结合？
这个实验课是为苏科版义务教育教科书《数学》七年级下册“9.5多项式的因式分解”而设计的。在这个教学片段中设计了三个活动，首先，活动一利用三个不同类型的纸片拼图，再现完全平方公式的情境，感受“数”“形”的基本联系。
其次，活动二通过已知边长拼长方形，在学生小组合作，反复尝试的过程中，逐步感受到不同的纸片的选择数量与系数之间的关系，初步形成拼图的一般方法，并理解图形与所得等式之间的联系，完成由“形”到“数”的过程，突显特征。
然后，活动三通过已知面积拼长方形，对由实验观察到的现象进行分析讨论，获得能拼出长方形的规律性的认识，感悟数量关系与图形性质的相互转化，完成由“数”到“形”的过程，提炼方法。
2.如何把握学生独立思考与合作交流的关系？
这个实验课中，学生不断的小组合作通过拼图完成活动，学生独立思考的时间略显不足。如在活动二中，生2快速的总结出不同纸片的选择数量与系数之间的关系，教师又急于完成教学流程，过早地总结归纳。虽然整节课堂气氛活跃，结构流畅，学生积极主动的小组合作探究，但它存在着一定的遗憾：一部分学生没有充分思考的时间，缺乏独立的自我思考，只能被动地跟着其他同学、老师的思路走，从而出现替代思维现象。长此以往，这一部分的学生渐渐学习动力不足，主动探索思考的兴趣也会逐渐下降。
3.如何把握数学实验课学生自主实验探究与教师引导的关系？
在这个实验课中，面对不同的二次三项式，教师引导比较明显，学生基本按照教师的设计路线走，如学生在写关于a、b的二次三项式时，没有一位学生写出含“-”号的多项式，说明学生还处于模仿的初级阶段，没有跳出教师设计框架，思维发散程度还不够，不敢大胆地尝试，缺少一些让人兴奋的发现和感悟。
教师引导下的自主探究是一种常见的教学形态，过多或过早的“引导”势必变为教师教授的教学形式，学生失去了自主探索的机会，而放任自流的自主探索，盲目性较大，也不利于探索任务的实现。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，数学实验课重在学生实践，学生在实验活动中，自主参与、全过程参与，学生积极动脑、动手、动口。教师教学时应着眼于学生的能力的发展与培养，引导学生积极参与，通过自主探索、动手实践、合作交流等学习方式确保学生的思维得到激活，智慧得到启迪。
（作者为南京市六合区横梁初级中学教师）