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“逼近法”在数学辞典中被解释为：“一种求方程(近似)解的方法。它的步骤是，先取解的一个初始估计值，然后通过一系列的步骤逐步缩小估计值的误差。它一般通过迭代来实现，因此亦称迭代法。利用这种方法解方程，不仅可以在理论上证明解的存在，而且还提供了具体的数值解法。”如果单纯由这个解释，我们很难将它同小学数学挂上钩。然而，笔者在教学“鸡兔同笼”一课的过程中，却发现了这一数学思想方法在学生探究数学知识中的重要性。
一、“逼近法”在小学数学教学中的作用
“鸡兔同笼”是一道有趣的古代名题。多年来，人们已经想出了许多解题方法，较为公认的有以下几种。下面就以“一个农民有若干只鸡和兔子，这些家畜共有50个头和140条腿，问这个农民有多少只鸡和多少只兔子?”为例进行说明。
(一)试探法
一共有50只家畜，它们不可能全是鸡或兔子，若全是鸡它仅有100条腿；若全是兔子将有200条腿。但是，它们恰好有140条腿。如果正好一半是鸡，另一半是兔子，那么它们就将有……
如果我们把鸡的数目取小一些，那么兔子的数目就会相应的变大，而这就使得腿数增大了。反之，如果我们把鸡的数目增加一些……对了，必须多于25只鸡，让我们试一试30只： 通过试算，我们得到了鸡30只，兔20只的答案。
(二)演绎法
假如每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其(两条)后腿站着。这样就只用了半数的腿，即70条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次。用70这个数减去所有的头数50，就剩下兔子的头数了。兔子共有70-50=20(只)，那么鸡是30只。
(三)用代数的方法
解这个二元一次方程，得到x=30，y=20。
(四)推广
我们尝试考虑把问题中给定的数字代之以其他数，特别是大数，这种考虑是有益的，而把给定的数字代之以字母，如以h代替50，以，代替140，即令h表示家畜的头数，f表示家畜的腿数。 我们所得到的两个方程的方程组可改写成下列形式
把这个公式重新翻译成日常语言，即免子数等于腿数的一半减头数。这正是上面那个富于想象力的解法二的结果。
通过对“鸡兔同笼”问题的不同解法的比较，我们发现它们中的每一个都各有特点。不难看出，第一种解法较为复杂，因为存在着遇到大数怎么办的问题；第二种解法属于演绎推导方法，求解相对简单，理解亦相对容易；而第三种和第四种解法即列二元一次方程方法求解。因此，一般情况下，人们较为推崇第二、三和第四种解法。那是不是第一种解法就应该被否定呢?不!笔者通过对各种解题方法进行分析，特别是对第一种解题方法的分析，认为第一种方法是在比较中不断调整题解，减少错误，逐步靠近正确答案的方法。它具备了以下特点：在明确了目标后再沿着目标方向，不断探索，不断调整，逼近目标，直至最后达到目标，使问题获得解决。而这种方法就是在科学理论形成过程中，构建科学假说常用的助发现的方法——逼近法。
逼近法作为科学假说的助发现方法，其模式是一种具有信息反馈功能的模式。这种在教学过程中不甚被人们推崇的方法，恰恰是探索科学知识，寻求物质世界的真实运动状态的一种重要方法，它对于探索科学定律等是十分重要的。德国天文学家开普勒发现行星运行三大定律，就是应用逼近法的著名实例。
二、“逼近法”在小学数学教学中的渗透
在日常教学过程中，我们可以通过猜一猜、凑一凑、试一试等方法让学生感知“逼近法”的魅力。 (一)猜一猜 例如一年级在认识“20以内的数”后，教师可以组织学生玩猜数的游戏，让学生用“大一些、小一些，大得多、小得多”等语言来描述数的大小关系。等学生年龄再大一些，就可以让他去探求怎么猜才能更快地猜到答案，这时“二分法”就派上用场了。这样既锻炼了学生的数感，又渗透了“区间套”逐步逼近的思想。
(二)凑一凑
“年龄问题”对于中低年级学生来说确实有些困难，用方程吧，他们没有相应的知识基础；用算术解吧，如何理清其间的倍数关系也是个问题。这时老师可以鼓励学生猜一猜；凑一凑，即大胆猜测，仔细检验，不对就改，直到成功。如，小明说：“我比爸爸岁数的一半少9岁。”爸爸说：“我比小明岁数的3倍多3岁。”问小明和爸爸各几岁?在解题时，可以先猜爸爸40岁，由小明的话可得小明年龄是(40÷2-9)=11岁；再用爸爸的话进行检验，得爸爸的年龄是(11×3+3)=36岁，不对。……一次次试猜，一次次检验，最后猜到爸爸48岁时，由小明的话得小明年龄是(48÷2-9)=15岁，再用爸爸的话进行检验，得爸爸年龄是15×3+3=48岁。
即使高年级学了方程之后，这种试凑法同样有用。例如“小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。问：小鸡至多被套中多少次?”我们可以教学生这样来列方程：设套中小鸡x次，套中小猴y次，那么套中小狗(10-x-y)次。因为得分为61分，所以9x+5y+2(10-x—y)=61，化简后得7x=41-3y。显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解。若y=2，7x=35，解得x=5。因此，小明至多套上小鸡5次。也就是说我们用试凑法解决了这道看似没办法解出的方程，得出了问题的答案。
(三)试一试
“逼近法”的精髓就在于猜测、尝试、调整，因此，我们要引导学生利用技巧去猜，去试。例如在学习了长方体的体积计算公式后，教师可以让学生动手实践做这样的探索：将一张A4纸做成一个无盖的长方体形状纸盒，找出相关数据计算出它的容积并尝试寻找最大的容积。学生在不断的猜测、尝试、调整中既巩固了长方体的体积计算方法，又锻炼了动手能力，最重要的是学生慢慢感悟到长方体高的变化引起了容积的变化，并通过验证，得出最大容积时高应该在4--4.1之间。教师设计这样的实践并不在于要得出最终的答案，而是要让学生去感知逐步逼近法的思想。
总之，“逼近法”提醒我们，一些看似简单的事情当中蕴涵着深远的意义。我们在教学或科研过程中，在积极努力获得成果的同时，更要注重数学思想方法的学习，注重研究能力的培养，不应该让采用“试凑法”的学生们泄气。反之，应该鼓励他们巧妙地应用逐次逼近这个基本方法来解决一些实际问题。
(责 编 林 剑)
一、“逼近法”在小学数学教学中的作用
“鸡兔同笼”是一道有趣的古代名题。多年来，人们已经想出了许多解题方法，较为公认的有以下几种。下面就以“一个农民有若干只鸡和兔子，这些家畜共有50个头和140条腿，问这个农民有多少只鸡和多少只兔子?”为例进行说明。
(一)试探法
一共有50只家畜，它们不可能全是鸡或兔子，若全是鸡它仅有100条腿；若全是兔子将有200条腿。但是，它们恰好有140条腿。如果正好一半是鸡，另一半是兔子，那么它们就将有……
如果我们把鸡的数目取小一些，那么兔子的数目就会相应的变大，而这就使得腿数增大了。反之，如果我们把鸡的数目增加一些……对了，必须多于25只鸡，让我们试一试30只： 通过试算，我们得到了鸡30只，兔20只的答案。
(二)演绎法
假如每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其(两条)后腿站着。这样就只用了半数的腿，即70条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次。用70这个数减去所有的头数50，就剩下兔子的头数了。兔子共有70-50=20(只)，那么鸡是30只。
(三)用代数的方法
解这个二元一次方程，得到x=30，y=20。
(四)推广
我们尝试考虑把问题中给定的数字代之以其他数，特别是大数，这种考虑是有益的，而把给定的数字代之以字母，如以h代替50，以，代替140，即令h表示家畜的头数，f表示家畜的腿数。 我们所得到的两个方程的方程组可改写成下列形式
把这个公式重新翻译成日常语言，即免子数等于腿数的一半减头数。这正是上面那个富于想象力的解法二的结果。
通过对“鸡兔同笼”问题的不同解法的比较，我们发现它们中的每一个都各有特点。不难看出，第一种解法较为复杂，因为存在着遇到大数怎么办的问题；第二种解法属于演绎推导方法，求解相对简单，理解亦相对容易；而第三种和第四种解法即列二元一次方程方法求解。因此，一般情况下，人们较为推崇第二、三和第四种解法。那是不是第一种解法就应该被否定呢?不!笔者通过对各种解题方法进行分析，特别是对第一种解题方法的分析，认为第一种方法是在比较中不断调整题解，减少错误，逐步靠近正确答案的方法。它具备了以下特点：在明确了目标后再沿着目标方向，不断探索，不断调整，逼近目标，直至最后达到目标，使问题获得解决。而这种方法就是在科学理论形成过程中，构建科学假说常用的助发现的方法——逼近法。
逼近法作为科学假说的助发现方法，其模式是一种具有信息反馈功能的模式。这种在教学过程中不甚被人们推崇的方法，恰恰是探索科学知识，寻求物质世界的真实运动状态的一种重要方法，它对于探索科学定律等是十分重要的。德国天文学家开普勒发现行星运行三大定律，就是应用逼近法的著名实例。
二、“逼近法”在小学数学教学中的渗透
在日常教学过程中，我们可以通过猜一猜、凑一凑、试一试等方法让学生感知“逼近法”的魅力。 (一)猜一猜 例如一年级在认识“20以内的数”后，教师可以组织学生玩猜数的游戏，让学生用“大一些、小一些，大得多、小得多”等语言来描述数的大小关系。等学生年龄再大一些，就可以让他去探求怎么猜才能更快地猜到答案，这时“二分法”就派上用场了。这样既锻炼了学生的数感，又渗透了“区间套”逐步逼近的思想。
(二)凑一凑
“年龄问题”对于中低年级学生来说确实有些困难，用方程吧，他们没有相应的知识基础；用算术解吧，如何理清其间的倍数关系也是个问题。这时老师可以鼓励学生猜一猜；凑一凑，即大胆猜测，仔细检验，不对就改，直到成功。如，小明说：“我比爸爸岁数的一半少9岁。”爸爸说：“我比小明岁数的3倍多3岁。”问小明和爸爸各几岁?在解题时，可以先猜爸爸40岁，由小明的话可得小明年龄是(40÷2-9)=11岁；再用爸爸的话进行检验，得爸爸的年龄是(11×3+3)=36岁，不对。……一次次试猜，一次次检验，最后猜到爸爸48岁时，由小明的话得小明年龄是(48÷2-9)=15岁，再用爸爸的话进行检验，得爸爸年龄是15×3+3=48岁。
即使高年级学了方程之后，这种试凑法同样有用。例如“小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。问：小鸡至多被套中多少次?”我们可以教学生这样来列方程：设套中小鸡x次，套中小猴y次，那么套中小狗(10-x-y)次。因为得分为61分，所以9x+5y+2(10-x—y)=61，化简后得7x=41-3y。显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解。若y=2，7x=35，解得x=5。因此，小明至多套上小鸡5次。也就是说我们用试凑法解决了这道看似没办法解出的方程，得出了问题的答案。
(三)试一试
“逼近法”的精髓就在于猜测、尝试、调整，因此，我们要引导学生利用技巧去猜，去试。例如在学习了长方体的体积计算公式后，教师可以让学生动手实践做这样的探索：将一张A4纸做成一个无盖的长方体形状纸盒，找出相关数据计算出它的容积并尝试寻找最大的容积。学生在不断的猜测、尝试、调整中既巩固了长方体的体积计算方法，又锻炼了动手能力，最重要的是学生慢慢感悟到长方体高的变化引起了容积的变化，并通过验证，得出最大容积时高应该在4--4.1之间。教师设计这样的实践并不在于要得出最终的答案，而是要让学生去感知逐步逼近法的思想。
总之，“逼近法”提醒我们，一些看似简单的事情当中蕴涵着深远的意义。我们在教学或科研过程中，在积极努力获得成果的同时，更要注重数学思想方法的学习，注重研究能力的培养，不应该让采用“试凑法”的学生们泄气。反之，应该鼓励他们巧妙地应用逐次逼近这个基本方法来解决一些实际问题。
(责 编 林 剑)