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核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。作为学科核心素养之一的数学核心素养，是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，而数学思维是数学核心素养的重要组成部分。学生数学核心素养的培育能否落实，思维能力能否得到提升，关键在于课堂教学。
基于此，中国教育科学研究院“益智课堂与思考力培养的实践研究”课题组进行了相关探索。益智课堂有其优势和鲜明特点，它以学生充分的动手操作为依托，以真实、有趣的问题困境为起点，以益智器具为载体，通过多样性的探究活动，让学生积累思维经验，掌握思维技能，提升思维品质，也是发展学生数学核心素养的途径之一。本文以“汉诺塔”活动课为例，主要探析课堂教学中如何培养学生的思维能力，促进数学核心素养的提升。
一、优化任务，培养数学表征能力
器具“汉诺塔”由8个环片按大小依次叠放在有三根立柱的支架上，因形如塔状而得名，主要解决这一问题困境：在一次只能移动一个环片、大环不能压在小环上的操作规则中，如何借助b柱（过渡柱），把a柱（起始柱）的环片依次挪移到c柱（目标柱）上（见图1）。如果教师在课堂中仅要求学生按照规则练习操作，益智课堂的器具就只能停留在“玩具”层面，课堂也停留在“游戏”层面。那么如何将游戏转向思维训练活动？
本课例在学生已能熟练操作器具的基础上，将训练目标聚焦在优化操作任务上，使学生思维由混沌状态向头脑的心理操作转化，增强思考的逻辑性，锻炼、掌握多种思维技能。因此，教师需要对操作要求提出限定，用表格形式引导学生思考，表格问题要突出其思考和探索的要点，明晰各环节间的关联及所蕴含的可能性规律（见表1）。
首先，教师要将问题聚焦于不同的环数“完成操作最少用几步”，将学生的思维焦点转向“寻找行动最有效的序列”，优化移动步骤，此为益智课堂倡导的目标之一。其次，启发学生思考“第一环移到哪个柱上”更助于实现最优步骤，从1～8环分别探究，重點突出假设、检验、推理、判断、提炼、概括等思维技能训练。表格的使用，也为后续发现规律提供有逻辑的数据支持，利于培养学生的数学表征
能力。
数学表征能力指的是使用符号、文字、图表、公示、模型等形式以及数学结构化的方式对数学核心概念、数学关系、数学问题进行关联式表达，使数学知识与数学问题之间建立一种映射，使复杂的问题变得简单、烦琐的形式得以简化的能力。作为理解数学的一个教学手段，它有助于学生理解概念、关系或关联，形象地观察学习对象，更有兴趣地深入思考与探索，并体会数学表征是进行数学理解、交流和分析的工具。
二、动手操作，关注数学推理能力
数学推理是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。数学推理能力是通过对数学问题、数学对象、数学现象的观察、分析、实验、验证、归纳、演绎等做出新的推论，并在此过程中证明推论的合理性的能力[1]。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。其中，合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算等思维形式。
探究过程中，教师可引导学生从1个环片开始尝试。由于环数少，难度小，学生很快就能发现所用最少步数和移动位置。比如，移动1个环片，最少用1步，第一环移到目标柱上；移动2个环片，最少用3步，第一环移到过渡柱上。在移动3环前，教师可提出问题：“如果不进行操作，你是否知道第一环移到哪个柱上？”这里教师创设了问题情境，引导学生尝试推理。推理过程也是论证过程，主要是依据前面2环的移动步骤，学生通过分析得出：3环要想移到目标柱上，1环和2环就得“让路”，将2环移到过渡柱上，1环移到目标柱上。这一过程，教师要对学生的回答进行纠正和提炼，帮助他们规范数学表达，进一步培养学生推理论证的严密性和条理性。
现代教育论强调“要让学生做科学，而不是用耳朵去听科学”。因此，教师还可组织学生通过操作来检验猜想。在移动4环时，教师让学生先推理第一环移到哪个柱上，最少用多少步，然后操作器具进行验证，并分组验证不同移动方式的结果，让学生体会、检验推理的过程，从中体悟数学推理过程。
三、发现规律，增强数学建模能力
模型思想是小学数学学习的十大核心概念之一，此阶段中的数学模型表现形式为一系列的概念、算法、关系、定律、公式等。参照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的相关内容，可将建模过程简化为三个环节。
首先，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，发现和提出问题，这是数学建模的起点。“完成操作最少用几步”的目标有规律性但又较为隐蔽，在移动5个环片时，教师可要求学生不动手操作，仅根据列表从1～4环的最少步数情况找出规律（见表2）：第一环应移到哪个柱，完成操作最少用几步。此问题难度适中，提供了较为清晰的数学信息，可让学生运用已有数学知识，发现规律，增强其数学建模能力。
其次，用数学符号建立方程、不等式、函数等，表示数学问题中的数量关系和变化规律。学生可通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，建立数学模型。教师引导学生观察、思考单双数环时，第一环的移动位置和最少步数与环片的关系，正是捕捉具有建模意义、可操作的数学信息的过程。通过思考和体验，他们可以归纳其中的规律，抽象出数学结构：单数环时，第一环移到目标柱，双数环时，第一环移到过渡柱，并推算出完成5环操作最少用31（15×2 1）步。
最后，通过模型求出结果，并讨论结果的意义。将移动5环时发现的规律运用到6～8环的第一环移动位置及最少移动步数推算上，从一个问题的解决中总结概括出一类问题解决的数学模型，此为引导学生发现规律、培养数学建模能力的重要意义。
四、启发思考，提高数学交流与
表达能力
学生的思维具有内隐性，让思维看得见、摸得着的一种重要方式就是数学表达。数学交流与表达能力是学生将自己理解和掌握的数学知识、方法、策略、思想通过口头或书面的方式呈现出来的能力。其培养与发展的关键在于教师的课堂提问和追问艺术，如果问题起点低、教师表述不明等，容易缩小思考空间或无法聚焦问题核心，很难激发学生的深入思考。
有效的核心问题应该是：（1）包含学习者容易理解的措辞；（2）陈述简单，问题中没有混杂额外的问题或说明；（3）让学生关注课堂内容；（4）确定学生回答问题时将会用到的单个思维操作[2]。因此，当学生移动3个环发现最少用7步才能达到目标柱时，教师可这样提问：“怎么判断移动3个环片用7步就是最少的步骤？”这一问题简单明确，关键词“判断”是学生需要执行的思维操作，主干内容“用7步就是最少的步骤”直接服务于思维训练目标，疑问词“怎么”显示出问题的开放性，这能让学生围绕本课训练目标与教师进行更多的数学交流与表达。
对学生的回答进行加工，再提出新的问题，即加工性问题，可促进学习者反思自己的初始回答，理解隐藏在表面观点背后的思想问题，激励其更全面地理解课堂内容，构建更完善的认知操作。例如，学生再次演示移动3个环片并回答：操作时发现有的步骤多，然后删掉了某些步骤。可以看出，学生是通过尝试操作—调整优化—达到目标的路径完成的，并未注意到优化步骤过程中的关键点。这时教师可提出限定焦点的加工性问题：“以最少步骤移出的关键环节是什么？”其中，关键词“最少步骤”“关键环节”对学生的思维进行聚焦和提升，可将其回答导向更高的
层次。
在有效问题的激发下，学生才能进行更深入的思考，做出更高水平的回答，促进其数学理解与数学思维的发展，进一步完善思维训练活动中的认知结构。
五、凸显思想，培养解决问题的能力
数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识，直接支配着数学的实践活动。益智课堂倡导教师不仅要重视学生对显性知识、技能的学习和训练，还应注重数学思想的指导，从而培养学生解决问题的能力。“汉诺塔”教学活动中，教师可挖掘三种数学思想，并在恰当时机进行点拨。
其一，倒推思想。它是从结果出发倒过来推想的一种思想，也是解决问题常用的一种策略，其中涉及分析、选择、判断、对比等一系列思维活动。比如，推算完成5环的最少步数，可引导学生进行倒推：最后1环要移到目标柱，前4环要先移到过渡柱再移到目标柱，已知移4环到目标柱最少要15步，那么由此推算完成5环的操作最少需要31步（15×2 1）。
其二，转化思想。它是通过观察、类比、联想等思维过程，将原问题转化为一个新问题的求解，以达到解决原问题的目的。比如，活动伊始，起始柱、过渡柱、目标柱是固定的，但随着环片数目的增多，每一环的目标柱、过渡柱都会发生转化，且在不同的移动步骤中，每一环的目标柱、过渡柱也在随时转化。用这样的认识来看待操作过程，当移动环片较多时，运用总结出的规律，易于把较复雜问题变成简单问题，把新问题变成已解决的
问题。
其三，递归思想。在数学教学实践中，数学思想与数学方法关系密切，思想指导方法，方法渗透思想。例如，教师在总结5环的移动步数时，引导学生发现操作中要“看5环想4环”“看4环想3环”……这正是递归思想的体现，呈现出依次类推、“用同样步骤重复”的方法，让学生既获得思想上的认识，也得到方法上的指导。
总之，数学核心素养是在学生体验数学情境、经历数学活动、感悟数学思考的过程中产生的，而以益智器具的问题困境为思考起点，以操作探究为活动方式的益智课堂教学，是培养和发展学生数学核心素养的一个有效方法。
当然，随着本研究的进一步探索，有关学生核心素养及学生思维能力的认识和实践会有所深入，对益智课堂的教学策略和方法也会进行修正和创新，使之更加完善，以期让益智课堂成为培育和提升学生数学核心素养更为有效的一个场所。
参考文献：
[1]徐斌艳.数学学科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（6）.
[2]Marylou Dantonio，Paul C. Beisenherz著.宋玲译.课堂提问的艺术—发展教师的有效提问技能[M].北京：中国轻工业出版社，2006：7.
（作者单位：1.中国教育科学研究院 2.黑龙江省哈尔滨市铁岭小学）
责任编辑：孙建辉
sunjh@zgjszz.cn
基于此，中国教育科学研究院“益智课堂与思考力培养的实践研究”课题组进行了相关探索。益智课堂有其优势和鲜明特点，它以学生充分的动手操作为依托，以真实、有趣的问题困境为起点，以益智器具为载体，通过多样性的探究活动，让学生积累思维经验，掌握思维技能，提升思维品质，也是发展学生数学核心素养的途径之一。本文以“汉诺塔”活动课为例，主要探析课堂教学中如何培养学生的思维能力，促进数学核心素养的提升。
一、优化任务，培养数学表征能力
器具“汉诺塔”由8个环片按大小依次叠放在有三根立柱的支架上，因形如塔状而得名，主要解决这一问题困境：在一次只能移动一个环片、大环不能压在小环上的操作规则中，如何借助b柱（过渡柱），把a柱（起始柱）的环片依次挪移到c柱（目标柱）上（见图1）。如果教师在课堂中仅要求学生按照规则练习操作，益智课堂的器具就只能停留在“玩具”层面，课堂也停留在“游戏”层面。那么如何将游戏转向思维训练活动？
本课例在学生已能熟练操作器具的基础上，将训练目标聚焦在优化操作任务上，使学生思维由混沌状态向头脑的心理操作转化，增强思考的逻辑性，锻炼、掌握多种思维技能。因此，教师需要对操作要求提出限定，用表格形式引导学生思考，表格问题要突出其思考和探索的要点，明晰各环节间的关联及所蕴含的可能性规律（见表1）。
首先，教师要将问题聚焦于不同的环数“完成操作最少用几步”，将学生的思维焦点转向“寻找行动最有效的序列”，优化移动步骤，此为益智课堂倡导的目标之一。其次，启发学生思考“第一环移到哪个柱上”更助于实现最优步骤，从1～8环分别探究，重點突出假设、检验、推理、判断、提炼、概括等思维技能训练。表格的使用，也为后续发现规律提供有逻辑的数据支持，利于培养学生的数学表征
能力。
数学表征能力指的是使用符号、文字、图表、公示、模型等形式以及数学结构化的方式对数学核心概念、数学关系、数学问题进行关联式表达，使数学知识与数学问题之间建立一种映射，使复杂的问题变得简单、烦琐的形式得以简化的能力。作为理解数学的一个教学手段，它有助于学生理解概念、关系或关联，形象地观察学习对象，更有兴趣地深入思考与探索，并体会数学表征是进行数学理解、交流和分析的工具。
二、动手操作，关注数学推理能力
数学推理是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。数学推理能力是通过对数学问题、数学对象、数学现象的观察、分析、实验、验证、归纳、演绎等做出新的推论，并在此过程中证明推论的合理性的能力[1]。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。其中，合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算等思维形式。
探究过程中，教师可引导学生从1个环片开始尝试。由于环数少，难度小，学生很快就能发现所用最少步数和移动位置。比如，移动1个环片，最少用1步，第一环移到目标柱上；移动2个环片，最少用3步，第一环移到过渡柱上。在移动3环前，教师可提出问题：“如果不进行操作，你是否知道第一环移到哪个柱上？”这里教师创设了问题情境，引导学生尝试推理。推理过程也是论证过程，主要是依据前面2环的移动步骤，学生通过分析得出：3环要想移到目标柱上，1环和2环就得“让路”，将2环移到过渡柱上，1环移到目标柱上。这一过程，教师要对学生的回答进行纠正和提炼，帮助他们规范数学表达，进一步培养学生推理论证的严密性和条理性。
现代教育论强调“要让学生做科学，而不是用耳朵去听科学”。因此，教师还可组织学生通过操作来检验猜想。在移动4环时，教师让学生先推理第一环移到哪个柱上，最少用多少步，然后操作器具进行验证，并分组验证不同移动方式的结果，让学生体会、检验推理的过程，从中体悟数学推理过程。
三、发现规律，增强数学建模能力
模型思想是小学数学学习的十大核心概念之一，此阶段中的数学模型表现形式为一系列的概念、算法、关系、定律、公式等。参照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的相关内容，可将建模过程简化为三个环节。
首先，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，发现和提出问题，这是数学建模的起点。“完成操作最少用几步”的目标有规律性但又较为隐蔽，在移动5个环片时，教师可要求学生不动手操作，仅根据列表从1～4环的最少步数情况找出规律（见表2）：第一环应移到哪个柱，完成操作最少用几步。此问题难度适中，提供了较为清晰的数学信息，可让学生运用已有数学知识，发现规律，增强其数学建模能力。
其次，用数学符号建立方程、不等式、函数等，表示数学问题中的数量关系和变化规律。学生可通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，建立数学模型。教师引导学生观察、思考单双数环时，第一环的移动位置和最少步数与环片的关系，正是捕捉具有建模意义、可操作的数学信息的过程。通过思考和体验，他们可以归纳其中的规律，抽象出数学结构：单数环时，第一环移到目标柱，双数环时，第一环移到过渡柱，并推算出完成5环操作最少用31（15×2 1）步。
最后，通过模型求出结果，并讨论结果的意义。将移动5环时发现的规律运用到6～8环的第一环移动位置及最少移动步数推算上，从一个问题的解决中总结概括出一类问题解决的数学模型，此为引导学生发现规律、培养数学建模能力的重要意义。
四、启发思考，提高数学交流与
表达能力
学生的思维具有内隐性，让思维看得见、摸得着的一种重要方式就是数学表达。数学交流与表达能力是学生将自己理解和掌握的数学知识、方法、策略、思想通过口头或书面的方式呈现出来的能力。其培养与发展的关键在于教师的课堂提问和追问艺术，如果问题起点低、教师表述不明等，容易缩小思考空间或无法聚焦问题核心，很难激发学生的深入思考。
有效的核心问题应该是：（1）包含学习者容易理解的措辞；（2）陈述简单，问题中没有混杂额外的问题或说明；（3）让学生关注课堂内容；（4）确定学生回答问题时将会用到的单个思维操作[2]。因此，当学生移动3个环发现最少用7步才能达到目标柱时，教师可这样提问：“怎么判断移动3个环片用7步就是最少的步骤？”这一问题简单明确，关键词“判断”是学生需要执行的思维操作，主干内容“用7步就是最少的步骤”直接服务于思维训练目标，疑问词“怎么”显示出问题的开放性，这能让学生围绕本课训练目标与教师进行更多的数学交流与表达。
对学生的回答进行加工，再提出新的问题，即加工性问题，可促进学习者反思自己的初始回答，理解隐藏在表面观点背后的思想问题，激励其更全面地理解课堂内容，构建更完善的认知操作。例如，学生再次演示移动3个环片并回答：操作时发现有的步骤多，然后删掉了某些步骤。可以看出，学生是通过尝试操作—调整优化—达到目标的路径完成的，并未注意到优化步骤过程中的关键点。这时教师可提出限定焦点的加工性问题：“以最少步骤移出的关键环节是什么？”其中，关键词“最少步骤”“关键环节”对学生的思维进行聚焦和提升，可将其回答导向更高的
层次。
在有效问题的激发下，学生才能进行更深入的思考，做出更高水平的回答，促进其数学理解与数学思维的发展，进一步完善思维训练活动中的认知结构。
五、凸显思想，培养解决问题的能力
数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识，直接支配着数学的实践活动。益智课堂倡导教师不仅要重视学生对显性知识、技能的学习和训练，还应注重数学思想的指导，从而培养学生解决问题的能力。“汉诺塔”教学活动中，教师可挖掘三种数学思想，并在恰当时机进行点拨。
其一，倒推思想。它是从结果出发倒过来推想的一种思想，也是解决问题常用的一种策略，其中涉及分析、选择、判断、对比等一系列思维活动。比如，推算完成5环的最少步数，可引导学生进行倒推：最后1环要移到目标柱，前4环要先移到过渡柱再移到目标柱，已知移4环到目标柱最少要15步，那么由此推算完成5环的操作最少需要31步（15×2 1）。
其二，转化思想。它是通过观察、类比、联想等思维过程，将原问题转化为一个新问题的求解，以达到解决原问题的目的。比如，活动伊始，起始柱、过渡柱、目标柱是固定的，但随着环片数目的增多，每一环的目标柱、过渡柱都会发生转化，且在不同的移动步骤中，每一环的目标柱、过渡柱也在随时转化。用这样的认识来看待操作过程，当移动环片较多时，运用总结出的规律，易于把较复雜问题变成简单问题，把新问题变成已解决的
问题。
其三，递归思想。在数学教学实践中，数学思想与数学方法关系密切，思想指导方法，方法渗透思想。例如，教师在总结5环的移动步数时，引导学生发现操作中要“看5环想4环”“看4环想3环”……这正是递归思想的体现，呈现出依次类推、“用同样步骤重复”的方法，让学生既获得思想上的认识，也得到方法上的指导。
总之，数学核心素养是在学生体验数学情境、经历数学活动、感悟数学思考的过程中产生的，而以益智器具的问题困境为思考起点，以操作探究为活动方式的益智课堂教学，是培养和发展学生数学核心素养的一个有效方法。
当然，随着本研究的进一步探索，有关学生核心素养及学生思维能力的认识和实践会有所深入，对益智课堂的教学策略和方法也会进行修正和创新，使之更加完善，以期让益智课堂成为培育和提升学生数学核心素养更为有效的一个场所。
参考文献：
[1]徐斌艳.数学学科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（6）.
[2]Marylou Dantonio，Paul C. Beisenherz著.宋玲译.课堂提问的艺术—发展教师的有效提问技能[M].北京：中国轻工业出版社，2006：7.
（作者单位：1.中国教育科学研究院 2.黑龙江省哈尔滨市铁岭小学）
责任编辑：孙建辉
sunjh@zgjszz.cn